/山東省青島實驗初級中學2025?2026學年八年級上學期數(shù)學12月月考試題一、單選題1．下列各式，屬于二元一次方程的個數(shù)有（

）①；②；③；④；⑤；⑥A．1 B．2 C．3 D．42．有一組數(shù)據(jù)：2，3，1，5，4，9．那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.53．對于命題“如果，那么”，能說明它是假命題的反例是（

）A． B． C． D．4．如圖，用12塊形狀和大小均相同的小長方形紙片拼成一個寬是60厘米的大長方形，則每個小長方形的周長是（

）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米5．如圖，，用含，，的式子表示，則的值為（）A． B．C． D．6．《算法統(tǒng)宗》中有一道題為“隔溝計算”，其原文是：甲乙隔溝放牧，二人暗里參詳，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙說得甲九只羊，二家之數(shù)相當，兩人都在暗思對方有多少只羊，甲對乙說：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙對甲說：“我若得你9只羊，我們兩家的羊數(shù)就一樣多．”設甲有x只羊，乙有y只羊，根據(jù)題意列出二元一次方程組為（

）A． B．C． D．7．已知一組數(shù)：的平均數(shù)為M，方差為N，那么數(shù)組：的平均數(shù)及方差分別是（

）A． B． C． D．8．如圖，，F(xiàn)為AB上一點，，且平分，過點F作于點G，且，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題9．把“直角相等”的逆命題改寫成“如果…，那么…”的形式為．10．如圖，直線與直線相交于點，則方程組的解是．11．已知，則，．12．已知，，，，若，則．13．甲、乙、丙、丁四名運動員參加射擊項目選拔賽，每人射擊10次，成績的平均數(shù)單位：環(huán)和方差如下表：甲乙丙丁環(huán)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，你認為應該推薦運動員去參賽，更有把握贏得比賽．14．如圖，已知，若，，則．15．某人沿電車路線行走，每分鐘有一輛電車從后面趕上，每分鐘有一輛電車迎面開來．若行人與電車都是勻速前進的，則電車每隔min從起點開出一輛．16．圖1是一張足夠長的紙條，其中，點A、B分別在、上，記．如圖2，將紙條折疊，使與重合，得折痕，如圖3，將紙條展開后再折疊，使與重合，得折痕，將紙條展開后繼續(xù)折疊，使與重合，得折痕依此類推，第次折疊后，（用含a和n的代數(shù)式表示）

