第25頁/共25頁2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）理科數(shù)學一、選擇題1.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意首先計算復(fù)數(shù)的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由題意可得，則.故選：B.2.設(shè)集合，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意逐一考查所給的選項運算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項A正確；，則，選項B錯誤；，則或，選項C錯誤；或，則或，選項D錯誤；故選：A.3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（）A.24 B.26 C.28 D.30【答案】D【解析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.【詳解】如圖所示，在長方體中，，，點為所在棱上靠近點的三等分點，為所在棱的中點，則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：.故選：D.4.已知是偶函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D5.設(shè)O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運算求解.【詳解】因為區(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對應(yīng)的圓心角，結(jié)合對稱性可得所求概率.故選：C.6.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.7.甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.120種 D.240種【答案】C【解析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.8.已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B9.已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)給定條件，推導確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點，連接，因為是等腰直角三角形，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C10.已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（）A.－1 B. C.0 D.【答案】B【解析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B11.設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.12.已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得當點位于直線異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)，則：，則當時，有最大值.當點位于直線同側(cè)時，設(shè)，則：，，則當時，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.二、填空題13.已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為______.【答案】【解析】由題意首先求得拋物線標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為，最后利用點的坐標和準線方程計算點到的準線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.故答案為：.14.若x，y滿足約束條件，則的最大值為______.【答案】8【解析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.【詳解】作出可行域如下圖所示：，移項得，聯(lián)立有，解得，設(shè)，顯然平移直線使其經(jīng)過點，此時截距最小，則最大，代入得，故答案為：8.15.已知為等比數(shù)列，，，則______.【答案】【解析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設(shè)的公比為，則，顯然，則，即，則，因為，則，則，則，則，故答案為：.16.設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、解答題17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．（1）求，；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）【答案】（1），；（2）認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.【解析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計算出，再得到所有的值，最后計算出方差即可；（2）根據(jù)公式計算出的值，和比較大小即可.【小問1詳解】，，，的值分別為:，故【小問2詳解】由（1）知:，，故有,所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.18.在中，已知，，.（1）求；（2）若D為BC上一點，且，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得；(2)由題意可得，則，據(jù)此即可求得的面積.【小問1詳解】由余弦定理可得：，則，，.【小問2詳解】由三角形面積公式可得，則.19.如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.（1）證明：平面；（2）證明：平面平面BEF；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）法一：由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：過點作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，所以由求出點坐標，再求出平面與平面BEF的法向量，由即可證明；（3）法一：由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小問1詳解】連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】法一：由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.法二：因為，過點作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，，在中，，在中，，設(shè)，所以由可得：，可得：，所以，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，所以平面平面BEF；【小問3詳解】法一：過點作交于點，設(shè)，由，得，且，又由（2）知，，則為二面角的平面角，因為分別為的中點，因此為的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，則，從而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值為.法二：平面的法向量為，平面的法向量為，所以，因為，所以，故二面角的正弦值為.20.已知橢圓的離心率是，點在上．（1）求的方程；（2）過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．【答案】（1）（2）證明見詳解【解析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進而可求點的坐標，結(jié)合韋達定理驗證為定值即可.【小問1詳解】由題意可得，解得，所以橢圓方程為.【小問2詳解】由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因為，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點是定點.【點睛】求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．21.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.（3）若在存在極值，求a取值范圍.【答案】（1）；（2）存在滿足題意，理由見解析.（3）.【解析】(1)由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)的值，進一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)的方程，解方程可得實數(shù)的值，最后檢驗所得的是否正確即可；(3)原問題等價于導函數(shù)有變號的零點，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)，然后對函數(shù)求導，利用切線放縮研究導函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，和三中情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.【小問2詳解】令，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，由對稱性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，故.即存在滿足題意.【小問3詳解】由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點;令，則，令，在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，在區(qū)間上無零點，不合題意;當，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無零點，不符合題意；當時，由可得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當時，，且注意到，根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.當時，，單調(diào)減，當時，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意.綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數(shù)求導，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.四、選做題【選修4-4】（10分）22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線：（為參數(shù)，）.（1）寫出的直角坐標方程；（2）若直線既與沒有公共點，也與沒有公共點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)極坐標與直角坐標之間的轉(zhuǎn)化運算求解，注意的取值范圍；（2）根據(jù)曲線的方程，結(jié)合圖形通過平移直線分析相應(yīng)的臨界位置，結(jié)合點到直線的距離公式運算求解即可.【小問1詳解】因為，即，可得，整理得，表示以為圓心，半徑為1的圓，又因為，且，則，則，故.【小問2詳解】因為（為參數(shù)，），整理得，表示圓心為，半徑為2，且位于第二象限的圓弧，如圖所示，若直線過，則，解得；若直線，即與相切，則，解得，若直線與均沒有公共點，則或，即實數(shù)的取值范圍.【點睛】【選修4-5】（10分）23.已知.（1）求不等式的解集；（2）在直角坐標系中，求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積.【答案】（1）；（2）8.【解析】（1）分段去絕對值符號求解不等式作答.（2）作出不等式組表示的平面區(qū)域，再求出面積作答.【小問1詳解】依題意，，不等式化為：或或，解，得無解；解，得，解，得，因此，所以原不等式解集為：【小問2詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，由，解得，由,解得，又，所以的面積.

