/北京市房山區(qū)2025?2026學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．為弘揚(yáng)體育精神，學(xué)校組織了“運(yùn)動圖標(biāo)賞析”活動．下列運(yùn)動圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．如果分式的值為0，那么的值是（

）A． B． C． D．3．下列各組二次根式是同類二次根式的是（

）A．與 B．與 C．與 D．與4．在六張卡片上分別寫有0，，，，，（每相鄰兩個1之間多一個0），這六個數(shù)，從中隨機(jī)抽取一張，卡片上的數(shù)為無理數(shù)的可能性大小是（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，點在邊上，點在邊上，連接，若，則等于（

）A． B． C． D．6．如圖，用三角尺作的邊上的高，下列三角尺的擺放位置正確的是（

）A． B．C． D．7．下面是“作的平分線”的尺規(guī)作圖方法：（1）如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點C，D；（2）分別以C，D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；（3）作射線．上述方法通過判定，得到，其中判定的依據(jù)是（

）A．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等B．兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等C．兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等D．三邊分別相等的兩個三角形全等8．如圖，在中，，，于點，平分交于點，交于點，過點作于點，交于點．給出下面四個結(jié)論：①；②；③；④．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④二、填空題9．若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．10．寫出一個比2大且比3小的無理數(shù)：．11．某郵政局推出新款紀(jì)念封，所有紀(jì)念封均采用形狀、大小、質(zhì)地都相同的卡片，背面分別印有“珍愛”、“捍衛(wèi)”、“和平”的字樣，正面完全相同．現(xiàn)將如下4張紀(jì)念封洗勻后正面向上放在桌子上，從中隨機(jī)抽取一張，抽出的紀(jì)念封背面恰好印有“和平”字樣的可能性大小是．12．如圖，線段，交于點，連接，，，添加一個條件證明，這個條件可以是．（寫出一個即可）13．已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則等腰三角形的頂角的度數(shù)為．14．如圖，是的角平分線，，垂足為．若，則的面積是．15．如圖，在中，，，于點，點和點分別是，上的動點，連接，，則的最小值為．16．如圖，在直線上依次擺著7個正方形，已知傾斜放置的3個正方形的面積分別為1，2，3，水平放置的4個正方形的面積分別是，，，．（1）計算：；（2）按此規(guī)律繼續(xù)擺放正方形，傾斜放置的正方形面積依次增加1，則．三、解答題17．計算：．18．計算：．19．解方程：．20．先化簡，再求值：已知，求代數(shù)式的值．21．在不透明口袋里有除顏色外其它都相同的4個紅球和3個白球．（1）先從袋子里取出m（m≥1）個白球，不放回，再從袋子里隨機(jī)摸出一個球，將“摸出紅球”記為事件A．①如果事件A是必然事件，則m的值為_________．②如果事件A是隨機(jī)事件，則m的值為_________．（2）先從袋子中取出n個紅球，再放入除顏色外其它都相同的n＋3個黑球并搖勻，若隨機(jī)摸出一個球是紅球的可能性大小是，求n的值．22．如圖，在中．．求作線段的中點．小明發(fā)現(xiàn)作線段的垂直平分線交于點，點即為所求．（1）使用直尺和圓規(guī)，依小明的思路作出點（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．∵垂直平分，∴________（________）（填推理依據(jù)）．∴．∵，∴，．∴________．∴．∴．∴點為線段的中點．23．如圖，已知點，，，在同一條直線上，，，．求證：．24．下面是證明在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半的兩種添加輔助線的方法．選擇其中一種，完成證明．在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在中，，．求證：．方法一證明：如圖，延長到點，使，連接．方法二證明：如圖，在上截取，連接．25．《千里江山圖》是北宋王希孟創(chuàng)作的絹本設(shè)色畫，現(xiàn)收藏于北京故宮博物院．如圖是小山同學(xué)所畫的一幅長方形的局部臨摹作品，裝裱前作品長為，寬為，將其四周裝裱上邊襯后，整幅作品長與寬的比是，且四周邊襯的寬度相等，求邊襯的寬度．26．如圖，在中，，，，平分交于點，于點．（1）求證：；（2）求的長．27．如圖，在中，，射線交邊于點，且，點關(guān)于直線的對稱點為點，連接交于點，連接，．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）證明：；（3）用等式表示，和的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．對于線段與點（點不在線段上）給出如下定義：點為線段上任意一點，如果線段的長度有最小值，那么稱這個最小值為點與線段的“劣距”，記作；如果線段的長度有最大值，那么稱這個最大值為點與線段的“優(yōu)距”，記作．如圖，中，，，．（1）_____，_____；（2）點關(guān)于直線的對稱點為，連接．若點在線段上，且]是[點，線段]的2倍，直接寫出線段的長度；（3）過點作．若點在直線上，，直接寫出的取值范圍．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A，C，D選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；B選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選B．2．【正確答案】D【分析】本題主要考查了分式值為零的條件，分式值為零的條件是分子為零，且分母不為零，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，∴，故選D．3．【正確答案】B【分析】本題考查了同類二次根式．根據(jù)同類二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，故該選項不合題意；B、，與是同類二次根式，故該選項符合題意；C、，，與不是同類二次根式，故該選項不合題意；D、與不是同類二次根式，故該選項不合題意．故選B．4．【正確答案】B【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，無理數(shù)的定義，化簡二次根式，判斷六個數(shù)中的無理數(shù)個數(shù)，則概率為無理數(shù)的個數(shù)除以數(shù)的總數(shù)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：無理數(shù)有，，（每相鄰兩個1之間多一個0），共3個，∵一共有6個數(shù)，且每個數(shù)被抽取的概率相同，∴從中隨機(jī)抽取一張，卡片上的數(shù)為無理數(shù)的可能性大小是，故選B．5．【正確答案】A【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，掌握外角的性質(zhì)及計算是關(guān)鍵，根據(jù)三角形的外角得到，結(jié)合即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選A．6．【正確答案】B【分析】本題考查三角形的高，從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．根據(jù)三角形的高的定義判斷即可．【詳解】解：的邊上的高是經(jīng)過點C與垂直的線段，A、是邊上的高，故此選項不符合題意；B、是邊上的高，故此選項符合題意；C、不是邊上的高，故此選項不符合題意；D、是邊上的高，故此選項不符合題意；故選B．7．【正確答案】D【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖得到，結(jié)合，利用證明即可．【詳解】解：由作圖可知：，又∵，∴

