引言引言級(jí)數(shù)分為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)無(wú)窮積分，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)含參變量反常積分[1]，它們都是數(shù)學(xué)分析中基本的概念。含參變量反常積分和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，有許多一致收斂判別方法，且二者在一致收斂時(shí)，均可討論它們的分析性質(zhì)，二者的收斂性是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分。此外，在給出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的相關(guān)定義、概念、分析性質(zhì)、一致收斂的判別方法等之后，可以運(yùn)用類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想，平行推導(dǎo)出含參變量反常積分的相關(guān)概念。在研究含參變量反常積分和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性時(shí)，不但加深了對(duì)數(shù)學(xué)分析內(nèi)容的理解，而且掌握類(lèi)比思想可以更好地提升思維能力。本文將從三個(gè)方面進(jìn)行討論。先給出含參變量反常積分的定義、分析性質(zhì)、一致收斂判別方法的證明及應(yīng)用.再針對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)給出其定義、分析性質(zhì)、一致收斂判別方法的證明及應(yīng)用.在上述的基礎(chǔ)上，研究含參變量反常積分和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性之間的關(guān)系，建立二者之間的聯(lián)系，然后研究收斂性的相關(guān)問(wèn)題.在討論二者之間的聯(lián)系時(shí)，可利用類(lèi)比的方法進(jìn)行探究，從函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)入手，平行推導(dǎo)出含參變量反常積分的相關(guān)問(wèn)題.進(jìn)而推廣至含個(gè)參變量的反常積分與元函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之間的收斂性，并將含單個(gè)參變量反常積分的分析性質(zhì)推廣至含個(gè)參變量的情形以及給出證明過(guò)程.這在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中，可以對(duì)整個(gè)知識(shí)的體系有更好的把握.含參變量反常積分含參變量反常積分的定義性質(zhì)含參量的無(wú)窮限反常積分和含參量的無(wú)界函數(shù)反常積分都是含參變量反常積分.首先，分別介紹它們的相關(guān)概念.（1）含參量的無(wú)窮限反常積分.定義1.1.1[2]設(shè)函數(shù)在上有定義，是一個(gè)區(qū)間，固定，反常積分（1.1）均為收斂的，則其值記為，函數(shù)是在上取值的，則,，此時(shí)，稱(chēng)（1.1）是定義在上的含參量的無(wú)窮限反常積分，即含變參量反常積分.為了討論其收斂性的相關(guān)問(wèn)題，給出了什么是一致收斂，以及常用的柯西一致收斂準(zhǔn)則和確界描述.定義1.1.2（一致收斂）[2]對(duì)于任意的，總是存在實(shí)數(shù)，使得，，都有即，稱(chēng)含參變量反常積分（1.1）在上一致收斂.即,有.定理1.1.1（一致收斂準(zhǔn)則）[3]式（1.1）在上一致收斂對(duì)于，，時(shí)，對(duì)于，有.定理1.1.2[3]式（1.1）在上一致收斂，其.關(guān)于含參變量反常積分（1.1）在區(qū)間上一致收斂,以上三個(gè)說(shuō)法是等價(jià)的：定義1.1.2定理1.1.1定理1.1.2.(2)含參量的無(wú)界函數(shù)反常積分.對(duì)含參量的無(wú)界函數(shù)反常積分，可參照（1）的情給出它的定義、定理.也就是說(shuō)，參考上述的相關(guān)定義、定理，就可以仿照它們，寫(xiě)出以下的定義、定理.定義1.1.3[4]設(shè)函數(shù)在區(qū)域上有定義.若對(duì)于的某些值，是函數(shù)的瑕點(diǎn)，則稱(chēng)反常積分（1.2）是含參量的無(wú)界函數(shù)反常積分，即含變參量反常積分.一致收斂的定義：含參變量反常積分（1.2）收斂（為瑕點(diǎn)）對(duì)于任意的，總是存在，使得時(shí)，，都有.一致收斂準(zhǔn)則：式（1.2）在上一致收斂對(duì)于任意的，總是存在，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)于，都有.一致收斂的確界描述：式（1.2）在上一致收斂，其中.