/安徽省安慶市宿松縣部分校聯(lián)考2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知是關(guān)于的二次函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為（

）A．2 B． C．2或 D．03．已知拋物線，其中，若是方程的兩根，且，則當(dāng)時(shí)，的值（

）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．與零的大小關(guān)系無法確定4．如圖，線段AB＝5，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，以點(diǎn)A為圓心，線段AP長(zhǎng)為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)P，B之間的距離為y，⊙A的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（

）

A．正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系C．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系5．人類既能欣賞美，更能創(chuàng)造美，即使是五角星，也蘊(yùn)含著“黃金分割”，如圖，C為的黃金分割點(diǎn)（），則下列結(jié)論中正確的是（

）

A． B． C． D．6．如圖，D是等邊△ABC邊AB上的一點(diǎn)，且AD：DB＝2：3，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC和BC上，則CE：CF＝（）A． B． C． D．7．若，且相似比為，則等于（）A．2:3 B．3:2 C．4:9 D．9:48．在中，，，則的值為（

）A． B． C． D．29．已知，，求的度數(shù)．小明經(jīng)過思考后，畫出如圖所示的網(wǎng)格并把和畫在網(wǎng)格中，連接得到，且．由此可知，．小明這種求解體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 B．分類思想 C．統(tǒng)計(jì)思想 D．方程思想10．將圖所示的七巧板，拼成圖所示的四邊形，連接，則的值等于（

）A． B． C． D．二、填空題11．若函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第象限．12．已知反比例函數(shù)的圖象在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，則的取值范圍是．13．如圖，在四邊形中，平分，且，．當(dāng)時(shí)，．14．社團(tuán)活動(dòng)課上，九年級(jí)學(xué)習(xí)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他們?cè)贐處測(cè)得旗桿頂部A的仰角為，，則旗桿的高度為m．三、解答題15．已知拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求a的值．16．線段a、b、c，且（1）求的值；（2）如線段a、b、c滿足，求的值；17．已知二次函數(shù)．（1）求此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）畫出此函數(shù)的圖象；（3）當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為________；（4）若點(diǎn)和都在此函數(shù)的圖象上，且，結(jié)合函數(shù)圖象，則m的取值范圍為________．18．如圖，拋物線的圖象過點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）此拋物線的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，連結(jié)，，求的面積．19．已知、、是的三邊長(zhǎng)，且.（1）求的值；（2）若的周長(zhǎng)為90，求各邊的長(zhǎng).20．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)B在線段上，且，若點(diǎn)P在x軸的正半軸上，連接，過點(diǎn)P作，點(diǎn)E是射線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作軸，垂足為點(diǎn)C．（1）求證：；（2）如圖2，連接，若，且與相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）如圖3，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，過點(diǎn)A作軸，且與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，若點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)正好落在線段上，連接，，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)．（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個(gè)拋物線于N．求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．22．已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，且與軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)：（3）若拋物線上僅存在一個(gè)點(diǎn)，使得，若，求的最大值．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+ax+b交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線BP與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求拋物線y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求sin∠OCB的值．

答案1．【正確答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的定義．根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得關(guān)于的不等式，解不等式即可．【詳解】解：∵是關(guān)于的二次函數(shù)，∴，∴，故選．2．【正確答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義：一般地，形如（a，b，c為常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)，（a，b，c為常數(shù)，）也叫做二次函數(shù)的一般形式．根據(jù)二次函數(shù)的定義，最高次項(xiàng)必須為二次且系數(shù)不為零求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于的二次函數(shù)，∴且．解方程得或．又∵，∴．∴．故選：A．3．【正確答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，方程的兩根可看做拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)，兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，畫出圖象進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．①當(dāng)都在x軸正半軸時(shí)，，②當(dāng)在y軸兩側(cè)時(shí)，，③當(dāng)在y軸兩側(cè)時(shí)，．【詳解】解：把代入拋物線，解得：，∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則方程的兩根可看做拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)，∴兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，①當(dāng)都在x軸正半軸時(shí)，由圖可知，在下方，∴，∴，不符合題意；②當(dāng)在y軸兩側(cè)時(shí)，，由圖可知，，∴，符合題意；∴；③當(dāng)在y軸左側(cè)時(shí)，，由圖可知，，∴，不符合題意；綜上：當(dāng)時(shí)，，故選A．4．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意分別列出y與t，S與t的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，，即，是一次函數(shù)；⊙A的面積為，即，是二次函數(shù)故選C5．【正確答案】D【分析】本題考查“黃金分割”，根據(jù)“黃金分割”的定義“把一條線段分割為兩部分，使較大部分與整體之比等于較小部分與較大部分之比，比值為”即可求解，掌握“黃金分割”的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；C為的黃金分割點(diǎn)（），，故D選項(xiàng)正確；，故B，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D．6．【正確答案】A【分析】依據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到DE＝CE、CF＝DF；設(shè)AD＝2k，則DB＝3k；根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：設(shè)AD＝2k，則DB＝3k，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝5k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA＋∠FDB＝120°，又∵∠EDA＋∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，由折疊得CE＝DE，CF＝DF，∴△AED的周長(zhǎng)為7k，△BDF的周長(zhǎng)為8k，∴△AED與△BDF的相似比為7：8，∴CE：CF＝DE：DF＝7：8．故選A．7．【正確答案】C【分析】因?yàn)橄嗨迫切蔚拿娣e比等于相似比的平方，根據(jù)兩個(gè)三角形的相似比即可求出面積比.【詳解】，且相似比為，則等于4:9故選C.8．【正確答案】A【分析】本題考查了三角函數(shù)的基本定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，，設(shè)，則，根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：構(gòu)造直角三角形如下：根據(jù)題意，得，設(shè)，則，∴，故選A．9．【正確答案】A【分析】結(jié)合圖形進(jìn)行分析即可．【詳解】正切的定義幾何網(wǎng)格圖進(jìn)行分析，屬于數(shù)形結(jié)合思想，故選A10．【正確答案】B【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．設(shè)等腰直角的直角邊為，利用圖形的位置關(guān)系求出大正方形的邊長(zhǎng)和大等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：如圖，如圖，設(shè)等腰直角的直角邊為，則，小正方形的邊長(zhǎng)，

