第一章檢測(cè)試題(時(shí)間:90分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分)1.在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若a=3,A=π3,b=2(A)π4 (B)(C)π4或3π4 (D)解析:因?yàn)閍=3,A=π3,b=2所以由正弦定理可得sinB=bsinAa=2因?yàn)锽∈(0,π),a>b,所以A>B,所以B=π42.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,asinB=2sinC,cosC=13,△(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由asinB=2sinC,cosC=13得ab=2c,sinC=1-cos所以12absinC=12×2c×解得c=6.故選D.3.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,則△ABC的形狀是(C)(A)銳角三角形 (B)直角三角形(C)鈍角三角形 (D)非鈍角三角形解析:因?yàn)?2+6282=3<0,即AB2+BC2AC2<0.所以cos∠ABC=AB即∠ABC為鈍角,所以△ABC是鈍角三角形.4.老師要求同學(xué)們作一個(gè)三角形,使它的三條高分別為12,1,2(A)同學(xué)們作不出符合要求的三角形(B)能作出一個(gè)銳角三角形(C)能作出一個(gè)直角三角形(D)能作出一個(gè)鈍角三角形解析:它的三條高分別為12,1,2設(shè)三角形的面積為S,設(shè)三條高線對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為2k,k,52最大邊對(duì)應(yīng)的角為θ,由余弦定理可得254=4+14cosθ解之得cosθ=516因此θ為鈍角,故三角形為鈍角三角形.5.△ABC中,a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊,若a、b、c成等差數(shù)列,∠B=30°,△ABC的面積為32(A)1+32 (B)1+(C)2+32 解析:因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c.平方得a2+c2=4b2-2ac.由S=12acsin30°=14ac=所以a2+c2=4b212.得cosB=a2+c2-b2解得b=1+3.6.在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=3,則asin(A)8381 (B)2633 (C)2解析:由S△ABC=12bcsinA=3所以a=b2+c所以asinA=1337.在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若(a2+c2b2)·tanB=3ac,則∠B的值為(D)(A)π6 (B)(C)π6或5π6 (D)解析:因?yàn)?a2+c2b2)tanB=3ac,所以a2+c2即cosB·tanB=sinB=32因?yàn)?<B<π,所以∠B的值為π3或28.在△ABC中,B=π4,BC邊上的高等于1(A)310 (B)1010 (C)5解析:如圖,設(shè)BC邊上的高為AD,因?yàn)锽=π4所以∠BAD=π4又AD=13所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)=sin45°cos∠DAC+cos45°sin∠DAC=22×55+22×2故選D.9.如圖,為測(cè)量塔高AB,選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)C,D,在C,D兩點(diǎn)處測(cè)得塔頂A的仰角分別為45°,30°,又測(cè)得∠CBD=30°,CD=50米,則塔高AB等于(A)(A)50米 (B)25米 (C)25米 (D)50米解析:設(shè)AB=a米,則由題意知BC=a米,BD=3a米,因?yàn)椤螩BD=30°,CD=50米,所以2500=a2+3a2-2a·3a·32所以a=50.故選A.10.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sinC2=10△ABC的面積為3154,且sin2A+sin2B=13(A)22 (B)3 (C)23 (D)4解析:因?yàn)閏osC=12sin2C2=12×1016=所以sinC=1-cos因?yàn)镾△ABC=12absinC=3又因?yàn)閟in2A+sin2B=1316sin2C,則a2+b2=13由余弦定理得c2=a2+b22abcosC,可得c2=16,所以c=4.故選D.二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)11.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=6,c=3,則A=.

解析:由正弦定理bsinB=csinC得所以sinB=22又b<c,所以B<C,所以B=45°,A=180°60°45°=75°.答案:75°12.某艦艇在A處測(cè)得一遇險(xiǎn)漁船在北偏東45°距離A處10海里的C處,此時(shí)得知,該漁船正沿南偏東75°方向以每小時(shí)9海里的速度向一小島靠近,艦艇時(shí)速為21海里,求艦艇追上漁船的最短時(shí)間(單位:小時(shí)).

