“統(tǒng)計分析”數(shù)據(jù)獲取數(shù)據(jù)記錄數(shù)據(jù)分析推斷預(yù)測簡單隨機(jī)抽樣分層抽樣單一數(shù)據(jù)成對數(shù)據(jù)頻數(shù)分布表頻率分布直方圖眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)方差標(biāo)準(zhǔn)差樣本估計總體散點圖........樣本相關(guān)系數(shù)........構(gòu)建模型進(jìn)行預(yù)測8.2.3

一元線性回歸模型及其應(yīng)用

格“數(shù)”致知，走向預(yù)測的遠(yuǎn)方復(fù)習(xí)回顧確定研究對象成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性建立一元線性回歸模型求出經(jīng)驗回歸方程進(jìn)行殘差分析xY

散點圖樣本相關(guān)系數(shù)殘差平方和殘差圖一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用

模型診斷與修正單元結(jié)構(gòu)在采伐設(shè)計、資源評估、森林規(guī)劃調(diào)查等林業(yè)作業(yè)中，如何測算出一片森林的蓄積量？一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正單元結(jié)構(gòu)胸徑樹高例1

經(jīng)驗表明，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大，樹就越高，由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)(如下表)，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗回歸方程.編號123456789101112胸徑/cm18.120.122.224.426.028.329.632.433.735.738.340.2樹高/m18.819.221.021.022.122.122.422.623.024.323.924.7一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正單元結(jié)構(gòu)1一、模型應(yīng)用以胸徑為橫坐標(biāo)，樹高為縱坐標(biāo)作散點圖，得到下圖．散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關(guān)系．樹高與胸徑以胸徑為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖，得到下圖．觀察殘差表和殘差圖，可以看到，殘差的絕對值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對稱軸，寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi)．可見經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗回歸方程由胸徑預(yù)測樹高.單元結(jié)構(gòu)求一元線性回歸方程的步驟（1）描出散點圖，通過散點圖觀察成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)。（2）計算樣本相關(guān)系數(shù)r，判斷兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。

（4）對回歸方程作殘差分析：殘差表、殘差圖、殘差平方和對模型刻畫數(shù)據(jù)的效果進(jìn)行分析。一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正例2

人們常將男子短跑100m的高水平運動員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗回歸方程.編號12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95單元結(jié)構(gòu)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正請同學(xué)們以小組為單位，用數(shù)學(xué)軟件建立回歸方程將經(jīng)驗回歸直線疊加到散點圖，得到下圖：

用Y表示男子短跑100m的世界紀(jì)錄,t表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份,利用一元線性回歸模型來刻畫世界紀(jì)錄和世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系.根據(jù)最小二乘法,由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程為①單元結(jié)構(gòu)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正問題1

從圖中可以看到,經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了散點的變化趨勢,請再仔細(xì)觀察圖形,你能看出其中存在的問題嗎?例如，第一個世界紀(jì)錄所對應(yīng)的散點遠(yuǎn)離經(jīng)驗回歸直線，并且前后兩時間段中的散點都在經(jīng)驗回歸直線的上方，中間時間段的散點都在經(jīng)驗回歸直線的下方.散點并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.單元結(jié)構(gòu)——統(tǒng)計學(xué)家喬治·博克斯一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正問題2你能對模型進(jìn)行修改,以使其更好地反映散點的分布特征嗎？修改模型仔細(xì)觀察右圖,可以發(fā)現(xiàn)散點更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.函數(shù)y=-lnx的圖象具有類似的形狀特征.

注意到100m短跑的第一個世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年,因此可設(shè)非線性回歸方程為：

y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)

（其中c1、c2為未知參數(shù)，且c2<0）.追問

如何利用成對數(shù)據(jù)估計參數(shù)c1和c2？

二、模型修正為了利用一元線性回歸模型估計參數(shù)c1和c2，我們引進(jìn)一個中間變量x，令x=ln(t-1895)，,則Y=c2x+c1通過x=ln(t-1895),將年份變量數(shù)據(jù)進(jìn)行變換,得到新的成對數(shù)據(jù),如下表.編號12345678年份/t18961912192119301936195619601968x0.002.833.263.563.714.114.174.29記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95如果上表對應(yīng)的散點圖呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)特征，我們就可以借助一元線性回歸模型和新的成對數(shù)據(jù)，對參數(shù)c1和c2作出估計，進(jìn)而可以得到Y(jié)關(guān)于t的非線性經(jīng)驗回歸方程.由散點圖可知，現(xiàn)在散點的分布呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)特征，故可以一元線性回歸模型建立經(jīng)驗回歸方程.變量代換（非線性轉(zhuǎn)化為線性）根據(jù)最小二乘法，可得將經(jīng)驗回歸直線疊加到散點圖，如圖所示：將x=ln(t-1895)代入

