湖南省長郡中學(xué)、雅禮中學(xué)等四校2026屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹底钚r，=（）A.1 B.2C. D.42．由1，2，3，4，5五個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中1與2不能相鄰的排法總數(shù)為（）A.20 B.36C.60 D.723．已知且，則的值為（）A.3 B.4C.5 D.64．設(shè).若，則＝（）A. B.C. D.e5．已知點(diǎn)在拋物線：上，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則拋物線C的方程為（）A. B.C. D.6．已知不等式解集為，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.7．已知命題，，若是一個充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．兩圓與的公切線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條9．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)（）A.10 B.C.5 D.10．若，則x的值為（）A.4 B.6C.4或6 D.811．已知，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足，那么點(diǎn)P到x軸的距離為（）A. B.C. D.12．2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點(diǎn).有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，，，，分別是大星中心點(diǎn)與四顆小星中心點(diǎn)的聯(lián)結(jié)線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，且，則的離心率為___________.14．方程()所表示的直線恒過定點(diǎn)________15．2021年7月，某市發(fā)生德爾塔新冠肺炎疫情，市衛(wèi)健委決定在全市設(shè)置多個核酸檢測點(diǎn)對全市人員進(jìn)行核酸檢測.已知組建一個小型核酸檢測點(diǎn)需要男醫(yī)生1名，女醫(yī)生3名，每小時可做200人次的核酸檢測，組建一個大型核酸檢測點(diǎn)需要男醫(yī)生3名，女醫(yī)生3名.每小時可做300人次的核酸檢測.某三甲醫(yī)院決定派出男醫(yī)生10名、女醫(yī)生18名去做核酸檢測工作，則這28名醫(yī)生需要組建________個小型核酸檢測點(diǎn)和________個大型核酸檢測點(diǎn)，才能更高效的完成本次核酸檢測工作.16．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)的直線交該橢圓于兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓面積為，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則的面積________，的值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，（）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足：（），求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+2，x=2是f(x)的一個極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求f(x)在區(qū)間(-1，4]上的最大值和最小值.19．（12分）已知向量，，且.（1）求滿足上述條件的點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程；（2）設(shè)曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，點(diǎn)A(0,1)，當(dāng)|AP|=|AQ|時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．（12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，直線與平面ABCD所成角的正弦值為.E，F(xiàn)分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面BED；（2）求直線與平面FAC所成角的正弦值.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：22．（10分）如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)拋物線定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，過P作垂直于準(zhǔn)線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設(shè)所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要將取最小值轉(zhuǎn)化為直線斜率最大，再轉(zhuǎn)化為拋物線的切線，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.2、D【解析】先排3，4，5，然后利用插空法在4個位置上選2個排1，2.【詳解】先排3，4，5,,共有種排法，然后在4個位置上選2個排列1,2，有種排法，則1與2不能相鄰的排法總數(shù)為種，故選：D.3、C【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解【詳解】由已知，解得故選：C4、D【解析】由題可得，將代入解方程即可.【詳解】∵，∴,∴，解得.故選：D.5、D【解析】由拋物線定義可得，注意開口方向.詳解】設(shè)∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4∴∵，∴.得：.故選：D.6、C【解析】根據(jù)不等式解集為，得方程的解為或，且，利用韋達(dá)定理即可將用表示，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁浇饧癁椋苑匠痰慕鉃榛颍?，所以，所以，所以，故ABD錯誤；，故C正確.故選：C.7、A【解析】先化簡命題p，q，再根據(jù)是的一個充分不必要條件，由q求解.【詳解】因?yàn)槊}，或，又是的一個充分不必要條件，所以，解得，所以的取值范圍是，故選：A8、D【解析】求得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，根據(jù)圓圓的位置關(guān)系的判定方法，得出兩圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，圓與圓，可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，則，所以，可得圓外離，所以兩圓共有4條切線.故選：D.9、B【解析】根據(jù)兩直線垂直，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，直線與直線垂直，可得，解得.故選：B.10、C【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】,或，即或.故選：C11、D【解析】設(shè)，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進(jìn)而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設(shè)，，為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，設(shè)焦距為，，點(diǎn)P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設(shè)的高為，則為點(diǎn)P到x軸的距離，則，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.12、C【解析】由五角星的內(nèi)角為，可知，又平分第三顆小星的一個角，過作軸平行線，則，即可求出直線的傾斜角.