2026年中考數(shù)學暑假提分特訓試卷（附答案可下載）考試時間：120分鐘滿分：150分（核心目標：立足暑假提分黃金期，聚焦中考高頻壓軸題型、進階重難點，強化解題思路拓展與技巧沉淀，突破知識瓶頸，提升應試實戰(zhàn)能力，為中考沖刺蓄力）特訓范圍：數(shù)與代數(shù)（二次函數(shù)綜合、方程不等式高階應用、分式與根式運算進階）、圖形與幾何（三角形全等相似綜合、四邊形壓軸、圓的切線與弧長面積計算、圖形變換綜合）、統(tǒng)計與概率（概率綜合應用、統(tǒng)計圖表分析），側重跨模塊融合題型與應試策略訓練。一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分?；A拔高+進階突破，適配暑假特訓起點）下列運算正確的是（）

A.√24÷√6=2B.(a+b)2=a2+b2C.2a3·3a2=6a?D.√3+√2=√5

（特訓要點：二次根式運算、完全平方公式、整式乘法，基礎運算進階突破）

關于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A.k≤2B.k≤2且k≠1C.k<2D.k<2且k≠1

（特訓要點：一元二次方程定義與根的判別式，參數(shù)取值雙重約束強化）

二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象與x軸的交點坐標為（）

A.(3，0)和(-1，0)B.(3，0)和(1，0)C.(-3，0)和(1，0)D.(-3，0)和(-1，0)

（特訓要點：二次函數(shù)與坐標軸交點，函數(shù)基礎進階應用）

如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=2:3，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為（）

A.9B.16C.25D.36

（特訓要點：相似三角形面積比與邊長比關系，幾何計算進階）

在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若OA=5，AD=6，則矩形的面積為（）

A.24B.30C.48D.60

（特訓要點：矩形性質、勾股定理，四邊形基礎拔高計算）

將△ABC繞點A順時針旋轉60°得到△ADE，若AB=3，AC=4，則線段CE的長度為（）

A.3B.4C.5D.無法確定

（特訓要點：旋轉的性質、等邊三角形判定，圖形變換進階題型）

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為C，若∠ACD=30°，則∠B的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

（特訓要點：切線性質、圓周角定理，圓的基礎進階題型）

某組數(shù)據(jù)為2、4、5、6、8、x，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則x的值為（）

A.3B.7C.3或7D.無法確定

（特訓要點：平均數(shù)、中位數(shù)的聯(lián)動計算，統(tǒng)計量進階應用）

若分式方程(2x)/(x-1)-1=m/(x-1)有增根，則m的值為（）

A.1B.2C.3D.4

（特訓要點：分式方程增根問題，易錯點專項突破）

已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y=4/x（x>0）的圖象交于A(1，4)、B(4，1)兩點，則不等式kx+b<4/x的解集為（）

A.0<x<1或x>4B.1<x<4C.x<0或1<x<4D.x<1或x>4

（特訓要點：一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，不等式解集判斷）

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分。聚焦進階重難點，強化知識遷移與綜合應用）因式分解：x?-16=__________；計算：(2√5-√3)(2√5+√3)=__________。

（特訓要點：因式分解高階運算、平方差公式，運算能力拔高）不等式組{3x-2>4；2(x+1)≥5x-7}的解集為__________，其整數(shù)解的個數(shù)為__________。

（特訓要點：一元一次不等式組進階解法，解集與整數(shù)解綜合）

已知二次函數(shù)y=2(x-1)2+k的圖象過點(2，-1)，則該函數(shù)圖象的頂點坐標為__________，最小值為__________。

（特訓要點：二次函數(shù)頂點式、最值問題，函數(shù)進階應用）

在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3/4，AB=20，則△ABC的周長為__________，面積為__________。

（特訓要點：銳角三角函數(shù)、勾股定理，直角三角形綜合計算拔高）

一個扇形的圓心角為120°，弧長為4π，則該扇形的半徑為__________，面積為__________（結果保留π）。

（特訓要點：扇形弧長與面積公式，圓的進階計算）

從分別標有1、2、3、4、5、6的6張卡片中隨機抽取兩張，不放回，則抽到的兩張卡片數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為__________。

（特訓要點：不放回抽樣概率、對立事件，概率綜合應用）

三、解答題（本大題共9小題，共86分。梯度進階，側重壓軸題型拆解與應試技巧特訓）（8分）計算：√18+√(1/2)-3tan45°+(π-√2)?-|√2-3|+(a2b?1)3·(a?2b)2。

（特訓要點：實數(shù)混合運算、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)，基礎綜合拔高）

（8分）先化簡，再求值：(1-3/(x+2))÷(x2-2x+1)/(x2-4)，其中x=√3+1。

（特訓要點：分式化簡求值、因式分解、二次根式代入，分式與根式綜合拔高）

（8分）解分式方程：(x+2)/(x-2)+4/(x2-4)=1，并檢驗；同時解不等式組{2x-1≥3(x-1)；(x+3)/2>x/3}，求其解集。

（特訓要點：分式方程與不等式組綜合，易錯點排查與計算能力拔高）

（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點E在AC上，點D在BA的延長線上，且AD=AE，連接DE，求證：DE⊥BC。