解析:設(shè)艦艇t小時(shí)后在B處追上漁船,則由題意可知AC=10,BC=9t,AB=21t,∠ACB=120°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,即441t2=100+81t2+90t,解得t=23或t=5所以艦艇追上漁船的時(shí)間為23答案:213.在△ABC中,已知b=503,c=150,∠B=30°,則邊長(zhǎng)a=.

解析:由b2=a2+c2-2ac·cosB得:(503)2=a2+1502-150a,解得a=503或a=1003.答案:503或100314.△ABC中,ac=12,S△ABC=3,R=22(R為△ABC外接圓的半徑),則b=.

解析:S△ABC=12ac·sinB=3,則sinB=1由正弦定理bsinB=2R,得:b=2R·sinB=2答案:2215.在△ABC中,若∠B=60°,2b=a+c,則△ABC的形狀是.

解析:由正弦定理,得:2sinB=sinA+sinC,因?yàn)椤螧=60°,所以∠A+∠C=120°,∠A=120°∠C,則2sin60°=sin(120°∠C)+sinC,即:32sinC+1故sin(C+30°)=1,所以∠C=60°.故為等邊三角形.答案:等邊三角形三、解答題(本大題共6小題,共75分)16.(本小題滿分12分)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2bsinA.(1)求∠B的大小;(2)若a=33,c=5,求△ABC的面積及b.解:(1)因?yàn)閍=2bsinA,由正弦定理得sinA=2sinBsinA,由于sinA≠0,故有sinB=12又因?yàn)椤螧是銳角,所以∠B=30°.(2)依題意得,S△ABC=12acsin30=12×33×5×=153由余弦定理b2=a2+c22accosB可得b2=(33)2+522×33×5×cos30°=27+2545=7,所以b=7.17.(本小題滿分12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=3,AB→·ACS△ABC=3,求A和a.解:因?yàn)锳B→·AC所以bccosA=6.又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=1.又0<A<π,所以A=3π又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c22bccosA,得a2=9+82×3×22×（22）所以a=29.18.(本小題滿分12分)已知(a2+bc)x2+2b2△ABC的三邊,(1)若∠A為鈍角,試判斷方程的根的情況;(2)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,求∠A.解:(1)因?yàn)椤螦為鈍角,所以cosA=b2即b2+c2<a2.此時(shí)Δ=4(b2+c2)4(a2+bc)·1=4(b2+c2a2bc).又b>0,c>0,所以Δ<0,此時(shí)方程無實(shí)根.(2)由已知得Δ=0,即b2+c2a2bc=0.所以b2+c2a2=bc.由余弦定理得,cosA=b2+c2-又∠A∈(0,π),所以∠A=π319.(本小題滿分12分)如圖,要測(cè)量河對(duì)岸A,B兩點(diǎn)之間的距離,選取相距3km的C,D兩點(diǎn),并測(cè)得∠ACB=75°,∠BCD=∠ADB=45°,∠ADC=30°,請(qǐng)利用所測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算A,B之間的距離.解:在△ACD中,∠ACD=75°+45°=120°,所以∠CAD=30°,由正弦定理得ADsin120°=解得AD=3,在△BCD中,∠CDB=45°+30°=75°,所以∠CBD=60°,由正弦定理得3sin60°=解得BD=2,在△ABD中,由余弦定理得AB=9+2-2×20.(本小題滿分13分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=714,sin∠CBA=21解:(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC故由題設(shè)知,cos∠CAD=7+1-42(2)設(shè)∠BAC=α,則α=∠BAD∠CAD.因?yàn)閏os∠CAD=277,cos∠BAD=所以sin∠CAD=1=1=217sin∠BAD=1=1=321于是sinα=sin(∠BAD∠CAD)=sin∠BADcos∠CADcos∠BADsin∠CAD=32114×277（=32在△ABC中,由正弦定理,BCsinα=故BC=AC=7=3.21.(本小題滿分14分)如圖,在平面四邊形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=7,EA=2,∠ADC=2π∠BEC=π3(1)求sin∠CED的值;(2)求BE的長(zhǎng).解:如題圖,設(shè)∠CED=α.(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE22CD·DE·cos∠EDC.由題設(shè)知,7=CD2+1+CD,即C