，∴；故選D．8．【正確答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，，是等腰直角三角形，證明，，可判定①正確；由角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理可判定②正確；證明，得，，可判定③正確；由線段的等量代換可判定④正確，由此即可求解．【詳解】解：∵，，∴，，是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，故①正確；∵是等腰直角三角形，平分，∴，在中，，在中，，∴，∴，故②正確；∵，∴，且，∴，∴，，故③正確；∵，，∴，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④，故選D．9．【正確答案】【詳解】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件，要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須，∴．10．【正確答案】答案不唯一：如只要即可．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義有，這樣就可得到滿足條件的無理數(shù)．【詳解】解：∵，∵一個比2大且比3小的無理數(shù)，∴只要滿足即可；∴如.11．【正確答案】/【分析】本題考查了概率的計算，理解題意，掌握概率的計算是關(guān)鍵，根據(jù)題意有4種選擇結(jié)果，符合題意的有2種結(jié)果，由概率公式計算即可【詳解】解：現(xiàn)將如下4張紀(jì)念封洗勻后正面向上放在桌子上，從中隨機(jī)抽取一張，共有4種結(jié)果，抽出的紀(jì)念封背面恰好印有“和平”字樣的有2種結(jié)果，∴抽出的紀(jì)念封背面恰好印有“和平”字樣的可能性大小.12．【正確答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定定理，根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．全等三角形的判定定理有．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，添加條件，可以利用證明，添加條件，可以利用證明，添加條件，可以利用證明.13．【正確答案】或【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論，一種情況等腰三角形為銳角三角形，另一種情況等腰三角形為鈍角三角形，由題意，即可得出結(jié)果．本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于正確的畫出圖形，結(jié)合圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．【詳解】解：①如圖1，等腰三角形為銳角三角形，∵，∴，即頂角的度數(shù)為．②如圖2，等腰三角形為鈍角三角形，∵，∴，∴．14．【正確答案】6【分析】本題考查了角平分線，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)是的角平分線，角平分線上的點到角兩邊距離相等，即D到的距離，最后根據(jù)三角形面積公式即可得到答案．【詳解】解：∵是的角平分線，∴角平分線上的點到角兩邊距離相等，∴D到的距離，∴的面積.15．【正確答案】【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)及其判定定理，連接，可證明垂直平分，得到，則可推出當(dāng)P、C、E三點共線，且時，有最小值，最小值為此時線段的長，可證明是等腰直角三角形，得到，據(jù)此利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，，∴，∴垂直平分，∴，∴，∵垂線段最短，∴當(dāng)P、C、E三點共線，且時，有最小值，最小值為此時線段的長，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴的最小值為.16．【正確答案】4；【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，再根據(jù)等角的余角相等得到，判定，于是有，然后利用勾股定理得到，代換后有，根據(jù)正方形的面積公式得到，所以，利用同樣方法可得到，即可得到答案；（2）據(jù)此類推，；再計算即可．【詳解】解：（1）如圖：圖中的四邊形為正方形，，，，，在和中，，，，，，，，同理可得，．故答案是：4；（2）由（1）可知，這7個正方形擺放的規(guī)律是斜放的正方形面積等于左右兩邊正方形面積之和．；；；；．17．【正確答案】【分析】本題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算，化簡二次根式，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，先化簡二次根式，再去絕對值和計算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，最后計算加減法即可得到答案．