得到由創(chuàng)紀(jì)錄年份預(yù)報世界紀(jì)錄的經(jīng)驗非線性回歸方程：②問題3

對于通過創(chuàng)紀(jì)錄時間預(yù)報世界紀(jì)錄的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？②單元結(jié)構(gòu)①(1)直接觀察法.（2)殘差分析:

殘差平方和越小,模型擬合效果越好.模型診斷：三、模型診斷一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正（3）用決定系數(shù)R2來比較這兩個模型的擬合效果通過前面的討論我們知道，當(dāng)殘差的平方和越小，經(jīng)驗回歸模型的擬合效果就越好，故我們可以用決定系數(shù)R2來驗證模型的擬合效果.決定系數(shù)R2的計算公式為殘差平方和偏差平方和R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.顯然0≤R2≤1，R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.單元結(jié)構(gòu)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正問題3

對于通過創(chuàng)紀(jì)錄時間預(yù)報世界紀(jì)錄的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？②單元結(jié)構(gòu)①(1)直接觀察法.（2)殘差分析:

殘差平方和越小,模型擬合效果越好.（3）用決定系數(shù)R2：0≤R2≤1，R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.(4)用新的觀測數(shù)據(jù)來檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合效果.模型診斷方法：一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正單元結(jié)構(gòu)問題4在上述問題情境中，男子短跑100m世界紀(jì)錄和紀(jì)錄創(chuàng)建年份之間呈現(xiàn)出對數(shù)關(guān)系，能借助于樣本相關(guān)系數(shù)刻畫這種關(guān)系的強(qiáng)弱嗎?不能直接刻畫，因樣本相關(guān)系數(shù)用于衡量線性相關(guān)程度，需要先進(jìn)行對數(shù)變換，將對數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換成線性關(guān)系之后，再采用樣本相關(guān)系數(shù)去衡量.一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正單元結(jié)構(gòu)總結(jié)：非線性回歸問題的解決步驟畫散點圖

函數(shù)模型變換求解變換還原根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x,y)畫散點圖.根據(jù)散點圖,發(fā)現(xiàn)非線性相關(guān)特征，選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求經(jīng)驗回歸方程.通過相應(yīng)的變換,即可得非線性經(jīng)驗回歸方程.模型分析分析模型的回歸效果.一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正

非線性回歸問題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型y＝eb

x＋a①函數(shù)y＝eb

x＋a的圖象，如圖所示．②處理方法：兩邊取對數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a①函數(shù)y＝blnx＋a的圖象，如圖所示．②處理方法：設(shè)x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設(shè)x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.單元結(jié)構(gòu)（1）根據(jù)生長在南方多雨地區(qū)的樹高與胸徑的數(shù)據(jù)建立的回歸方程，可以用來描述北方干旱地區(qū)的樹高與胸徑之間的關(guān)系嗎?（2）根據(jù)20世紀(jì)80年代父親身高和兒子身高的數(shù)據(jù)建立的回歸方程，可以用來描述現(xiàn)在的父親身高與兒子身高的關(guān)系嗎?（3）1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù)建立的回歸方程，用來預(yù)測2030年的男子短跑100m世界紀(jì)錄合理嗎?（4）根據(jù)經(jīng)驗回歸方程得到的預(yù)報值是相應(yīng)變量的精確值嗎?問題5一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正單元結(jié)構(gòu)在使用經(jīng)驗回歸方程進(jìn)行預(yù)測時,需注意以下問題:1.回歸方程只適用于所研究的樣本的總體；2.我們所建立的回歸方程一般都有時效性；3.解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)；4.不能期望經(jīng)驗回歸方程得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值.事實上,它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值.一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計模型應(yīng)用模型診斷與修正單元結(jié)構(gòu)四、課堂小結(jié)1、本節(jié)課用了哪些模型建立回歸方程？2、對模型進(jìn)行診斷的方法有哪些？3、如何對模型進(jìn)