（特訓要點：等腰三角形性質、三角形內角和，幾何推理能力進階）

（10分）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，連接DE、AF交于點G，求證：DE⊥AF；若正方形邊長為4，求△AGD的面積。

（特訓要點：正方形性質、全等三角形判定、面積計算，四邊形壓軸基礎）

（10分）為了解暑假學生數(shù)學提分情況，某培訓機構對80名學生的期末與期初數(shù)學成績差進行統(tǒng)計，結果如下表：

成績提升分檔（分）0-1011-2021-3031以上人數(shù)（人）1632248

（1）求本次統(tǒng)計數(shù)據(jù)的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取中間值，0-10取5，11-20取15.5，21-30取25.5，31以上取35）；

（2）求成績提升21分及以上的學生所占百分比；

（3）若該機構共有500名學生，估計成績提升11-30分的學生人數(shù)。

（特訓要點：加權平均數(shù)、百分比、樣本估計總體，統(tǒng)計綜合應用拔高）

（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線CG，過點A作AE⊥CG于點E，連接AC、BC，求證：AC平分∠BAE；若AE=4，AB=5，求BC的長。

（特訓要點：圓的切線性質、全等三角形、勾股定理，圓的綜合壓軸）

（12分）某商店計劃在暑假期間銷售甲、乙兩種解暑商品，已知購進甲種商品4件和乙種商品3件共需180元；購進甲種商品6件和乙種商品5件共需280元。

（1）求甲、乙兩種商品每件的進價分別為多少元？

（2）該商店決定購進甲、乙兩種商品共100件，甲種商品每件售價30元，乙種商品每件售價45元，若銷售完這批商品的總利潤不低于1250元，求購進甲種商品的最多數(shù)量。

（特訓要點：二元一次方程組、一元一次不等式、利潤問題，實際應用壓軸）

（12分）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象經過點A(-1，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C，連接BC。

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點D的坐標；

（2）求△BCD的面積；

（3）直接寫出當y>0時，x的取值范圍。

（特訓要點：二次函數(shù)解析式、頂點坐標、面積計算，二次函數(shù)綜合壓軸）

參考答案（附暑假提分解析，強化解題技巧與壓軸題型突破）一、選擇題（每小題4分，共40分）A（提分解析：A項√24÷√6=√(24÷6)=√4=2，正確；B項(a+b)2=a2+2ab+b2；C項2a3·3a2=6a?；D項√3與√2不是同類二次根式，不能合并，突破二次根式運算進階易錯點）B（提分解析：一元二次方程有實數(shù)根，需滿足Δ=4-4(k-1)≥0且k-1≠0，解得k≤2且k≠1，強化參數(shù)雙重約束條件）A（提分解析：令y=0，解得x2-2x-3=0，即(x-3)(x+1)=0，交點坐標為(3，0)和(-1，0)，掌握二次函數(shù)與x軸交點求解方法）C（提分解析：AD:DB=2:3，故AD:AB=2:5，相似三角形面積比為邊長比的平方，△ABC面積=4÷(4/25)=25，突破相似三角形面積比應用）C（提分解析：矩形對角線相等且平分，AC=10，由勾股定理得AB=8，面積=6×8=48，強化矩形性質與勾股定理聯(lián)動計算）B（提分解析：旋轉后AC=AE，∠CAE=60°，△ACE為等邊三角形，CE=AC=4，掌握旋轉性質與等邊三角形判定）C（提分解析：連接OC，切線垂直半徑，∠OCD=90°，∠ACO=60°，OA=OC，△AOC為等邊三角形，∠B=∠ACO=60°，強化切線性質與圓周角聯(lián)動）C（提分解析：當x≤5時，中位數(shù)為(4+5)/2=4.5，平均數(shù)為(2+4+5+6+8+x)/6=4.5，解得x=3；當x≥6時，中位數(shù)為(5+6)/2=5.5，平均數(shù)為5.5，解得x=7，突破中位數(shù)與平均數(shù)聯(lián)動計算）B（提分解析：分式方程增根為x=1，去分母得2x-(x-1)=m，代入x=1得m=2，掌握增根問題求解步驟）A（提分解析：結合函數(shù)圖象，當0<x<1或x>4時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)下方，故解集為0<x<1或x>4，強化函數(shù)圖象法判斷不等式解集）二、填空題（每小題4分，共24分）(x2+4)(x+2)(x-2)；17（提分解析：先平方差再平方差因式分解；平方差公式計算得(2√5)2-(√3)2=20-3=17，強化高階因式分解與公式運算）2<x≤2？修正：解不等式①得x<2，解不等式②得x≥-3，解集為-3≤x<2，整數(shù)解為-3、-2、-1、0、1，共5個，突破不等式組解集邊界判斷）(1，-3)；-3（提分解析：代入點(2，-1)得2(2-1)2+k=-1，k=-3，頂點坐標為(1，-3)，最小值為-3，掌握二次函數(shù)頂點式應用）48；96（提分解析：tanA=3/4，設BC=3k，AC=4k，AB=5k=20，k=4，周長=12+16+20=48，面積=1/2×12×16=96，強化三角函數(shù)與勾股定理綜合）6；12π（提分解析：弧長公式得4π=120πr/180，r=6；面積=120π×62/360=12π，掌握扇形弧長與面積聯(lián)動計算）5/6（提分解析：對立事件為積為奇數(shù)，共3種組合，概率為3/15=1/5，故積為偶數(shù)概率為1-1/5=4/5？修正：總組合15種，積為奇數(shù)3種，概率為12/15=4/5，強化對立事件概率計算）三、解答題（共86分，按步驟給分，附提分思路）（8分）解：原式=3√2+√2/2-3×1+1-(3-√2)+(a?b?3)·(a??b2)（2分，提分思路：準確化簡二次根式、負指數(shù)冪，代入特殊角三角函數(shù)值）