關(guān)于含參變量反常積分（1.2）在區(qū)間上一致收斂,以上三個(gè)說(shuō)法也是等價(jià)的：一致收斂的定義一致收斂準(zhǔn)則一致收斂的確界描述.其次，當(dāng)含參變量反常積分一致收斂，就可以對(duì)它的性質(zhì)進(jìn)行討論[5]，其分析性質(zhì)是：連續(xù)性、可微性、可積性.下面分別給出了這三個(gè)性質(zhì)的定理.定理1.1.5(連續(xù)性)[6]設(shè)關(guān)于變量是連續(xù)的，若含參變量反常積分關(guān)于x在上一致收斂，則在上連續(xù).定理1.1.6(可微性)[6]設(shè)與均為上的連續(xù)函數(shù).若在上收斂,在上一致收斂,則在上可微，且.定理1.1.7(可積性)[6]設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，若在上一致收斂，則在上可積，且.1.2含參變量反常積分一致收斂性判別法與證明要想證明參變量反常積分在它給定的區(qū)間里的一致收斂性，可以運(yùn)用的方法有以下三種：判別法、判別法、判別法.這三個(gè)判別法都是證明一致收斂性的充分必要的條件，下面給出了這三個(gè)判別法和它們的證明過(guò)程.定理1.2.1（判別法）[6]設(shè)函數(shù)，使得,,,且收斂，則（1.1）在上一致收斂.證明因?yàn)槭諗浚啥ɡ?.1.1可得：對(duì)于任意的正數(shù)，存在某個(gè)實(shí)數(shù)，使得，有,又,,,即，所以（1.1）在上一致收斂.上述定理是含參量的無(wú)窮限反常積分的判別法及證明過(guò)程.將上述定理中的換成時(shí)，并且設(shè)為瑕點(diǎn)，就得到含參量無(wú)界函數(shù)反常積分的判別法.判別法、判別法也是同理類(lèi)似可得，因此下面就不再贅述了.定理1.2.2（判別法）[6]設(shè)（1）（1.1）在上一致收斂.（2）對(duì)于任意的，函數(shù)為的單調(diào)函數(shù)；（3）且對(duì)參量，在上一致有界.則含參變量反常積分在上一致收斂.證明由于（1.1）在上一致收斂，由定理1.1.1可知，對(duì)于任意的，，時(shí)，有.又對(duì)于任意的，為的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)參量，在上一致有界，所以對(duì)于任意的正數(shù)，存在某一正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有.那么時(shí)，對(duì)于任意的，由積分第二中值定理得：其中在與之間.因此，由定理1.1.1可得：在上，一致收斂.定理1.2.3（判別法）[6]設(shè)（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)，含參變量正常積分對(duì)參量在上一致有界，即存在，對(duì)于任意的，任意的，有；（2）對(duì)于任意的，函數(shù)為的單調(diào)函數(shù)；（3）且當(dāng)時(shí)，對(duì)參量，一致收斂于0；則含參變量反常積分在上一致收斂.證明因?yàn)?，關(guān)于在上一致有界，即，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的正數(shù)，有，又對(duì)于任意的，為的單調(diào)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，對(duì)參量，一致收斂于0，所以對(duì)于任意的正數(shù)，存在某一正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，任意的，由積分第二中值定理，存在，使得.因此，由定理1.1.1（一致收斂準(zhǔn)則）可得：在上，積分一致收斂.1.3含參變量反常積分一致收斂判別法的應(yīng)用討論一致收斂性的判別例1.3.1[7]證明在上，的一致收斂性.證明因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)，有，且反常積分收斂.所以，由定理1.2.1（判別法）可得：在上一致收斂.例1.3.2證明下列各題（1）在上一致收斂；（2）在上一致收斂；（3）在上一致收斂；（4）在上一致收斂.證明(1)因?yàn)?又反常積分在上收斂.所以,由定理1.2.1（判別法）可得：在區(qū)間上，積分一致收斂.因?yàn)?，又在?反常積分收斂.所以,由定理1.2.1（判別法）可得：在上，積分一致收斂.因?yàn)?反常積分收斂.所以,由定理1.2.1（判別法）可得：在上，積分一致收斂.因?yàn)?反常積分收斂.所以,由定理1.2.1（判別法）可得：在上，積分是一致收斂的.例1.3.3[3]證明在上是一致收斂的.證明因?yàn)?1)反常積分是收斂的，，它對(duì)于參量在區(qū)間上一致收斂.(2)對(duì)每一個(gè)，函數(shù)為的單調(diào)函數(shù)；(3)且對(duì)任何，都有.所以由定理1.2.2（判別法）可得：在上一致收斂.例1.3.4[3]證明在上，內(nèi)閉一致收斂.證明（1）因?yàn)樵O(shè)，則對(duì)任意的，都有.而，因此一致有界.又，因此關(guān)于單調(diào)遞減；且當(dāng)時(shí)，對(duì)于參量，一致收斂于0.