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國乙卷）文科數(shù)學一、選擇題1.（）A.1 B.2 C. D.5【答案】C【解析】由題意首先化簡，然后計算其模即可.【詳解】由題意可得，則.故選：C.2.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得的值，然后計算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（）A.24 B.26 C.28 D.30【答案】D【解析由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.【詳解】如圖所示，在長方體中，，，點為所在棱上靠近點的三等分點，為所在棱的中點，則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體去掉長方體之后所得的幾何體，該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：.故選：D.4.在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得的值.【詳解】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.5.已知是偶函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得故選：D.6.正方形的邊長是2，是的中點，則（）A. B.3 C. D.5【答案】B【解析】方法一：以為基底向量表示，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.【詳解】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以坐標原點建立平面直角坐標系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.7.設(shè)O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（）A B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運算求解.【詳解】因為區(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對應(yīng)的圓心角，結(jié)合對稱性可得所求概率.故選：C.8.函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】寫出，并求出極值點，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當時，，當，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.9.某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對6個主題編號，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結(jié)果，并求出抽到不同主題的結(jié)果，再利用古典概率求解作答.【詳解】用1，2，3，4，5，6表示6個主題，甲、乙二人每人抽取1個主題的所有結(jié)果如下表：乙甲123456123456共有36個不同結(jié)果，它們等可能，其中甲乙抽到相同結(jié)果有，共6個，因此甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的結(jié)果有30個，概率.故選：A10.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.11.已知實數(shù)滿足，則的最大值是（）A. B.4 C. D.7【答案】C【解析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設(shè)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.【詳解】法一：令，則，代入原式化簡得，因為存在實數(shù)，則，即，化簡得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時，取得最大值，法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線的距離，解得故選：C.12.設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.二、填空題13.已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為______.【答案】【解析】由題意首先求得拋物線的標準方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為，最后利用點的坐標和準線方程計算點到的準線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準線方程為，點到的準線的距離為.故答案為：.14.若，則________．【答案】【解析】根據(jù)同角三角關(guān)系求，進而可得結(jié)果.【詳解】因為，則，又因為，則，且，解得或（舍去），所以故答案為：.15.若x，y滿足約束條件，則的最大值為______.【答案】8【解析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.【詳解】作出可行域如下圖所示：，移項得，聯(lián)立有，解得，設(shè)，顯然平移直線使其經(jīng)過點，此時截距最小，則最大，代入得，故答案為：8.16.已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則________．【答案】2【解析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運算求解.【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因為，即，解得.故答案為：2.【點睛】多面體與球切、接問題的求解方法（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；（2）若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；（5）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．三、解答題17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．（1）求，；（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）【答案】（1），；（2）認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.【解析】（1）直接利用平均數(shù)公式即可計算出，再得到所有的值，最后計算出方差即可；（2）根據(jù)公式計算出的值，和比較大小即可.【小問1詳解】，，，的值分別為:，故【小問2詳解】由（1）知:，，故有,所以認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.18.記為等差數(shù)列的前項和，已知．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結(jié)果；（2）先求，討論的符號去絕對值，結(jié)合運算求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，【小問2詳解】因為，令，解得，且，當時，則，可得；當時，則，可得；綜上所述：.19.如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．（1）求證：//平面；（2）若，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【小問1詳解】連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.【小問2詳解】過作垂直的延長線交于點，因為是中點，所以，在中，，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因為，所以，所以，又，所以.20.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程．（2）若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；（2）原問題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.【小問2詳解】由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，則，當時，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，不合題意;令，則，當，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.當時，由可得，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當時，，單調(diào)遞減，由于，故當時，，不合題意.綜上可知：實數(shù)得取值范圍是.【點睛】（1）求切線方程的核心是利用導函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數(shù)求導，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元.（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．②函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集．21.已知橢圓的離心率是，點在上．（1）求的方程；（2）過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．【答案】（1）（2）證明見詳解【解析】（1）根據(jù)題意列式求解，進而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進而可求點的坐標，結(jié)合韋達定理驗證為定值即可.【小問1詳解】由題意可得，解得，所以橢圓方程為.【小問2詳解】由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因為，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點是定點.【點睛】求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．【選修4-4】（10分）22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線：（為參數(shù)，）.