長(zhǎng)春市三校2026屆高三上學(xué)期第三學(xué)程聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．下列說(shuō)法不正確的是()A.命題,,則命題p的否定：,B.若集合中只有一個(gè)元素,則C.若,,則D.已知集合,且,滿(mǎn)足條件的集合N的個(gè)數(shù)為42．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，m是異于l的一條直線(xiàn)，則“”是“且”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知數(shù)列中,,,則()A.1 B. C. D.4．已知雙曲線(xiàn)的焦距為12,則該雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.25．已知平面上不共線(xiàn)的四點(diǎn)O，A，B，C，滿(mǎn)足，則()A. B. C. D.6．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)為鱉臑.若三棱錐為鱉臑，平面，，，且三棱錐的外接球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為()A. B.2 C. D.7．在單項(xiàng)選擇題中，每道題有ABCD四個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.學(xué)生小張與小李兩人對(duì)同一題在選項(xiàng)ABCD中隨機(jī)選擇一項(xiàng).事件M：兩人選擇都正確；事件N：兩人選擇都錯(cuò)誤；事件T：至少有一人選擇正確，則()A.M與N互為對(duì)立事件 B.M與T互斥C. D.8．若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9．設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（i為虛數(shù)單位），記為z的共軛復(fù)數(shù)，則()A. B.復(fù)數(shù)z的虛部為C. D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限10．已知,,,則下列結(jié)論成立的是()A.的最小值為4 B.的最小值為3C.的最小值為2 D.的最小值為111．已知函數(shù),則()A.的最大值是 B.在上單調(diào)遞增C. D.在上有兩個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,,則______.13．已知,若圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1,則b的取值范圍是_______________.14．已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_(kāi)_______.四、解答題（本題共5小題，共77分）15．（13分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求C.（2）若，，在角C的平分線(xiàn)上取點(diǎn)D，且，判斷點(diǎn)D是否在線(xiàn)段AB上，請(qǐng)說(shuō)明理由.16．（15分）近年來(lái),輕食作為餐飲的一種創(chuàng)新形態(tài),廣受消費(fèi)者青睞．某公司為了獲得輕食消費(fèi)者行為數(shù)據(jù),對(duì)一地區(qū)消費(fèi)者進(jìn)行抽樣調(diào)查．統(tǒng)計(jì)其中300名消費(fèi)者（表中3個(gè)年齡段的人數(shù)各100人）食用輕食的頻數(shù)與年齡得到如下的頻數(shù)分布表．年齡食用頻數(shù)25歲以下（）25歲到50歲50歲及以上（）輕食低頻消費(fèi)者（每周次）153550輕食中頻消費(fèi)者（每周2-3次）554540輕食高頻消費(fèi)者（每周4-6次及以上）302010(1)已知該地區(qū)25歲以下、25歲到50歲、50歲及以上三個(gè)年齡段的人數(shù)比例為,用頻率估計(jì)概率,求從該地區(qū)隨機(jī)抽取一人,其為高頻消費(fèi)者的概率．(2)從以上樣本的輕食高頻消費(fèi)者（每周4-6次及以上）中,采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人,記這3人中年齡在25歲以下與25歲到50歲的人數(shù)分別為X,Y,記,求的分布列與期望．17．（15分）如圖，四棱錐中，四邊形為直角梯形，平面平面，.，，.(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)若點(diǎn)E在上，且.（i）當(dāng)時(shí)，求P到平面的距離：（ii）是否存在，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（17分）在數(shù)列中，，.（1）求證：是等比數(shù)列；（2）若等比數(shù)列滿(mǎn)足.（i）求的值；（ii）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，求i的值.19．（17分）已知函數(shù).(1)若,,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若存在實(shí)數(shù)b,使得函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn).①求a的取值范圍；②若成等差數(shù)列,求證：.

長(zhǎng)春市三校2026屆高三上學(xué)期第三學(xué)程聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)答案題號(hào)1234567891011答案BADCADCBACABAC12．答案：2713．答案：14．答案：115．答案：（1）（2）點(diǎn)D不在線(xiàn)段AB上.理由見(jiàn)解析解析：（1）由及正弦定理，得.因?yàn)?，所以，即，化?jiǎn)得.因?yàn)?，所以，即，亦?又，所以，.（2）點(diǎn)D不在線(xiàn)段AB上.理由如下：理由一：設(shè)CE為角平分線(xiàn)，E在AB上.由，得.解得，所以點(diǎn)D不在線(xiàn)段AB上.理由二：由余弦定理，得，所以.設(shè)c邊上的高為h，則，即，所以.假設(shè)D在AB邊上，則.因?yàn)?，所以，這與矛盾，所以點(diǎn)D不在線(xiàn)段AB上.16．答案：(1)(2)分布列見(jiàn)解析；期望為1解析：(1)記從該地區(qū)中任抽一人,其年齡在25歲以下、25歲到50歲、50歲及以上分別為事件,,,其為高頻消費(fèi)者為事件B,則,,,由表中數(shù)據(jù)估計(jì)概率,,,所以,即從該地區(qū)中任抽一人,其為高頻消費(fèi)者的概率為．(2)由表知,利用分層抽樣的方法抽取的6人中,年齡在25歲以下與25歲到50歲的人數(shù)分別為3和2,依題意,的所有可能取值分別為0、1、2、3．所以,,,．所以的分布列為：0123P所以的數(shù)學(xué)期望為．17．答案：(1)(2)（i）；（ii）存在，或解析：（1）由平面平面，平面平面，平面，得平面.因?yàn)椋矫?，所以?又四邊形為直角梯形且，則，故兩兩垂直.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，顯然是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，，從而，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.（2）因?yàn)?，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，從而.（i）當(dāng)時(shí)，，，從而P到平面的距離為.（ii）假設(shè)存在滿(mǎn)足題意，與平面所成角為，則.化簡(jiǎn)得，解得或.故存在或，使得與平面所成角的正弦值為.18．答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）（i）；（ii）解析：（1）因?yàn)椋?，又，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）（i）由（1）可得，所以，所以，則，因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得或，又，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為定值，符合題意；（ii）由（i）可知，當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，，所以，易知，所以，所以i為偶數(shù)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，解得或（舍去），所以.19．答案：(1)；(2)①；②證明過(guò)程見(jiàn)解析解析：(1),定義域?yàn)?,令得,故的單調(diào)遞減區(qū)間為；(3)①,即,故,有三個(gè)不同的零點(diǎn),故有3個(gè)不同的正根,令,定義域?yàn)?則需有兩個(gè)極值點(diǎn),則需有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn),令,則,令得,令得,令得,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,,故當(dāng)時(shí),,又時(shí),恒成立,故要想有兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn),需滿(mǎn)