∴，∴，∴，∴，如圖，作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，，由圖（）可得，，，∴，，∴，∴，故選．11．【正確答案】一【分析】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的定義，指數(shù)部分必須為2且系數(shù)不為零，解出k的值，再代入一次函數(shù)解析式，分析其圖象所經(jīng)過的象限．【詳解】解：由題意得：且，解得：，∴一次函數(shù)為，∵，，圖象經(jīng)過第（二）第三和第四象限，不經(jīng)過第一象限.12．【正確答案】/【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的圖象在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大得出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，∴，∴．13．【正確答案】9【分析】本題考查相似三角形的判定，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵平分，∴，當(dāng)時(shí)，，即：，∵，，∴，∴.14．【正確答案】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，直接利用銳角三角函數(shù)，求出的值即可．【詳解】解：由題意：，∴.15．【正確答案】的值為或【分析】根據(jù)題意可得拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，然后根據(jù)根的判別式求解即可．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，即拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，解得：或，∴的值為或．16．【正確答案】（1）；（2）3．【分析】（1）根據(jù)可得，由此即可得出答案；（2）設(shè)，從而可得，再根據(jù)可得的值，從而可得的值，然后代入計(jì)算即可得．【詳解】解：（1）∵，∴，∴；（2）設(shè)，則，，，由得：，解得，所以，，，所以．17．【正確答案】（1）直線，（2）見詳解（3）（4）或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，畫二次函數(shù)圖象，圖象法求自變量的取值范圍，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式求解即可；（2）先列表，然后描點(diǎn)，最后連線即可；（3）由（2）得對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；再分別算出當(dāng)和時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再進(jìn)行比較大小，即可作答．（4）根據(jù)函數(shù)圖象求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）列表如下：…0……3003…函數(shù)圖象如下所示：（3）解：由（1）得函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為由（2）的函數(shù)圖象，得出函數(shù)開口方向向上，在處有最小值，且，依題意，把代入，得；把代入，得；∵，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為．（4）解：∵點(diǎn)和都在此函數(shù)的圖象上，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，或．18．【正確答案】（1）（2）10【分析】本題考查了“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”“待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式”，熟練掌握二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．（1）代入已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解析式即可．（2）令，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，計(jì)算得出，再用面積公式求解即可．【詳解】（1）將代入拋物線解析式得，解得

∴拋物線解析式為．（2）令得，，解得，，

∴，，∴，

∵，∴，∴．19．【正確答案】（1）；（2）各邊的長(zhǎng)為：30，24，36【分析】利用已知中的比例式，用同一未知數(shù)表示出a，b，c的值，進(jìn)而計(jì)算得出答案．【詳解】解：（1）∵，∴設(shè)a=5x，b=4x，c=6x，∴，（2）∵的周長(zhǎng)為90，∴a+b+c=90∴5x+4x+6x=90∴x=6∴各邊的長(zhǎng)為：30，24，3620．【正確答案】（1）見詳解（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為或（3）或【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可證，且即可證明；（2）首先可知，，分點(diǎn)E在點(diǎn)P上方或點(diǎn)E在點(diǎn)P下方兩種情況，然后再分或，分別進(jìn)行計(jì)算即可；（3）設(shè)，則，由，得，再證，在中，表示出三邊的長(zhǎng)度，利用勾股定理列方程即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，，∴，∴．（2）解：如圖，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)E，P，C為頂點(diǎn)的三角形和相似，∴，∴，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)E，P，C為頂點(diǎn)的三角形與相似，同理可得，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)E坐標(biāo)為：或．（3）解：如圖，過點(diǎn)作于G，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于F，四邊形、、是矩形，∵點(diǎn)C坐標(biāo)為，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴或，∴或．21．【正確答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4（3）D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），（0，﹣2）或（4，4）【分析】（1）首先求得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．（2）求得線段MN的表達(dá)式，這個(gè)表達(dá)式是關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求線段MN的最大值．（3）明確D點(diǎn)的可能位置有三種情形，如圖2所示，不要遺漏．其中D1、D2在y軸上，利用線段數(shù)量關(guān)系容易求得坐標(biāo)；D3點(diǎn)在第一象限，是直線D1N和D2M的交點(diǎn)，利用直線解析式求得交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，2），B（4，0）．將x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；將x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=．∴拋物線解析式為：y=﹣x2+x+2．（2）如圖1，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)E，則E（t，0），BE=4﹣t．∵，∴ME=BE?tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．又∵N點(diǎn)在拋物線上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2．∴．∴當(dāng)t=2時(shí)，MN有最大值4．（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．如圖2，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，D點(diǎn)的可能位置有三種情形．（i）當(dāng)D在y軸上時(shí)，設(shè)D的坐標(biāo)為（0，a），由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，從而D為（0，6）或D（0，﹣2）．（ii）當(dāng)D不在y軸上時(shí)，由圖可知D為D1N與D2M的交點(diǎn)，由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程為y=x+6；由D2（0，﹣2），M（2，1）易得D2M的方程為y=x﹣2．由兩方程聯(lián)立解得D為（4，4）．綜上所述，所求的D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．22．【正確答案】（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為或（3）【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、面積問題、二次函數(shù)的最值等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是關(guān)鍵．（1