（1）寫出的直角坐標方程；（2）若直線既與沒有公共點，也與沒有公共點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)極坐標與直角坐標之間的轉(zhuǎn)化運算求解，注意的取值范圍；（2）根據(jù)曲線的方程，結(jié)合圖形通過平移直線分析相應(yīng)的臨界位置，結(jié)合點到直線的距離公式運算求解即可.【小問1詳解】因為，即，可得，整理得，表示以為圓心，半徑為1的圓，又因為，且，則，則，故.【小問2詳解】因為（為參數(shù)，），整理得，表示圓心為，半徑為2，且位于第二象限的圓弧，如圖所示，若直線過，則，解得；若直線，即與相切，則，解得，若直線與均沒有公共點，則或，即實數(shù)的取值范圍.【選修4-5】（10分）23.已知.（1）求不等式的解集；（2）在直角坐標系中，求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積.【答案】（1）；（2）8.【解析】（1）分段去絕對值符號求解不等式作答.（2）作出不等式組表示的平面區(qū)域，再求出面積作答.【小問1詳解】依題意，，不等式化為：或或，解，得無解；解，得，解，得，因此，所以原不等式的解集為：【小問2詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，由，解得，由,解得，又，所以的面積.2023年天津市普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對集合B求補集，應(yīng)用集合的并運算求結(jié)果；【詳解】由，而，所以.故選：A2.已知，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.【詳解】由，則，當時不成立，充分性不成立；由，則，即，顯然成立，必要性成立；所以是的必要不充分條件.故選：B3.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D4.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在上的函數(shù)符號排除選項，即得答案.【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且，由且定義域為R，即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；當時、，即A、C中上函數(shù)值為正，排除；故選：D5.已知數(shù)列的前n項和為，若，則（）A.16 B.32 C.54 D.162【答案】C【解析】由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得的值.【詳解】當時，，所以，即，當時，，所以數(shù)列是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：C.6.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在處的函數(shù)值，排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數(shù)解析式.【詳解】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項中，B選項中，C選項中，D選項中，排除選項CD，對于A選項，當時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A，對于B選項，當時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，故選：B.7.鳶是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚躍余淵”.鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長度和花瓣長度（單位：cm），繪制散點圖如圖所示，計算得樣本相關(guān)系數(shù)為，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程為，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（）A.花瓣長度和花萼長度不存在相關(guān)關(guān)系B.花瓣長度和花萼長度負相關(guān)C.花萼長度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長度的平均值為D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是【答案】C【解析】根據(jù)散點圖的特點及經(jīng)驗回歸方程可判斷ABC選項，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義可以判斷D選項.【詳解】根據(jù)散點的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項錯誤散點的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項錯誤，把代入可得，C選項正確；由于是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分數(shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是，D選項錯誤故選：C8.在三棱錐中，點M,N分別在棱PC,PB上，且，，則三棱錐和三棱錐的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.先證平面，則可得到，再證.由三角形相似得到，，再由即可求出體積比.【詳解】如圖，分別過作,垂足分別為.過作平面，垂足為，連接,過作,垂足為.因為平面，平面，所以平面平面.又因為平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因為，所以，所以，在中，因為，所以，所以.故選：B9.已知雙曲線的左、右焦點分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】先由點到直線的距離公式求出，設(shè)，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.【詳解】如圖，因為，不妨設(shè)漸近線方程為，即，所以，所以.設(shè),則，所以，所以.因為,所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為_________．【答案】##【解析】由題意利用復(fù)數(shù)的運算法則，分子分母同時乘以，然后計算其運算結(jié)果即可.【詳解】由題意可得.故答案為：.11.在的展開式中，項的系數(shù)為_________．【答案】【解析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式，令確定的值，然后計算項的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式，令可得，，則項的系數(shù)為.故答案為：60.12.已知過原點O的一條直線l與圓相切，且l與拋物線交于點兩點，若，則_________．【答案】【解析】根據(jù)圓和曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出．【詳解】易知圓和曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當時，同理可得．故答案為：．13.把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，三個箱子中的球數(shù)之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個箱子中各隨機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為_________；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率為_________．【答案】①.②.##【解析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；根據(jù)古典概型概率公式可求出第二個空．【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為，所以總數(shù)為，所以甲盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；乙盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；丙盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件，所以，；記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件，黑球總共有個，白球共有個，所以，．故答案為：；．14.在中，，，記，用表示_________；若，則的最大值為_________．【答案】①.②.【解析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合為的中點進行求解；空2：用表示出，結(jié)合上一空答案，于是可由表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因為，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當且僅當取得等號，則時，有最大值故答案為：；.15.設(shè),函數(shù),若恰有兩個零點，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當時，，即，若時，，此時成立；若時，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時，，此時成立．（2）當時，，即，若時，，顯然不成立；若時，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時，，顯然不成立；綜上，當時，零點為，；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，零點為．所以，當函數(shù)有兩個零點時，且．故答案為：．【點睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點）的個數(shù)，從而解出．三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，角所對的邊分別是．已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，即可由兩角差的正弦公式求出．【小問1詳解】由正弦定理可得，，即，解得：；【小問2詳解】由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．【小問3詳解】由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．17.如圖，在三棱臺中，平面，為中點.，N為AB的中點，（1）求證：//平面；（2）求平面與平面所成夾角的余弦值；（3）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的