三、解答題17．尺規(guī)作圖：（保留作圖痕跡，不要求寫作法）已知直線及其兩側(cè)兩點，，如圖，在直線上找一點，使得．18．計算題（1）；（2）19．解方程組（1）（2）20．今年是中國共產(chǎn)主義青年團成立102周年，某校為了了解八年級600名同學對共青團知識的掌握情況，對他們進行了共青團知識測試．現(xiàn)隨機抽取甲、乙兩班各10名同學的測試成績（滿分100分）進行整理分析，過程如下：【收集數(shù)據(jù)】甲班10名學生測試成績分別為：78，83，89，98，100，94，90，93，95，100乙班10名學生測試成績中的成績?nèi)缦拢?1，94，90，93【整理數(shù)據(jù)】班級甲11134乙12142【分析數(shù)據(jù)】班級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲9293.546.8乙908750.2【應用數(shù)據(jù)】（1）根據(jù)以上信息，可以求出：分，分；（2）若規(guī)定測試成績90分及以上為優(yōu)秀，請估計參加本次測試的600名學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的有多少人；（3）甲班的平均分是92分，小明的成績是93分．小華說：“小明的成績高于平均分，所以小明的成績高于甲班一半學生的成績．”你認為小華的說法正確嗎？請說明理由．（4）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為甲、乙兩個班哪個班本次測試的整體成績較好？請說明理由（理由不少于兩條）．21．如圖，點、、在同一條直線上，請你從下面三個條件中，選出兩個作為已知條件，另一個作為結(jié)論，推出一個正確的命題．①；②；③平分．（1）上述問題有哪幾種正確命題，請按“”的形式一一書寫出來；（2）選擇（1）中的一個真命題加以說明．22．學校書法興趣小組準備到文具店購買A、B兩種類型的毛筆，文具店的銷售方法是：一次性購買A型毛筆不超過20支時，按零售價銷售；超過20支時，超過部分每支比零售價低0.4元，其余部分仍按零售價銷售．一次性購買B型毛筆不超過15支時，按零售價銷售；超過15支時，超過部分每支比零售價低0.6元，其余的部分仍按零售價銷售．（1）如果全組共有20名同學，若每人各買1支A型毛筆和2支B型毛筆，共支付145元；若每人各買2支A型毛筆和1支B型毛筆，共支付129元，這家文具店的A、B型毛筆的零售價各是多少？（2）為了促銷，該文具店對A型毛筆除了原來的銷售方法外，同時又推出了一種新的銷售方法：無論購買多少支，一律按原零售價（即（1）中所求得的A型毛筆的零售價）出售．現(xiàn)要購買A型毛筆a支（），在新的銷售方法和原來的銷售方法中，應選擇哪種方法購買花錢較少并說明理由．23．如圖，已知，．（1）求證：；（2）若平分，于點E，，求的度數(shù)．24．【實踐與探索】幻方【背景】幻方又稱魔方、方陣或廳平方，最早起源于中國，是一種中國傳統(tǒng)游戲．宋代數(shù)學家楊輝稱之為縱橫圖．我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等，這個相等的和叫“幻和”，【素材】如圖1就是一個經(jīng)典的九宮格幻方．將1－9九個數(shù)字分別填入幻方的空格中，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和相等．【探究】圖1中，我們可以先計算出這9個數(shù)的和為45，將九宮格看成三行，則每行之和為15，即幻和為15．【拓展探究】請根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）圖2中幻方中，9個方格中的字母分別代表9個連續(xù)的自然數(shù)，其和為180，則幻和為__________，__________；（2）在（1）的基礎上，若，則__________，e=__________；（3）圖3是一個未完成的幻方，求的值．25．當光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等例如：在圖①、圖②中，都有．設鏡子與的夾角．（1）如圖①，若，判斷入射光線與反射光線的位置關系，并說明理由．（2）如圖②，若，入射光線與反射光線的夾角．探索α與β的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如圖③，若，設鏡子與的夾角，入射光線與鏡面的夾角，已知入射光線從鏡面開始反射，經(jīng)過n（n為正整數(shù)，且）次反射，當?shù)趎次反射光線與入射光線平行時，請直接寫出γ的度數(shù)．（可用含有m的代數(shù)式表示）