所以，由定理1.2.3（判別法）可得：在上，內(nèi)閉一致收斂.例1.3.5[7]證明含參變量反常積分在上一致收斂.證法1因?yàn)閷?duì)于任意的，積分是收斂的.（1）又因?yàn)槭諗?，與無(wú)關(guān)，所以在上一致收斂.對(duì)于任意固定的，為的單調(diào)函數(shù)；且，因此在上一致有界.所以由定理1.2.2（判別法）可得：在上，積分一致收斂.證法2將含參變量積分改寫(xiě)成.任意實(shí)數(shù)，由于.即對(duì)于任意實(shí)數(shù)，因此在上，是一致有界的.第2章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)任意固定的，為的單調(diào)函數(shù)；且當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，關(guān)于一致收斂.所以，由定理1.2.3（判別法）可得：在上，積分一致收斂.第2章函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義性質(zhì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是屬于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一部分內(nèi)容，而函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)列又是緊密聯(lián)系的。下面首先給出與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有關(guān)的基本概念.定義2.1.1[8]設(shè)為定義在上的一個(gè)函數(shù)列,（2.1）是定義在上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),可記為或者.稱(chēng)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（2.1）的部分和函數(shù)列.定義2.1.2[8]式（2.1）在收斂域上每點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和構(gòu)成一個(gè)定義在上的函數(shù),稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和函數(shù).記為：即. 由此可得,研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（2.1）的收斂性的相關(guān)問(wèn)題的時(shí)候，可從其部分和函數(shù)列的收斂性[9]入手.其次，給出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（2.1）一致收斂的概念.定義2.1.5[8]設(shè)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列.如果在上一致收斂于函數(shù),則稱(chēng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂于函數(shù),或稱(chēng)在上一致收斂.即.定理2.1.1(一致收斂準(zhǔn)則)[8]函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂于對(duì)于，存在，使得，對(duì)于，都有().定理2.1.2[8]函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂于.在區(qū)間上一致收斂于,以上三個(gè)說(shuō)法是等價(jià)的：定義2.1.5定理2.1.1定理2.1.2.最后，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)具有三個(gè)性質(zhì)，分別是：連續(xù)性、逐項(xiàng)求積、逐項(xiàng)求導(dǎo).下面給出這三個(gè)性質(zhì).定理2.1.3(連續(xù)性)[6]若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂，且每項(xiàng)均連續(xù)，則它和函數(shù)在上也連續(xù).該定理說(shuō)明，一致收斂時(shí)，求和和求極限運(yùn)算可交換，即.定理2.1.4(逐項(xiàng)求積)[6]若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂，且每項(xiàng)均連續(xù)，則.該定理說(shuō)明，一致收斂時(shí)，先逐項(xiàng)求積再求和與先逐項(xiàng)求和再求積是一樣的.定理2.1.5(逐項(xiàng)求導(dǎo))[6]若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上每項(xiàng)都有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，的收斂點(diǎn)是，，且在上一致收斂，則.