【詳解】解：．18．【正確答案】【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，先利用乘法公式去括號，再計算加減法即可得到答案．【詳解】解：．19．【正確答案】【分析】本題主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化為整式方程，再解方程并檢驗即可得到答案．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得，整理得，解得，檢驗，當(dāng)時，，∴是原方程的解．20．【正確答案】，【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，分母有理化，先把小括號內(nèi)的式子通分化簡，再把除法變成乘法后約分化簡，最后代值計算即可得到答案．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．21．【正確答案】（1）①3；②1或2（2）n=2【分析】（1）①如果先從袋子里取出m（m≥1）個白球，不放回，從袋子里隨機(jī)摸出一個球是必然事件，則袋子里面裝的都是紅球，即可求出取出的白球個數(shù)；②如果先從袋子里取出m（m≥1）個白球，不放回，從袋子里隨機(jī)摸出一個球是隨機(jī)事件，則袋子里面裝的既有紅球又有白球，即可求出取出的白球個數(shù)；（2）根據(jù)概率公式列出等式，解出n的值即可．【詳解】（1）解：先從袋子里取出m（m≥1）個白球，不放回，再從袋子里隨機(jī)摸出一個球，將“摸出紅球”記為事件A，①如果事件A是必然事件，則袋子中只有紅球，則拿出了3個白球，則m的值為3；②如果事件A是隨機(jī)事件，則袋子中既有紅球又有白球，則取出的白球個數(shù)為1個或2個，則m的值為1或2．故①3；②1或2．（2）解：由題意得：，解得n＝2．22．【正確答案】（1）見詳解（2）；線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；【分析】本題考查了作垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)；（1）根據(jù)題意作線段的垂直平分線交于點，點即為所求．（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，等邊等角可得，進(jìn)而根據(jù)等角的余角相等，可得，得出，等量代換即可得出結(jié)論．【詳解】（1）作圖如圖所示：（2）證明：連接．∵垂直平分，∴（線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等．∴．∵，∴，．∴．∴．∴．∴點為線段的中點．23．【正確答案】見詳解【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)與判定，先證明，，則可利用證明，得到，則可證明．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．24．【正確答案】見詳解【分析】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，掌握以上知識是關(guān)鍵．方法一：證明是等邊三角形，即可求解；方法二：證明是等邊三角形，，等量代換即可求解．【詳解】方法一證明：如圖，延長到點，使，連接，則，∵，∴，在中，，∴，∴，，，在中，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；方法二證明：如圖，在上截取，連接，在中，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；綜上所述，在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．25．【正確答案】【分析】本題考查運(yùn)用分式方程解決實際問題，熟練掌握比的意義，列方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)邊襯的寬度為，表示出裝裱后的長和寬，根據(jù)“整幅圖畫長與寬的比是”即可列出方程，求解并檢驗即可．【詳解】解：設(shè)邊襯的寬度為，依題意，得．解得：．經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，答：邊襯的寬度為．26．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】（1）根據(jù)“”證明即可；（2）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，得出，，設(shè)，根據(jù)勾股定理得出，求出x的值即可．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，，∴，∵，∴；（2）解：∵，，，∴，∵，∴，，∴，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，∴，解得：，∴的長為．27．【正確答案】（1）見詳解（2）