安徽省安慶市潛山市第二中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列滿足，則其前10項(xiàng)之和為（）A.140 B.280C.68 D.562．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線方程為（）A. B.C. D.3．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.4．已知圓C的方程為，點(diǎn)P在圓C上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.C. D.5．等差數(shù)列中，，則前項(xiàng)的和（）A. B.C. D.6．已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.C. D.7．拋物線y＝4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（0，1） B.（1，0）C. D.8．函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.10．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為A. B.C. D.11．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有如下問(wèn)題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問(wèn)各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，問(wèn)這5個(gè)人各出多少錢？”在這個(gè)問(wèn)題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.20C.18 D.1612．一物體做直線運(yùn)動(dòng)，其位移(單位:)與時(shí)間(單位:)的關(guān)系是，則該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與的交點(diǎn)為，以為圓心作圓，圓上的點(diǎn)到軸的最小距離為（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程14．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為___________.15．正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則與側(cè)面所成角的正弦值為______16．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8B.橢圓上存在點(diǎn)，使得C.橢圓的離心率為D.為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是與的等差中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點(diǎn)D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱中點(diǎn)（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值19．（12分）已知點(diǎn)A(-2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；（2）若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求.20．（12分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1），且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程21．（12分）若數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上一點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程：（2）若以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與C的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，若，證明直線DE過(guò)定點(diǎn)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數(shù)列滿足，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.故選：A.2、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：由題，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C3、A【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則——三角形法，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.4、B【解析】化簡(jiǎn)判斷圓心和半徑，利用圓的性質(zhì)判斷連接線段OC，交圓于點(diǎn)P時(shí)最小，再計(jì)算求值即得結(jié)果.【詳解】化簡(jiǎn)得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點(diǎn)P時(shí)最小，因?yàn)樵c(diǎn)到圓心的距離，故此時(shí).故選：B.5、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可求得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，，解得：；.故選：D.6、A【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)，列出關(guān)于不等式，求解即可得到答案【詳解】由雙曲線的性質(zhì)：，解的或，故選：A7、C【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得選項(xiàng).【詳解】解：將拋物線y＝4x2的化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，p＝，開口向上，焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）.故選：C8、D【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，即有，而，則過(guò)點(diǎn)，斜率為1的直線方程為：，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為.故選：D9、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（M）≤f（N）的形式，再利用單調(diào)性脫去對(duì)應(yīng)法則f，轉(zhuǎn)化為一般的二次不等式求解即可【詳解】由于，，則f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可轉(zhuǎn)化為f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定及應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于中檔題10、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選D.11、D【解析】根據(jù)題意，建立等差數(shù)列模型，結(jié)合等差數(shù)列公式求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：D.12、A【解析】先對(duì)求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)數(shù)式，可得出該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度【詳解】對(duì)求導(dǎo)，得，，因此，該物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為，故選A【點(diǎn)睛】本題考查瞬時(shí)速度的概念，考查導(dǎo)數(shù)與瞬時(shí)變化率之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)圓的半徑為，圓上的點(diǎn)到軸的最小距離為1求得的值，由此可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）對(duì)切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，可得切線方程為，驗(yàn)證即可；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)所求切線的方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑可求得的值，綜合可得出所求切線的方程.【詳解】（Ⅰ）聯(lián)立方程組，解得，即點(diǎn)設(shè)圓的半徑為，由于圓上的點(diǎn)到軸的最小距離為，則，所以，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）若切線的斜率不存在，則所求切線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意；若切線的斜率存在，可設(shè)切線的方程為，即，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由題意可得，整理得，解得或故所求切線方程為或【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，同時(shí)也考查了過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14、【解析】先求定義域，再求導(dǎo)，針對(duì)分類討論，結(jié)合單調(diào)性，極值，最值得到，研究其單調(diào)性及其零點(diǎn)，求出結(jié)果.【詳解】定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞減，不會(huì)有兩個(gè)零點(diǎn)，故舍去；當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，故，又因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，故要想在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，令，，，單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，.故答案為：15、【解析】作圖，考慮底面是正三角形，按照線面夾角的定義構(gòu)造直角三角形即可.【詳解】依題意，作圖如下，取的中點(diǎn)G，連結(jié)，∵是正三角形，∴，，又∵是正三棱柱，∴底面，∴，即平面，，與平面的夾角=，在中，，故答案為：.16、ABD【解析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項(xiàng)的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B選項(xiàng)的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項(xiàng)的正確性，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：由橢圓定義可得：，因此的周長(zhǎng)為，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以，即，所以離心率，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，，則點(diǎn)到圓的圓心的距離為，因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)正確，故選：ABD三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件列式求出數(shù)列的首項(xiàng)即可作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再借助裂項(xiàng)相消法計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且是與的等差中項(xiàng)，則有，即，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，則，即有，所以.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質(zhì)易得、，再根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)證明結(jié)論；（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求的方向向量、面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點(diǎn)，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設(shè)為面的法向量，則，令得，設(shè)與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.19、（1），曲線是一個(gè)雙曲線，除去左右頂點(diǎn)（2）【解析】（1）設(shè)，則的斜率分別為，，根據(jù)題意列出方程，化簡(jiǎn)后即得C的方程，根據(jù)方程可以判定曲線類型，注意特殊點(diǎn)的去除；（2）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，則的斜率分別為，，由已知得，化簡(jiǎn)得，即曲線C的方程為，曲線一個(gè)雙曲線，除去左右頂點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】解：聯(lián)立消去整理得，設(shè)，，則，.20、（1）；（2）或【解析】（1）根據(jù)橢圓的焦距為2，離心率為，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，由得，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)可得，求出，即可求直線的方程.試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，因?yàn)?，所以，所求橢圓方程為.（2）由題得直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=kx+1，則由得，且．設(shè)，則由得，又，所以消去得，解得，，所以直線的方程為，即或.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義可求解；（2）根據(jù)（1）化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，得，則所以數(shù)列是首項(xiàng)為﹣1，公比為3的等比