該定理說(shuō)明，一致收斂時(shí)，先逐項(xiàng)求導(dǎo)再求和與先逐項(xiàng)求和再求導(dǎo)是一樣的.2.2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別法與證明證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，除了根據(jù)定義等條件來(lái)進(jìn)行判別,還能運(yùn)用下列方法，觀(guān)察所給出的級(jí)數(shù)的各項(xiàng)特點(diǎn)判別.由此介紹一致收斂的充分條件,即判別法、判別法、判別法.并給出三個(gè)判別法的證明過(guò)程.定理2.2.1（M判別法）[6]若，設(shè)且正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,由數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的準(zhǔn)則,對(duì)于,,使得,,有,又由得：,有.所以，由定理2.1.1(一致收斂準(zhǔn)則)可得，在上一致收斂.定理2.2.2（判別法）[6]設(shè)（1）在區(qū)間上一致收斂；（2）對(duì)于,單調(diào)；（3）在上一致有界,即,使得對(duì)于和,有,則在上一致收斂.證明由（1）得,,正數(shù),正整數(shù),,有.由（2）,（3）以及阿貝爾引理可得.所以，由定理2.1.1(一致收斂準(zhǔn)則)得：在上一致收斂.定理2.2.3（判別法）[6]設(shè)的部分和函數(shù)列在上一致有界；對(duì)于,單調(diào)；在上一致收斂于0,則在上一致收斂.證明由（1）得,正整數(shù),,有.因此當(dāng)任意正整數(shù)，有.對(duì)于，再由（2）以及阿貝爾引理可得.再由（3），對(duì)于，正數(shù)，當(dāng)時(shí)，，有,所以.所以，由定理2.1.1(一致收斂準(zhǔn)則)得：級(jí)數(shù)在上一致收斂.2.3函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別法的應(yīng)用在討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂時(shí)，可以觀(guān)察并根據(jù)一些級(jí)數(shù)自身的特性，結(jié)合判別法、判別法、判別法這三種判別法，準(zhǔn)確地得出結(jié)果.例2.3.1判別下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在所示區(qū)間上的一致收斂性.（1）,；（2）,；（3）,.解：（1）因?yàn)閷?duì)任意有,又正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.因此，由定理2.2.1（M判別法）可得：在上，一致收斂.（2）因?yàn)閷?duì)任意有,又正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.所以，由定理2.2.1（M判別法）可得：在上，一致收斂.（3）因?yàn)閷?duì)任意有,又級(jí)數(shù)收斂，所以，由定理2.2.1（M判別法）可得：在上，是一致收斂的.例2.3.2證明：是上的連續(xù)函數(shù)，且存在.證明因?yàn)?，又收斂，所以由定?.2.1（M判別法）可得：在上，一致收斂.對(duì)任意的，因?yàn)檫B續(xù)，所以在上連續(xù)，因此存在.例2.3.3[10]證明：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明因?yàn)橛?，?1)關(guān)于一致收斂；(2)對(duì)于任意，單調(diào)遞增；(3)一致有界，即存在，對(duì)于任意和任意的正整數(shù)，有，所以，由定理2.2.2（判別法）可得：在上，一致收斂.例2.3.4[11]若級(jí)數(shù)收斂，證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂.證明記，，(1)關(guān)于一致收斂；(2)對(duì)于任意，單調(diào)遞增；(3)一致有界，即存在，對(duì)于任意和，有，所以，由定理2.2.2（判別法）可得：在上，一致收斂.例2.3.5[10]若數(shù)列單調(diào)收斂于0，則級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明記，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，因?yàn)?1)在上的部分和函數(shù)列一致有界；(2)對(duì)于任意，是單調(diào)的；(3)對(duì)于任意，，即在上一致收斂于零,所以，由定理2.2.3（判別法）可得：在上函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂.