安徽省滁州市2025-2026學年高三（上）期末模擬數(shù)學試卷4一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z滿足(1+i)?z=3-i，則z=(

)A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i2.已知α，β∈R，則“α+β2=π2+kπ(k∈Z)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知全集U=R，集合A=x|x2-x-6>0，B=x∈Z|A.-1,3 B.-1,3 C.-1,0,1,2,3 D.0,1,2,34.已知sin(α+π6)=4A.6365 B.3365 C.16655.函數(shù)f(x)=|x2-1|A. B.

C. D.6.我國古代數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一幅“弦圖”給出了勾股定理的證明，后滅稱該“弦圖”為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.若AE=3，DE=4，M為正方形EFGH及其內(nèi)部的動點，則(MA+MB)?ABA.[-52,52]B.[-7.已知圓O：x2+y2=4，直線2x-y+a=0上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得∠APB=60°，則A.[-4,4] B.(-∞,4] C.[-45,48.在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC=120°.將菱形沿對角線AC折疊成大小為30°的二面角B'-AC-D.若點E為B'C的中點，F(xiàn)為三棱錐B'-ACD表面上的動點，且總滿足AC⊥EF，則點F軌跡的長度為(

)A.4+6-22 B.4+二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=(1,-1,2)是平面α的一個法向量，O是空間直角坐標系Oxyz的坐標原點，A，B兩點的坐標分別為(-1,1,4)，(-2,2,4)，且點A在平面α內(nèi)，則(

)A.|AB|=2 B.直線OB與平面α平行

C.直線OA與平面α所成角的正弦值為33 D.點B10.把一個三階魔方看成是棱長為1的正方體，若中間層旋轉(zhuǎn)角x(x為銳角)，記表面積增加量為S=f(x)，則下列說法正確的是(

)A.f(π6)=4-233 B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π4對稱

11.已知點F(2,0)，直線l：x=8，O為坐標原點，動點P到點F的距離是點P到直線l的距離的一半.若某直線上存在這樣的點P，則稱該直線為“最遠距離直線”，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.點P的軌跡方程是x216+y212=1

B.直線l：x+2y+8=0是“最遠距離直線”

C.滿足|OP|=2的點P有且僅有4個

D.若點P形成的軌跡為曲線Γ，且矩形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點A關(guān)于原點的對稱點為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點，若AF⊥BF，設13.現(xiàn)有一塊長為22cm，寬和高均為3cm的長方體木料，如圖1所示.工人將其切掉一個四棱柱后，用余下的木料拼接成如圖2所示的幾何體.已知AP=DS=EP=HS=10cm，BQ=CR=FQ=GR，二面角A-PS-E的大小為120°，則圖2所示的幾何體的體積為

cm3．

14.已知函數(shù)f(x)=ex-1-e1-x,x≤1|x-2|-1,x>1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,bccosA=6,3csin(B+C)=b2

(1)求A；

(2)若b+c=2+216.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=32an-n．

(1)求{an}的通項公式；

(2)設bn=(-1)n17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，DP，DA，DC兩兩垂直，四邊形ABCD是梯形，AB/?/CD，PD=AB=AD=12CD=2，M為棱PC的中點．

(1)設過點A，B，M的平面與棱PD交于點N，求證：AB/?/MN；

(2)在線段PA上是否存在點Q，使得平面BMD與平面BQD的夾角的余弦值為13，若存在，求出點Q18.(本小題17分)

如圖，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22且經(jīng)過點Q(2,2),F1(-c,0),F2(c,0)是其左、右焦點，直線l：y=kx+t(k>0,t>0)與C相切于點A．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)記F1，F(xiàn)2到直線l的距離分別為d1，d2，請問d1d2是否為定值？如果為定值，求出此定值；如果不為定值，請說明理由；

(3)已知直線x=λ(λ<-a)與x軸交于點P，與l交于點19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=3x+3-x，g(x)=x2+log3(1+3-x).

(1)用定義證明：函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,0]上為減函數(shù)，在區(qū)間[0,+∞)上為增函數(shù)；

(2)答案1.D

2.A

3.C

4.D

5.D

6.C

7.C

8.A

9.ACD

10.BC

11.ABD

12.613.180-914.(-∞,e15.【解】(1)∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sin(π-A)=sinA，

由3csin(B+C)=b2，得bcsinA=23，

∵bccosA=6，∴tanA=sinAcosA=236=33，

∵A∈(0,π)，∴A=π6；

(2)由(1)知，bc=6cosA=632=43，

由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2，得(b+c)2-2bc-2bccosA=a2，

∵b+c=2+23，∴a2=(2+23)2-83-12=4，∴a=2，

設△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理得2R=asinA=212=4，∴R=2，

∴△ABC外接圓的面積為πR2=4π．

16.【解】(1)由Sn=32an-n，①

當n=1時，a1=32a1-1，解得a1=2；

當n≥2時，Sn-1=32an-1-(n-1)，②

①-②可得an=Sn-Sn-1=32an-n-[32an-1-(n-1)]，

整理得a17.(1)證明：取PD中點N'，連接AN'，MN'，如圖所示：

M為棱PC的中點，則MN'//CD，MN'=12CD，

又AB/?/CD，AB=12CD=2，

故MN'//AB，MN'=AB，

故ABMN'為平行四邊形，所以A，B，M，N'四點共面，

則面ABMN'即為過點A，B，M的平面，

又過點A，B，M的平面與棱PD交于點N，

則點N與點N'重合，故MN//AB；

(2)建立空間直角坐標系，如圖所示：

P(0,0,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，M(0,2,1)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，

設PQ=λPA,λ∈[0,1]，

PA=(2,0,-2)，PQ=(2λ,0,-2λ)，

故DP=(0,0,2)，DQ=DP+PQ=(2λ,0,2-2λ)，DB=(2,2,0),DM=(0,2,1)，

設平面BMD的一個法向量為n1=(x1,y1,z1)，

n1?DB=0n1?DM=0，即2x1+2y1=02y1+z1=0，

令x1=1，則n1=(1,-1,2)，

同理可得平面BQD的一個法向量為18.【解】(1)由題可得1-b2a2=224a2+2b2=1，解得a2=8b2=4，

所以橢圓方程為x28+y24=1；

(2)d1d2是定值，

由題，設A(xA,yA)，聯(lián)立x28+y24=1y=kx+t，

化簡得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-8=0，

則Δ=(4kt)2-4(1+2k2)(2t2-8)=0，即4+8k2=t2，

又F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)，y=kx+t，

所以d1=|-2k+t|1+k2，d2=|2k+t|1+k2，

則d1d2=|(-2k+t)(2k+t)|1+k21+k2=|t2-4k2|