７.１平面彎曲變形的基本知識(shí)７.１.１平面彎曲的概念彎曲變形是桿件常見(jiàn)的一種變形形式，如橋梁，火車輪軸、車刀等，在外力的作用下其軸線發(fā)生了彎曲。這種形式的變形稱為彎曲變形。其受力特點(diǎn)是：在通過(guò)桿軸線的平面內(nèi)，受到力偶或垂直于軸線的外力（即橫向力）作用。其變形特點(diǎn)是：桿的軸線被彎成一條平面曲線。在外力作用下彎曲變形或以彎曲變形為主的桿件，習(xí)慣上稱為梁，如圖７－１所示。７.１.２常見(jiàn)梁的力學(xué)模型在力學(xué)模型簡(jiǎn)化中，通常以梁的軸線表示梁，根據(jù)梁所受支座約束的不同，梁平面彎曲時(shí)的力學(xué)模型可以分為以下３種形式。下一頁(yè)返回７.１平面彎曲變形的基本知識(shí)簡(jiǎn)支梁：如圖７－１（ｆ）所示，一端為活動(dòng)鉸鏈支座，另一端為固定鉸鏈支座外伸梁：如圖７－１（ｄ）所示，一端或兩端伸出支座外的簡(jiǎn)支梁懸臂梁：如圖７－１（ｅ）所示，一端為固定端，另一端為自由端的梁。作用在梁上的載荷，一般可以簡(jiǎn)化為３種形式，如圖７－２所示。（１）集中力。當(dāng)力的作用范圍相對(duì)梁的長(zhǎng)度很小時(shí)，可簡(jiǎn)化為作用于一點(diǎn)的集中力。（２）集中力偶。當(dāng)力偶作用的范圍遠(yuǎn)小于梁的長(zhǎng)度時(shí)，可簡(jiǎn)化為作用在某一橫截面上的集中力偶。上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.１平面彎曲變形的基本知識(shí)（３）分布載荷。當(dāng)載荷連續(xù)分布在梁的全長(zhǎng)或部分長(zhǎng)度上時(shí)，形成分布載荷。分布載荷的大小用載荷集度ｑ表示，單位為Ｎ／ｍ。沿梁的長(zhǎng)度均勻分布的載荷，稱為均布載荷。均布載荷的載荷集度ｑ為常數(shù)，如均質(zhì)等截面梁的自重屬均布載荷。上一頁(yè)返回７.２彎曲內(nèi)力、剪力FQ、彎矩MC當(dāng)作用在梁上全部的外力（包括載荷和支座反力）確定后，應(yīng)用截面法可以求出任一橫截面上的內(nèi)力。７.２.１用截面法求剪力和彎矩由于外力ｑｘ有使左段梁沿鉛垂方向移動(dòng)的趨勢(shì)，根據(jù)左段梁的平衡可知，截面ｍ－ｍ上必有一個(gè)切于截面的內(nèi)力ＦＱ，這種內(nèi)力稱為剪力。由靜力平衡方程得ＦＱ＝－ｑｘ（０≤ｘ≤ｌ）（此式稱為剪力方程）下一頁(yè)返回７.２彎曲內(nèi)力、剪力FQ、彎矩MC顯然，外力ｑｘ還有使梁繞截面ｍ－ｍ的形心Ｃ逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)（剪力ＦＱ對(duì)Ｃ點(diǎn)的矩為０），可見(jiàn)截面上必然還有一個(gè)內(nèi)力偶矩Ｍ，這個(gè)內(nèi)力偶矩稱為彎矩。由靜力平衡方程由上述所得的剪力方程和彎矩方程，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可以求得梁各橫截面上的內(nèi)力———剪力和彎矩。由此可見(jiàn)，梁發(fā)生彎曲變形時(shí)，橫截面上同時(shí)存在著兩種內(nèi)力———作用線切于截面、通過(guò)截面形心并在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的剪力ＦＱ和位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的彎矩Ｍ。上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.２彎曲內(nèi)力、剪力FQ、彎矩MC計(jì)算ｍ－ｍ截面上的剪力和彎矩時(shí)，也可取右段為研究對(duì)象（這時(shí)應(yīng)首先由靜力平衡條件求出約束反力ＦＡ和約束反力偶ＭＡ），其求得的剪力和彎矩的大小與取左段為研究對(duì)象求得的剪力和彎矩大小相等、方向相反，它們是作用與反作用關(guān)系。