第3章含參變量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性第3章含參變量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性3.1含參變量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系含參變量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)均為數(shù)學(xué)分析中重要內(nèi)容，二者之間有著密不可分的聯(lián)系.二者之間的關(guān)系本質(zhì)上為函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的關(guān)系.運(yùn)用類(lèi)比的思想，從研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)入手，可以得出含參變量反常積分相關(guān)概念.下面給出二者之間的關(guān)系.取數(shù)列，隨著的嚴(yán)格遞增，假設(shè)，，則可得到如下關(guān)系式：上式把含參變量無(wú)窮限反常積分分布到可列個(gè)有限區(qū)間，變成無(wú)限個(gè)含參量正常積分的和，因而與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之間建立起聯(lián)系.即含參變量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性之間的聯(lián)系[12].定理3.1.1[6]含參變量反常積分（1.1）在上一致收斂遞增數(shù)列，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（3.1）在上一致收斂.證明必要性：由（1.1）在上一致收斂得，對(duì)于，，使，對(duì)于，都有.又由當(dāng)時(shí)，可得，對(duì)于任意的正數(shù)，存在正整數(shù)，只要當(dāng)時(shí)就有.由可得：對(duì)任意的，都有.因此，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.充分性：用反正法.假設(shè)（1.1）在上不一致收斂，則存在，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在著相對(duì)應(yīng)的和，有.此時(shí)，取，則，，使得.取，則，以及，使得.由于是遞增數(shù)列，而且，現(xiàn)對(duì)級(jí)數(shù)進(jìn)行考察.由：，對(duì)于，只要，就有某個(gè)，使得.這與級(jí)數(shù)在上一致收斂的假設(shè)矛盾，因此含參變量反常積分（1.1）在上一致收斂.在上述的定理中，可以把式（1.1）當(dāng)成連續(xù)型函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).3.2含參變量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的關(guān)系在上述的基礎(chǔ)上，可以從以下兩個(gè)方面二者之間的一致收斂性聯(lián)系進(jìn)行研究.判別方法的平行推導(dǎo).從函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別法入手，其一致收斂準(zhǔn)則、上確界極限為零、判別法、判別法、判別法，它們都可平行推導(dǎo)出含參變量反常積分相應(yīng)的一致收斂性判別法.定理2.1.1（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂準(zhǔn)則）定理1.1.3（含參變量反常積分一致收斂準(zhǔn)則）.定理2.2.1（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法）定理1.2.1（含參變量反常積分判別法）.先將定理2.2.1中的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)利用式（1.1）進(jìn)行替換，再把函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)利用反常積分進(jìn)行替換，就可以平行類(lèi)推出定理1.2.1.定理2.2.2（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法）定理1.2.2（含參變量反常積分判別法）.先將定理2.2.2中的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)利用式（1.1）進(jìn)行替換，再把函數(shù)列替換成函數(shù)，就可以平行類(lèi)推出定理1.2.2.定理2.2.3（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法）定理1.2.3（含參變量反常積分判別法）.先將定理2.2.3中的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)替換成含參量正常積分，再把函數(shù)列替換成函數(shù)，就可以平行類(lèi)推出定理1.2.3.證明過(guò)程的平行推導(dǎo).