/山東省煙臺(tái)市萊陽市四校聯(lián)考2025?2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在一個(gè)不透明的布袋中裝有個(gè)黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在左右，則布袋中黃球可能有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)2．對(duì)于反比例函數(shù)，下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．圖象分布在一、三象限 B．y隨x的增大而減小C．圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn) D．若點(diǎn)在它的圖象上，則點(diǎn)也在它的圖象上3．下圖是由8個(gè)大小相同的小正方體組成的幾何體，若從標(biāo)號(hào)為①②③④的小正方體中取走一個(gè)，使新幾何體的左視圖既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，則應(yīng)取走（

）

A．① B．② C．③ D．④4．將拋物線先向左平移5個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得到新拋物線的表達(dá)式是（

）A． B．C． D．5．函數(shù)與的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（

）A．或或 B．或C．或 D．或或6．如圖，陰影部分表示以直角三角形各邊為直徑的三個(gè)半圓所組成的兩個(gè)新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，則AB的長為（）A． B． C． D．7．如圖是由全等的含角的小菱形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小菱形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，其中點(diǎn)，，在格點(diǎn)上，則的值為（

）A． B． C． D．8．以O(shè)為中心點(diǎn)的量角器與直角三角板按如圖方式擺放，量角器的0刻度線與斜邊重合．D為斜邊上一點(diǎn)，作射線交弧于點(diǎn)E，如果點(diǎn)E所對(duì)應(yīng)的量角器上的讀數(shù)為，那么的大小為（

）A． B． C． D．9．我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”．也就是說通過作圓內(nèi)接正多邊形割圓，來計(jì)算圓周率，正多邊形的邊數(shù)越多所得到的圓周率精確度越高．下圖就是從正六邊形開始割圓，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，…．邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長就越接近圓的周長．這樣再根據(jù)“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計(jì)算圓周率．設(shè)圓的半徑為，先計(jì)算圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長，根據(jù)正六邊形與圓的周長近似相等，可計(jì)算出．接下來根據(jù)圖2圓的內(nèi)接正十二邊形計(jì)算圓周率，下列結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．10．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．則下列結(jié)論：①；②；③；④方程的四個(gè)根的和為s，則；⑤，其中，正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)二、填空題11．化簡．12．一個(gè)布袋里裝有3個(gè)只有顏色不同的球，其中2個(gè)紅球，1個(gè)白球，從布袋里摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，攪勻后再摸出1個(gè)球，則兩次摸到的球都是白球的概率是．13．一個(gè)圓錐的母線長為10，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則這個(gè)圓錐的底面半徑是．14．有一輪船由東向西航行，在處測得西偏北有一燈塔，繼續(xù)航行海里后到處，又測得燈塔在西偏北，如果輪船航向不變，則燈塔與船之間的最近距離是海里．15．如圖，是上三點(diǎn)，且是弧的中點(diǎn)，弦于點(diǎn)，若，，則的長為．16．若拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，且過點(diǎn)，，則．三、解答題17．計(jì)算：（1）；（2）．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與軸、軸交于、兩點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過直線上的點(diǎn)．（1）求直線的表達(dá)式；（2）已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．19．如圖，一輛摩拜單車放在水平的地面上，車把頭下方A處與坐墊下方B處在平行于地面的水平線上，A、B之間的距離約為，現(xiàn)測得、與的夾角分別為與，若點(diǎn)C到地面的距離為，坐墊中軸E處與點(diǎn)B的距離為，求點(diǎn)E到地面的距離（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，）20．如圖，四邊形內(nèi)接于，，延長到點(diǎn)，使得，連接．（1）求證：；（2）若，，，求的值．21．直線與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）若點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．22．為實(shí)施“鄉(xiāng)村振興”計(jì)劃，某村產(chǎn)業(yè)合作社種植了“千畝桃園”．2022年該村桃子豐收，銷售前對(duì)本地市場進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)批發(fā)價(jià)為4千元/噸時(shí)，每天可售出12噸，每噸漲1千元，每天銷量將減少2噸，據(jù)測算，每噸平均投入成本2千元，為了搶占市場，薄利多銷，該村產(chǎn)業(yè)合作社決定，批發(fā)價(jià)每噸不低于4千元，不高于5.5千元．請解答以下問題：（1）求每天銷量y（噸）與批發(fā)價(jià)x（千元/噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)批發(fā)價(jià)定為多少時(shí)，每天所獲利潤最大？最大利潤是多少？23．如圖，為的直徑，F(xiàn)為弦的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，交的延長線于點(diǎn)E，連接．（1）求證：是的切線；（2）若時(shí)，求圖中陰影部分的面積．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，連接AM，CM，求的面積；（3）若點(diǎn)Р是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Р作PE垂直y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】A【分析】本題主要考查用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．解題關(guān)鍵是利用白球的概率公式列方程求解得到白球的個(gè)數(shù)．利用頻率估計(jì)概率得到摸到白球的概率為，然后根據(jù)概率公式計(jì)算得到白球的個(gè)數(shù)即可得到黃球的個(gè)數(shù)．【詳解】設(shè)布袋中可能裝有個(gè)白球，布袋中裝有個(gè)球，且白球的頻率穩(wěn)定在左右，，解得，即布袋中可能裝有個(gè)白球，，布袋中黃球可能有個(gè)黃球．故選A．2．【正確答案】B【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的定義及性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)即可．【詳解】解：A：反比例函數(shù)中，，因此圖象分布在第一、三象限，正確；B：當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)在每一象限內(nèi)隨的增大而減小，但若未限定“在每一象限內(nèi)”，當(dāng)跨越正負(fù)時(shí)（如從增大到），會(huì)從增加到，此時(shí)反而增大，因此選項(xiàng)B的表述不嚴(yán)謹(jǐn)，錯(cuò)誤；C：反比例函數(shù)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，故圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，正確；D：若點(diǎn)在圖象上，則，即，點(diǎn)代入函數(shù)得，因，等式成立，故也在圖象上，正確；故選B3．【正確答案】A【分析】本題考查幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的畫法是解題的關(guān)鍵．分別畫出各選項(xiàng)得出的左視圖，再判斷即可．【詳解】解：A、取走①時(shí)，左視圖為

