內(nèi)蒙古包頭鐵路第一中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.2．有7名同學(xué)參加百米競賽，預(yù)賽成績各不相同，取前3名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績，為了判斷自己是否能進入決賽，他還需要知道7名同學(xué)成績的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差3．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且是的中點，為坐標(biāo)原點，若點到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.4．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項之和為（）A.12 B.32C.36 D.726．某學(xué)校高二級選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學(xué)進行一項調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的人數(shù)為（）A.8 B.6C.4 D.37．已知空間向量，則（）A. B.C. D.8．某一電子集成塊有三個元件a，b，c并聯(lián)構(gòu)成，三個元件是否有故障相互獨立．已知至少1個元件正常工作，該集成塊就能正常運行．若每個元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個元件出現(xiàn)故障的概率為（）A. B.C. D.9．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B.C. D.10．中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見首日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其大意為：有一個人走里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，恰好走了天到達(dá)目的地，則該人第一天走的路程為（）A.里 B.里C.里 D.里11．已知空間向量，，則（）A. B.C. D.12．是橢圓的焦點，點在橢圓上，點到的距離為1，則到的距離為（）A.3 B.4C.5 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且的斜率之積為，則橢圓的離心率為________14．曲線在點處的切線方程為__________15．過點且與直線垂直的直線方程為______16．定義在上的函數(shù)滿足：有成立且，則不等式的解集為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）著名的“康托爾三分集”是由德國數(shù)學(xué)家康托爾構(gòu)造的，是人類理性思維的產(chǎn)物，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的兩個閉區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構(gòu)成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區(qū)間長度為，記第n次操作后剩余的各區(qū)間長度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長度總和為，若使不大于原來的，求n的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，）18．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）設(shè)，求證:數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項和19．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，，M，N分別為AB和PC的中點（1）求證：MN//平面PAD；（2）求平面MND與平面PAD的夾角的余弦值20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，若.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知橢圓長軸長為4，A，B分別為左、右頂點，P為橢圓上不同于A，B的動點，且點在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線AP與直線（m為常數(shù)）交于點Q，①當(dāng)時，設(shè)直線OQ的斜率為，直線BP的斜率為．求證：為定值；②過Q與PB垂直的直線l是否過定點？如果是，請求出定點坐標(biāo)；如果不是，請說明理由22．（10分）設(shè)：函數(shù)的定義域為；：不等式對任意的恒成立（1）如果是真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）如果“”為真命題，“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，所以，解得，故選：D2、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)按成績排序7選3，即可知還需明確的成績數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設(shè)，7名同學(xué)參加百米競賽，要取前3名參加決賽，則成績從高到低排列，確定7名同學(xué)成績的中位數(shù)，即第3名的成績便可判斷自己是否能進入決賽.故選：C.3、D【解析】由題設(shè)可得，直線的方程為，點線距離公式表示到直線的距離，又聯(lián)立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設(shè)，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯(lián)立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.4、C【解析】利用函數(shù)在上單調(diào)遞減即可求解.【詳解】解：因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.5、C【解析】利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合角標(biāo)和定理即可求解.【詳解】解：等差數(shù)列中，所以等差數(shù)列的前6項之和為：故選：C.6、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時人.故選：.7、A【解析】求得，即可得出.【詳解】，，，.故選：A.8、A【解析】記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現(xiàn)故障，進而結(jié)合對立事件的概率公式得，再根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】解：記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現(xiàn)故障，則為該集成塊不能正常工作，所以，，所以故選：A9、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可知，，，成等比數(shù)列，由等比中項特點可構(gòu)造方程求得，由等比數(shù)列通項公式可求得，進而得到結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，成等比數(shù)列，則，即，解得：，，，解得：.故選：D.10、C【解析】建立等比數(shù)列的模型，由等比數(shù)列的前項和公式求解【詳解】記第天走的路程為里，則是等比數(shù)列，，，故選：C11、C【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運算法則求解即可【詳解】因為，，所以，故選：C12、C【解析】利用橢圓的定義直接求解【詳解】由題意得，得，因為，，所以，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.5【解析】根據(jù)對稱性設(shè)，，，根據(jù)得到，再求離心率即可.【詳解】由對稱性，，關(guān)于原點對稱，設(shè)，，，，故.故答案為：14、【解析】先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可【詳解】由題，當(dāng)時，，故點在曲線上求導(dǎo)得：，所以故切線方程為故答案為：15、【解析】先設(shè)出與直線垂直的直線方程，再把代入進行求解.【詳解】設(shè)與直線垂直的直線為，將代入得：，解得：，故所求直線方程為.故答案為：16、【解析】由，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解即可【詳解】設(shè),又有成立，函數(shù)，即是上的增函數(shù)，，即,，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長度的和，求得其通項公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，結(jié)合題意，得到，利用對數(shù)的運算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后的“康托爾三分集”為；【小問2詳解】解：將定義的區(qū)間長度為，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長后組成的數(shù)為以為首項，為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第2次操作去掉兩個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第3次操作去掉四個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第4次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，所以第次操作后剩余的各區(qū)間長度和為；【小問3詳解】解：設(shè)定義區(qū)間，則區(qū)間長度為1，由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，要使得“康托三分集”的各區(qū)間的長度之和不大于，則滿足，即，即，因為為整數(shù)，所以的最小值為.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）將變形為，得到為等比數(shù)列，（2）由（1）得到的通項公式，用錯位相減法求得【詳解】（1）由，，可得，因為則，，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，（2）由（1），由，可得，，，上面兩式相減可得：，則【點睛】數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列和或差數(shù)列的求和(4)裂項相消法：用于通項能變成兩個式子相減，求和時能前后相消的數(shù)列求和.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在平面中構(gòu)造與平行的直線，利用線線平行推證線面平行即可；（2）以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得兩個平面的法向量，利用向量法即可求得兩個平面夾角的余弦值.【小問1詳解】取中點為，連接，如下所示：因為為正方形，為中點，故可得//；在△中，因為分別為的中點，故可得//；故可得//，則四邊形為平行四邊形，即//，又面面，故//面.【小問2詳解】因為面面，故可得，又底面為正方形，故可得，則兩兩垂直；故以為坐標(biāo)原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：故可得，設(shè)平面的法向量為，又則，即，不妨取，則，則，取面的法向量為，故.設(shè)平面的夾角為，故可得，即平面MND與平面PAD的夾角的余弦值為.20、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)所給條件先求出首項，然后仿寫，作差即可得到的通項公式；(2)根據(jù)（1）求出的通項公式，觀察是由一個等差數(shù)列加上一個等比數(shù)列得到，要求其前項和，采用分組求和法結(jié)合公式法可求出前項和【小問1詳解】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，∴，化簡得，∴是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，因此的通項公式為.【小問2詳解】由（1）得，∴，∴，∴21、（1）（2）①證明見解析；②直線過定點；【解析】（1）依題意得到方程組，解得，即可求出橢圓方程；（2）①由（1）可得，，設(shè)，，表示出直線的方程，即可求出點坐標(biāo)，從而得到、，即可求出；②在直線方程中令，即可得到的坐標(biāo)，再求出直線的斜率，即可得到直線的方程，從而求出定點坐標(biāo)；【小問1詳解】解：依題意可得，即，解得或（舍去），所以，所以橢圓方程為【小問2詳解】解：①由（1）可得，，設(shè)，，則直線的方程為，令則，所以，，所以，又點在橢圓上，所以，即，所以，即為定值；②因為直線的方程為，令則，因為，所以，所以直線的方程為，即又，所以，令，解得，所以