根據(jù)定理3.1.1，二者的一致收斂準(zhǔn)則、判別法、判別法、判別法等一致收斂判別法，可直接運(yùn)用類(lèi)比的思想平行借鑒得到，因此在相關(guān)定理的證明思路上也是可以運(yùn)用類(lèi)比的思想平行推導(dǎo)得出[12].定理2.1.1（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂準(zhǔn)則）的證明定理1.1.3（含參變量反常積分一致收斂準(zhǔn)則）的證明.由定理2.1.1可知對(duì)于，，使得，對(duì)于一切的和正整數(shù)，有.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以類(lèi)比成含參變量反常積分，任兩個(gè)大于的實(shí)數(shù)，，則.，，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，首項(xiàng)為，且，，令，則，此時(shí)，是任意的兩個(gè)大于的數(shù)，令，，即，由此類(lèi)比出含參變量反常積分的一致收斂準(zhǔn)則，即得到定理1.1.3[12].定理2.2.1（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)M判別法）的證明定理1.2.1（含參變量反常積分M判別法）的證明.由定理2.2.1的證明：設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，對(duì)于，，，對(duì)于，有.又由得：,有.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以類(lèi)比成含參變量反常積分，把函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)利用反常積分進(jìn)行替換，任兩個(gè)大于的實(shí)數(shù)，，則，，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，首項(xiàng)為，且，，令，則，此時(shí)，是任意的兩個(gè)大于的數(shù)，令，，即，由此類(lèi)比得到定理1.2.1.以下的平行推導(dǎo)可從第一章的1.2節(jié)與第二章的2.2節(jié)中看出.因?yàn)樵诘谝徽碌?.2節(jié)與第二章的2.2節(jié)中已經(jīng)給出了具體的證明過(guò)程，因此下面不在詳細(xì)寫(xiě)出每個(gè)定理的證明過(guò)程，只給出它們之間平行推導(dǎo)的關(guān)系.定理2.2.2（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法）的證明定理1.2.2（含參變量反常積分判別法）的證明.定理2.2.3（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法）的證明定理1.2.3（含參變量反常積分判別法）的證明.3.3含參變量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的應(yīng)用例3.2.1設(shè)，討論含參變量反常積分在區(qū)間上關(guān)于的一致收斂性.解法1：由于大于零恒成立，且在上關(guān)于單調(diào)遞減.對(duì)于，且.因?yàn)椋?，所以?jí)數(shù)收斂.因此，由定理2.2.1（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)M判別法）可得：在上關(guān)于一致收斂.故由定理3.1.1可得：在上關(guān)于一致收斂.法2：由于，因此由柯西判別法可得：含參變量反常積分在區(qū)間上關(guān)于是一致收斂的[3].例3.2.2設(shè)的收斂半徑為，且收斂，證明：收斂，且.證明，由阿貝爾判別法可知，在上一致收斂，從而可以逐項(xiàng)積分，即.又,，有，而收斂，所以在上一致收斂，從而可以逐項(xiàng)極限，于是.含參變量反常積分性質(zhì)證明，均運(yùn)用到了定理3.1.1.下面給出這三個(gè)性質(zhì)的證明.參考文獻(xiàn)定理1.1.5(連續(xù)性)[6]證明由定理3.1.1，對(duì)于任意遞增數(shù)列，，，在上一致收斂.又因?yàn)樵趨^(qū)域上連續(xù)，所以每一個(gè)在區(qū)間上均為連續(xù)的.根據(jù)定理2.1.3（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的連續(xù)性）可知：函數(shù)在上連續(xù).定理1.1.6(可微性)[6]證明對(duì)于任意遞增數(shù)列，，，令.且.由在區(qū)間上一致收斂和定理3.1.1得，在上一致收斂，因此根據(jù)定理2.1.5(函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo))，得，或者.定理1.1.7(可積性)[6]證明設(shè)由定理1.1.5可知在上連續(xù)，從而在上可積.