，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)A符合題意；B、取走②時(shí)，左視圖為

，既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、取走③時(shí)，左視圖為

，既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、取走④時(shí)，左視圖為

，既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選A．4．【正確答案】D【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與平移，根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可，【詳解】解：將拋物線先向左平移5個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，所得直線解析式為：．故選D．5．【正確答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵．由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在的圖象的上方，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在的圖象的上方，∴，故選C．6．【正確答案】A【分析】根據(jù)勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根據(jù)扇形面積公式、完全平方公式計(jì)算即可．【詳解】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，∵S1+S2＝12，∴×π×+π×+AC×BC﹣π×＝12，∴AC×BC＝24，AB＝．故選A．7．【正確答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，正切等知識(shí)．如圖，連接，交于點(diǎn)由菱形的性質(zhì)可得，，設(shè)菱形的邊長為，則，，，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，交于點(diǎn)由菱形的性質(zhì)可得，，設(shè)菱形的邊長為，由圖形為全等的含角的小菱形組成的網(wǎng)格，∴，，，．∴．故選B．8．【正確答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，連接，由題意可得，再由圓周角定理計(jì)算即可得解，熟練掌握圓周角定理是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，∵點(diǎn)E所對(duì)應(yīng)的量角器上的讀數(shù)為，∴，∵為直徑，，∴點(diǎn)在上，∴，故選C．9．【正確答案】A【分析】本題考查了正多邊形和圓的綜合，熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形的相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．先求出圓內(nèi)接正十二邊形的中心角，然后求出，，在中，求出，，進(jìn)而求出圓內(nèi)接正十二邊形的周長，然后根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：十二邊形是圓內(nèi)接正十二邊形，，，，，，，在中，，，，圓內(nèi)接正十二邊形的周長，，故選．10．【正確答案】B【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)綜合進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由拋物線的開口向下可得，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)，所以，，而，∴，故①正確；∵，，∴∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，∴，∴，故②錯(cuò)誤；∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)及另一點(diǎn)，且，∴，故③正確，∵方程有四個(gè)根，∴方程即有2個(gè)根，設(shè)為和；方程即有2個(gè)根，設(shè)為和，則有：，∴，∵，∴，∴，即，故④正確，∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，故⑤錯(cuò)誤；綜上，正確的結(jié)論是①③④，共3個(gè)，故選B．11．【正確答案】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，特殊角的三角函數(shù)值，利用，計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴.12．【正確答案】【分析】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，再從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，然后再用概率公式求解即可．【詳解】解：畫出樹狀圖如下：由樹狀圖可得，共有種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩次摸到的球都是白球的情況有種，故兩次摸到的球都是白球的概率為.13．【正確答案】7【分析】本題主要考查了圓錐側(cè)面展開扇形與底面圓之間的關(guān)系，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．據(jù)此解答即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐的底面半徑為：r，由題意可得：，解得.14．【正確答案】【分析】作PD⊥AB于D，則PD即為所求距離．根據(jù)已知先求得BP的長，再根據(jù)三角函數(shù)即可求得PD的長．【詳解】由題意得，∠1=15°，∠2=30°，AB=10，∴∠APB=∠2-∠1=15°，∴∠1=∠APB=15°，∴AB=PB=10，作PD⊥AB于D，在Rt△PDB中，∠2=30°，∴PD=PB=×10=5（海里）．故答案為5.15．【正確答案】【分析】作直徑，連接，，由弧弦圓心角的關(guān)系可得，由圓周角定理可得，即得，設(shè)，則，由勾股定理得，得到，進(jìn)而得，最后根據(jù)垂徑定理即可求解．【詳解】解：如圖，作直徑，連接，，∵，∴，，∵是弧的中點(diǎn)，∴，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，，由勾股定理得，，即，解得，∴，∴，∴.16．