【詳解】都為五角星的中心點(diǎn)，平分第三顆小星的一個角，又五角星的內(nèi)角為，可知，過作軸平行線，則，所以直線的傾斜角為，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線傾斜角，解題的關(guān)鍵是通過做輔助線找到直線的傾斜角，通過幾何關(guān)系求出傾斜角，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由雙曲線定義可得a，代入點(diǎn)P坐標(biāo)可得b，然后可解.【詳解】由題知，故，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以.故答案為：14、【解析】將方程化為，令得系數(shù)等于0，即可得到答案.【詳解】方程可化為，由，得，所以方程()所表示的直線恒過定點(diǎn).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線恒過定點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題.15、①.4②.2【解析】根據(jù)題意建立不等式組，進(jìn)而作出可行域，最后通過數(shù)形結(jié)合求得答案.【詳解】設(shè)需要組建個小型核酸檢測點(diǎn)和個大型核酸檢測點(diǎn)，則每小時做核酸檢測的最高人次，作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可見當(dāng)直線過點(diǎn)A時，z取得最大值，由得恰為整數(shù)點(diǎn)，所以組建4個小型核酸檢測點(diǎn)和2個大型核酸檢測點(diǎn)，才能更高效的完成本次核酸檢測工作.故答案為：4；2.16、①.6②.3【解析】由題意得，由內(nèi)切圓面積為可得其半徑，根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式可得第一空答案，結(jié)合面積公式和等面積法建立等式化簡即可.【詳解】解：由得由內(nèi)切圓面積為可得其半徑，設(shè)其內(nèi)切圓圓心為則又所以.故答案為：6；3【點(diǎn)睛】橢圓中常用面積公式：（1）(表示邊上的高)；（2）；（3）(為三角形內(nèi)切圓半徑)；（4）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析，；(2).【解析】(1)將給定等式變形，計(jì)算即可判斷數(shù)列類型，再求出其通項(xiàng)而得解；(2)利用(1)的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)，然后利用錯位相減法求解即得.【詳解】(1)因數(shù)列滿足，，則，而，于是數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，，；(2)由(1)知，則于是得，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18、（1）；（2）最大值為18，最小值為.【解析】（1）解方程即得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析即得解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谔幱袠O值，所以，即，所以.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時，符合題意.所以.【小問2詳解】解：由（1）可知，所以，令，得，當(dāng)時，由得，；由得，或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，又.所以的最小值為，又，所以的最大值為，所以在的最大值為18，最小值為.19、（1）+y2=1；（2）.【解析】（1）應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示得x2+3y2=3，即可寫出M的軌跡C的方程；（2）由直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，設(shè)直線y=kx+m(k≠0)，聯(lián)立方程整理所得方程有，且由根與系數(shù)關(guān)系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N為PQ的中點(diǎn)結(jié)合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量關(guān)系，結(jié)合即可求m的范圍.【詳解】(1)∵，即，∴，即有x2+3y2=3，即點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程為+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)，∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0①，且x1+x2=，x1x2=.設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，線段PQ的中點(diǎn)N(x0,y0)，則.∵|AP|=|AQ|，即知PQ⊥AN，設(shè)kAN表示直線AN的斜率，又k≠0，∴kANk=-1.即·k=-1，得3k2=2m-1②，而3k2>0，有m>.將②代入①得2m1m2+1>0，即2m<0，解得0<m<2，∴m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1、由向量垂直，結(jié)合其坐標(biāo)表示得到關(guān)于x，y的方程，寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.2、由直線與曲線C相交，聯(lián)立方程有，由|AP|=|AQ|得直線的垂直關(guān)系，即斜率之積為-1，進(jìn)而可求參數(shù)的范圍.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）證明垂直于平面BED內(nèi)的兩條相交直線，即可得到答案；（2）分別以O(shè)B，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標(biāo)系，平面FAC的一個法向量為，代入向量的夾角公式，即可得到答案；【小問1詳解】∵ABCD為菱形，∴，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則OE為的中位線，∴.由題意得平面ABCD，∴平面ABCD，而AC平面ABCD中，∴.又，∴平面BED.小問2詳解】∵ABCD為菱形，，∴為正三角形，∴.∵平面ABCD，∴與平面ABCD所成角，由，得，所以.如圖，分別以O(shè)B，OC，OE為x軸，y軸，z軸，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面FAC的法向量為，則由可得，取，故可得平面FAC的一個法向量為，記直線與平面FAC的夾角為，則21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）利用和項(xiàng)可求得的通項(xiàng)公式，注意別漏了說明；（2）先用錯位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，從而可知【詳解】（1）,①當(dāng)時，，②由①—②可得：,且數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即（2）由（1）知數(shù)列，,則,①∴,②由①﹣②得,∴,.【點(diǎn)睛】本題主要考查給出的一個關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及用錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22、（1）；（2）存在，為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)【解析】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)以及平面的一個法向量，計(jì)算即可求解；（2）假設(shè)線段上存在點(diǎn)符合題意，設(shè)可得，求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.【詳解】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，.不妨設(shè)平面的一個法向量,則