又由定理3.1.1中的（3.1）可得：在上一致收斂，且各項(xiàng)在上連續(xù)，因此，由定理2.1.4(函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求積)得.3.4含個(gè)參變量的反常積分與元的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用在含多個(gè)參變量的反常積分與多元函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)[13]之間，也可以得到類(lèi)似于定理3.1.1那樣的關(guān)系，也就是說(shuō)，二者之間的一致收斂性可以運(yùn)用類(lèi)比思想，平行推導(dǎo)至含K個(gè)參變量的情形.首先，推廣含個(gè)參變量反常積分與元的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的關(guān)系.含個(gè)參變量的反常積分在上一致收斂遞增數(shù)列，元函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（3.2）在上一致收斂.（其中，是上的有界區(qū)域)其次，將上述的推廣進(jìn)行應(yīng)用.在第一章中所給出的分析性質(zhì)是含單個(gè)參變量的反常積分，現(xiàn)在也將其進(jìn)行推廣，從而給出含兩個(gè)參變量[14]、三個(gè)參變量的情形，經(jīng)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)可以逐步推廣至含個(gè)參變量的情形也成立.于是再繼續(xù)推導(dǎo)至含個(gè)參變量的情形.并且給出了含個(gè)參變量的情形的證明.(1)連續(xù)性.含兩個(gè)參變量：設(shè)關(guān)于變量是連續(xù)的，如果積分關(guān)于在上一致收斂，則在上連續(xù).(其中，是上的有界區(qū)域)含三個(gè)參變量：設(shè)關(guān)于變量是連續(xù)的，如果積分關(guān)于在上一致收斂，則在上連續(xù).(其中，是上的有界區(qū)域)含個(gè)參變量：設(shè)關(guān)于變量是連續(xù)的，如果積分關(guān)于在上一致收斂，則在上連續(xù).(其中，是上的有界區(qū)域)證明因?yàn)樵谏弦恢率諗浚詫?duì)于，，使得時(shí)，,對(duì)上一切成立，因此當(dāng)在上時(shí)，也對(duì)一切成立，，又在上連續(xù)，所以是在上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)，，使當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，有，即是上連續(xù)函數(shù).(2)可微性含兩個(gè)參變量：設(shè)和在有界開(kāi)區(qū)域上關(guān)于變量是連續(xù)的，如果在上收斂，在上關(guān)于一致收斂，則在上可微，且和.(其中，是上D的有界投影區(qū)域)含三個(gè)參變量：設(shè)和在上關(guān)于變量是連續(xù)的，如果在上收斂，在上關(guān)于一致收斂，則在上可微，且，和(其中，是上D的有界投影區(qū)域)含個(gè)參變量：設(shè)和在上關(guān)于變量是連續(xù)的，如果在上收斂，在上關(guān)于一致收斂，則在上可微，且.(其中，是上的有界投影區(qū)域)證明因?yàn)椋珊瑐€(gè)參變的連續(xù)性得：是上的連續(xù)函數(shù)，沿著積分得：，對(duì)上式兩邊求導(dǎo)，由于連續(xù)，得到.（3）可積性含兩個(gè)參變量：設(shè)關(guān)于變量是連續(xù)的，如果關(guān)于在上一致收斂，則在上可積，且.(其中，是上的有界區(qū)域)含三個(gè)參變量：設(shè)關(guān)于變量是連續(xù)的，如果關(guān)于在上一致收斂，則在上可積，且.(其中，是上的有界區(qū)域)含個(gè)參變量：設(shè)關(guān)于變量是連續(xù)的，如果關(guān)于在上一致收斂，則在上可積，且.(其中，是上的有界區(qū)域)證明由含個(gè)參變反常積分的連續(xù)性知：在上連續(xù)，從而在上可積.又由（3.2）可得：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂，且各項(xiàng)在上連續(xù).所以，由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求積定理得：.結(jié)論本文對(duì)參變量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性進(jìn)行研究，分別對(duì)含參變量反常積分、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、參變量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)三種情形進(jìn)行討論.第一種情形是針對(duì)含參變量反常積分，先給出含參變量反常積分的相關(guān)概念，三個(gè)性質(zhì)，一致收斂判別法及證明與應(yīng)用.第二種情形是關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的，也是按照第一種的情形