【正確答案】【分析】根據(jù)題意得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出，再利用圖象上對(duì)稱兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，從而得出拋物線的解析式，然后把代入，即可得出答案．【詳解】解：拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且，，拋物線過點(diǎn)，，該拋物線的對(duì)稱軸為直線，即：，，把代入，得：.17．【正確答案】（1）；（2）．【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)特殊角的三角形函數(shù)值，零指數(shù)冪化簡，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算求解即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，算術(shù)平方根進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．18．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）把代入反比例函數(shù)解析式，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再把點(diǎn)P坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，求出k值即可；（2）根據(jù)得出，利用兩直線平行，比例系數(shù)相同，得求出直線的表達(dá)式為：，再聯(lián)立函數(shù)解析式，求出直線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：把代入，得，∴，把代入，得，解得：，∴直線的表達(dá)式為：．（2）解：如圖，∵，∴，又∵直線的表達(dá)式為：，∴直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立，得，解得：，，∵，∴．19．【正確答案】點(diǎn)E到地面的距離約為【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意；過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作垂直于延長線于點(diǎn)F，設(shè)，則，，然后可得，則有，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作垂直于延長線于點(diǎn)F，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則，，由可知：，解得：，∵，，∴，則點(diǎn)E到地面的距離為，答：點(diǎn)E到地面的距離約為．20．【正確答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，再由，即可得出．根據(jù)圓周角定理結(jié)合題意可知，即得出．由此易證，即得出．（2）過點(diǎn)作，垂足為．根據(jù)題意可求出，結(jié)合（1）可知，即可求出．根據(jù)題意又可求出，利用三角函數(shù)即可求出，最后再利用三角函數(shù)即可求出最后結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴．∵，∴．∵，∴，∴．在和中，∴，∴．（2）解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為．∵，，∴．由（1）知．∴．∴．∵，，∴．∴．∴．21．【正確答案】（1），（2）或．【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）利用先求出反比例函數(shù)的關(guān)系式，得到，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)關(guān)系式即可；（2）先求出，，再分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵直線與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴，，∴反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴；將，代入得，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為：；（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，解得：，即，∵與相似，∴當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，解得，∴此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)，則，，，，解得：，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．22．【正確答案】（1），（2）將批發(fā)價(jià)定為每噸5.5千元時(shí)，每天獲得的利潤最大，最大利潤是31.5千元．【分析】（1）根據(jù)題意直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；（2）根據(jù)銷售利潤=銷售量×（批發(fā)價(jià)－成本價(jià)），列出銷售利潤w（元）與批發(fā)價(jià)x（千元/噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，所以每天銷量y（噸）與批發(fā)價(jià)x（千元/噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，自變量x的取值范圍是（2）解：設(shè)每天獲得的利潤為w千元，根據(jù)題意得，∵，∴當(dāng)，W隨x的增大而增大．∵，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為，∴將批發(fā)價(jià)定為每噸5.5千元時(shí)，每天獲得的利潤最大，最大利潤是31.5千元．23．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題考查切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、扇形的面積、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．（1）欲證明是的切線，只要證明，即可；（2）由，推出，推出，