答案1．【正確答案】A【分析】本題考查了二元一次方程的定義，根據(jù)二元一次方程的定義（含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是1的整式方程），逐一判斷各式的符合情況．【詳解】①：含二次項，是二元二次方程，不符合，②：化簡為，僅含一個未知數(shù)，是一元一次方程，不符合，③：分母含未知數(shù)，是分式方程，不符合，④：變形為，含兩個未知數(shù)且次數(shù)均為1，是二元一次方程，符合，⑤：含二次項，是二元二次方程，不符合，⑥：是代數(shù)式而非方程，不符合，綜上，只有④符合條件，總個數(shù)為1，故選A．2．【正確答案】B【分析】本題考查了中位數(shù)的求法問題，解題時應先把數(shù)據(jù)按照從大到小，或從小到大的順序排列，再求中位數(shù)．把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，取中間兩個數(shù)據(jù)的平均值即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為，，，，，，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．故選B．3．【正確答案】A【分析】滿足條件，但不能得出結(jié)論的即為說明命題是假命題的反例．【詳解】解：當時，滿足條件，但不能得出的結(jié)論，∴能說明命題“如果，那么”是假命題的反例是，故選A．4．【正確答案】D【分析】設小長方形的長為x厘米，小長方形的寬為y厘米，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；【詳解】設小長方形的長為x厘米，小長方形的寬為y厘米，根據(jù)題意可得：，解得：，∴每個小長方形的周長是（厘米）故選D．5．【正確答案】D【分析】本題考查了平行的性質(zhì)，作出相應的輔助線是解題的關鍵．過點作，過點作，可得，從而推出，，即可得到答案．【詳解】解：過點作，過點作，故選D．6．【正確答案】B【分析】本題考查了根據(jù)題意列二元一次方程組．根據(jù)甲和乙的陳述，甲得乙9只羊后，羊數(shù)是乙的2倍；乙得甲9只羊后，兩人羊數(shù)相等．由此列出二元一次方程組．【詳解】解：設甲有x只羊，乙有y只羊，甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且；乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且；∴方程組為．故選B．7．【正確答案】C【分析】本題主要考查方差和算術(shù)平均數(shù)，利用平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)直接求解．【詳解】解：設的平均數(shù)為，則的平均數(shù)為，解得；設的方差為，則的方差為，解得，故選C．8．【正確答案】B【分析】此題考查了角平分線的定義和平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再結(jié)合，可得，可判斷①；根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，可判斷②；根據(jù)題中的條件無法確定的度數(shù)，可判斷③；根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而得到，可判斷④．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故①正確；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故②正確；∵，∴，根據(jù)題中的條件無法確定的度數(shù)，故③錯誤；∵，∴，∵，∴，∴，無法確定是否等于，故④錯誤；故選B9．【正確答案】如果兩個角相等，那么它們是直角．【分析】本題考查逆命題，命題的題設與結(jié)論，熟練掌握以上知識點的應用是解題的關鍵．先要明確命題中的已知條件和結(jié)論，原命題“直角相等”意為“如果兩個角是直角，那么它們相等”，其逆命題是交換條件和結(jié)論，據(jù)此作答即可．【詳解】解：原命題“直角相等”可表述為“如果兩個角是直角，那么它們相等”，那么其逆命題為：“如果兩個角相等，那么它們是直角”．10．【正確答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，熟練掌握一次函數(shù)與二元一次方程組的聯(lián)系是解題關鍵．根據(jù)兩條直線的交點坐標即可得．【詳解】解：∵直線與直線相交于點，∴方程組的解是.11．【正確答案】；【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，絕對值的非負性和平方的非負性等知識點，根據(jù)絕對值的非負性和平方的非負性，列出關于x和y的方程組，解方程組即可．【詳解】解：由非負數(shù)的性質(zhì)，得，，解方程組，將兩式相減，得，，即，解得，代入第二式，得，，解得.12．【正確答案】88°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、角的和差倍分、三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案是：13．【正確答案】乙【分析】此題考查了平均數(shù)和方差，首先比較平均數(shù)，選平均數(shù)最大的并且方差較小運動員的參賽即可．【詳解】解：由表中數(shù)據(jù)可知：乙的平均數(shù)最高，成績最好；雖然丙的方差最小，但其平均數(shù)過低，而乙的方差也較小，發(fā)揮穩(wěn)定；綜合考慮，應推薦運動員乙去參賽14．【正確答案】/度【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，即可得到答案．【詳解】解：∵∴，∵，∴，∴15．【正確答案】【分析】本題考查了相遇問題和追及問題，每分鐘有一輛電車從后面趕上屬于追及問題，等量關系為：電車分走的路程行人分走的路程兩輛電車相間隔的路程；每分鐘有一輛電車迎面開來，是相遇問題，等量關系為：電車分走的路程行人4分走的路程兩輛電車相間隔的路程，兩輛電車間隔的路程為兩輛電車相隔的時間電車的速度．