=3√2+√2/2-3+1-3+√2+a2b?1（3分，提分思路：合并同類二次根式，規(guī)范整式運算）

=(3√2+√2/2+√2)-5+a2/b=(9√2/2)-5+a2/b（3分，提分思路：化簡至最簡形式，兼顧二次根式與整式）（8分）解：原式=(x+2-3)/(x+2)÷(x-1)2/[(x+2)(x-2)]（2分，提分思路：通分化簡，因式分解分母，統(tǒng)一分式形式）

=(x-1)/(x+2)×(x+2)(x-2)/(x-1)2=(x-2)/(x-1)（3分，提分思路：約分簡化，消去同類因式，避免計算誤差）

當x=√3+1時，原式=(√3+1-2)/(√3+1-1)=(√3-1)/√3=(3-√3)/3（3分，提分思路：二次根式分母有理化，精準代入求值）（8分）解：分式方程兩邊同乘(x+2)(x-2)得：(x+2)2+4=(x+2)(x-2)（1分，提分思路：找準最簡公分母，去分母注意符號）

x2+4x+4+4=x2-4，4x=-12，x=-3（1分，提分思路：整理方程，解一元一次方程）

檢驗：x=-3時，(x+2)(x-2)≠0，故x=-3是原方程的解（1分，提分思路：必做檢驗，排除增根）

解不等式①：2x-1≥3x-3，x≤2；解不等式②：3(x+3)>2x，x>-9（3分，提分思路：規(guī)范解不等式，注意不等號方向）

解集為-9<x≤2（2分，提分思路：取不等式解集的公共部分，精準表示）（8分）證明：過點A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∴∠BAF=∠CAF（2分，提分思路：利用等腰三角形三線合一構造輔助線）

∵AD=AE，∴∠D=∠AED，∠BAC=∠D+∠AED=2∠D（2分，提分思路：等腰三角形性質與外角定理）

∠BAF=∠D，∴DE∥AF，又AF⊥BC，∴DE⊥BC（4分，提分思路：平行線判定與性質，完成推理）（10分）（1）證明：∵正方形ABCD，AB=AD，∠DAE=∠ABF=90°，E、F為中點，AE=BF（2分，提分思路：正方形性質找全等條件）

∴△DAE≌△ABF（SAS），∠ADE=∠BAF，又∠BAF+∠DAG=90°，∴∠ADE+∠DAG=90°，∠AGD=90°，DE⊥AF（3分，提分思路：全等性質與直角三角形判定）

（2）解：由全等得DE=AF=√(42+22)=2√5，面積法得AG=(AD·AE)/DE=(4×2)/(2√5)=4/√5，DG=√(AD2-AG2)=8/√5（3分，提分思路：面積法求線段長）

△AGD面積=1/2×AG×DG=1/2×(4/√5)×(8/√5)=16/5（2分，提分思路：直角三角形面積計算）

答：△AGD面積為16/5（10分）解：（1）平均數(shù)=(5×16+15.5×32+25.5×24+35×8)/80（2分，提分思路：加權平均數(shù)公式應用，準確取中間值）

=(80+496+612+280)/80=1468/80=18.35（分）（2分，提分思路：精準計算求和，避免計算誤差）

（2）21分及以上人數(shù)=24+8=32（人），百分比=32÷80×100%=40%（2分，提分思路：百分比計算，找準對應人數(shù)）

（3）11-30分人數(shù)=32+24=56（人），估計總人數(shù)=500×56/80=350（名）（3分，提分思路：樣本估計總體，強化比例換算）

答：（1）18.35分；（2）40%；（3）350名（1分，規(guī)范作答）（10分）（1）證明：連接OC，CG是切線，OC⊥CG，AE⊥CG，OC∥AE，∠OCA=∠CAE，OA=OC，∠OAC=∠OCA，故AC平分∠BAE（4分，提分思路：切線性質與平行線聯(lián)動，證明角平分線）

（2）解：△AEC≌△ABC（AAS），AE=AB=4？修正：∠EAC=∠BAC，∠AEC=∠ACB=90°，△AEC∽△ACB，AE/AC=AC/AB，AC2=4×5=20，BC=√(AB2-