【詳解】解：設電車的每分走米，行人每分走米，電車每隔a分鐘從起點開出一輛，根據(jù)題意可得：，得：，可得：，解得：．16．【正確答案】【分析】由折疊的性質(zhì)折疊次可得，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和及補角性質(zhì)可得答案．【詳解】解：折疊2次可得：，折疊3次可得：，折疊4次可得：，…由折疊的性質(zhì)折疊次可得，在四邊形內(nèi)有四邊形的內(nèi)角和為知：．17．【正確答案】見詳解【分析】本題考查了作圖-復雜作圖：作線段垂直平分線．作的垂直平分線交直線l于P點即可．【詳解】解：如圖，點P即為所作，18．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了二次根式的混合運算，涉及完全平方公式、平方差公式以及根式的化簡和運算．解題時需注意公式的應用和根式的簡化．（1）先利用完全平方公式和二次根式的除法進行計算，最后合并即可；（2）先利用平方差公式進行計算，將除法化成乘法，之后計算乘法，最后化簡二次根式后合并即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．19．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了解二元一次方程組，能選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行求解是解題的關鍵．（1）先用加減消元法求出，將代入①求出，即可求解；（2）原方程組可化為，將方程組的第二個方程化為，用代入消元法進行求解即可．【詳解】（1）解：①得，③，②③得，，解得：，將代入①得，，解得：，原方程組的解為；（2）解：原方程組可化為，由②得，③，將③代入①得，，解得：，將代入③得，，原方程組的解為．20．【正確答案】（1）100，90.5（2）成績?yōu)閮?yōu)秀的有390人（3）不對，理由見詳解（4）甲班，理由見詳解【分析】本題考查了頻數(shù)分布表、中位數(shù)、眾數(shù)和方差，用樣本估計總體，利用平均數(shù)和方差做決策，熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)定義是解題的關鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的求法解答，即可求解；（2）用600乘以成績優(yōu)秀的學生所占的百分比，即可求解；（3）根據(jù)中位數(shù)的意義求解即可；（4）從平均數(shù)和方差的角度分析，即可求解（答案不唯一）．【詳解】（1）解：在78，83，89，98，100，94，90，93，95，100這組數(shù)據(jù)中，100出現(xiàn)的次數(shù)最多，故；乙班10名學生測試成績中，中位數(shù)是，∴．故100，90.5；（2）解：根據(jù)題意得：（人）．答：估計參加本次測試的600名學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的有390人；（3）解：小華的說法不正確，理由如下：小明的成績是否高于一半學生的成績要與中位數(shù)93.5比較，∵小明的成績是93分低于中位數(shù)93.5，∴小明的成績低于一半學生的成績；（4）解：甲班本次測試的整體成績較好．理由如下：∵甲班學生測試成績的平均數(shù)92高于乙班平均數(shù)90，且甲班方差46.8＜乙班方差50.2，∴甲班本次測試的整體成績較好（答案不唯一）．21．【正確答案】（1）有三種正確命題，命題1：；命題2：；命題3：（2）答案不唯一，見詳解【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，選擇兩個條件做題設，一個條件做結(jié)論，得到正確的命題．（2）任選一個命題，根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可證明．【詳解】（1）解：上述問題有三種正確命題，分別是：命題1：；命題2：；命題3：．（2）解：選擇命題1：．證明：∵，∴，．∵，∴．∴平分．選擇命題2：．證明：∵，∴，．∵平分，∴．∴．選擇命題3：．證明：∵平分，∴．∴，∵，∴．∴，∴．22．【正確答案】（1）這家文具店A型毛筆的零售價為每支2元，B型毛筆的零售價為每支3元（2）用原來的方法購買花錢少【分析】（1）設這家文具店的A型毛筆零售價為每支x元，B型毛筆的零售價為每支y元，根據(jù)題中的數(shù)量關系，全組共有20名同學，若每人各買1支型毛筆和2支B型毛筆，共支付145元，若每人各買2支A型毛筆和1支B型毛筆，共支付129元，列出方程組求解即可．（2）在新的銷售方法和原來的銷售方法中，應選擇哪種方法購買花錢較少，這就要計算一下，按新的銷售方法，需要出多少錢，然后比較．如果安原來的銷售方法購買a支A型毛筆共需m元，則．如果按新的銷售方法購買a支A型毛筆共需n元，則．【詳解】解:（1）設這家文具店的A型毛筆零售價為每支x元，B型毛筆的零售價為每支y元，則根據(jù)題意得：解得：答：這家文具店A型毛筆的零售價為每支2元，B型毛筆的零售價為每支3元；（2）如果按原來的銷售方法購買a支A型毛筆共需m元，則，如果按新的銷售方法購買a支A型毛筆共需n元，則于是，∵，∴，∴可見，當時，用新的方法購買得的A型毛筆花錢多．答：用原來的方法購買花錢少．23．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)并靈活運用．（1）根據(jù)，證得，又，等量代換得，從而證得，即可由平行線的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義得，根據(jù)已知求出的度數(shù)，再根據(jù)，，證得，得出，進一步求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵平分，∴，，由（1）知，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．24．【正確答案】（1）60，20（2）19，24（3）【分析】本題考查了代數(shù)式求值，整式的加減運算，一元一次方程的應用，正確理解題意是解題的關鍵．（1）由