橫截面上既有剪力又有彎矩的彎曲稱為剪切彎曲（或橫力彎曲）。有些情況下，梁的橫截面上只有彎矩而沒(méi)有剪力，則稱為純彎曲。工程上一般梁（跨度ｌ與橫截面高度ｈ之比ｌ／ｈ＞５），其剪力對(duì)強(qiáng)度和剛度的影響很小，可忽略不計(jì)，故只需考慮彎矩的影響而近似地作為純彎曲處理。因此，下面僅討論有關(guān)彎矩的問(wèn)題。上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.２彎曲內(nèi)力、剪力FQ、彎矩MC為了使以兩段梁分別為研究對(duì)象求得的同一截面上的彎矩不僅大小相等，而且正、負(fù)號(hào)一致，特作如下規(guī)定：使梁彎曲成上凹下凸的形狀時(shí)，則彎矩為正；反之使梁彎曲成下凹上凸形狀時(shí)，彎矩為負(fù)，如圖７－４所示。根據(jù)上述彎矩正、負(fù)號(hào)的規(guī)定及例題７－１中彎矩方程可以看出，彎矩的計(jì)算有以下規(guī)律：若取梁的左段為研究對(duì)象，橫截面上的彎矩的大小等于此截面左邊梁上所有外力（包括力偶）對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和，外力矩為順時(shí)針時(shí)，截面上的彎矩為正，反之為負(fù)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.２彎曲內(nèi)力、剪力FQ、彎矩MC若取梁的右段為研究對(duì)象，橫截面上的彎矩的大小等于此截面右邊梁上所有外力（包括力偶）對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和，外力矩為逆時(shí)針時(shí)，截面上的彎矩為正，反之為負(fù)。熟悉上述規(guī)律后，在實(shí)際運(yùn)算中就不必用假想截面將梁截開(kāi)，再用平衡方程去求彎矩，而可以直接利用上述規(guī)律求出任意截面上彎矩的值及其轉(zhuǎn)向。７.２.２用剪力、彎矩方程畫(huà)剪力、彎矩圖一般情況下，梁截面上的剪力和彎矩隨橫截面位置的變化而變化的，若取梁的軸線為ｘ軸，以坐標(biāo)ｘ表示截面的位置，則剪力和彎矩可以表示為ｘ的連續(xù)函數(shù)，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.２彎曲內(nèi)力、剪力FQ、彎矩MC此兩式分別稱為剪力方程和彎矩方程。為了能夠直觀地表明梁上各截面上的剪力和彎矩的大小及正負(fù)，通常把剪力方程和彎矩方程用圖像表示，稱為剪力圖和彎矩圖。７.２.３剪力、彎矩與外力間的關(guān)系（簡(jiǎn)易作圖法）由以上計(jì)算結(jié)果可得彎矩圖的規(guī)律：上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.２彎曲內(nèi)力、剪力FQ、彎矩MC（１）梁受集中力或集中力偶作用時(shí)，彎矩圖為直線，并且在集中力作用處，彎矩發(fā)生轉(zhuǎn)折；在集中力偶作用處，彎矩發(fā)生突變，突變量為集中力偶的大小。（２）梁受到均布載荷作用時(shí)，彎矩圖為拋物線，且拋物線的開(kāi)口方向與均布載荷的方向一致。（３）梁的兩端點(diǎn)若無(wú)集中力偶作用，則端點(diǎn)處的彎矩為０；若有集中力偶作用時(shí)，則彎矩為集中力偶的大小。我們可以利用上面規(guī)律繪制彎矩圖。上一頁(yè)返回７.３梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件７.３.１梁純彎曲的概念在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，兩端施加等值、反向的一對(duì)力偶。在梁的橫截面上只有彎矩而沒(méi)有剪力，且彎矩為一常數(shù)，這種彎曲為純彎曲。７.３.２梁純彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力１.變形特點(diǎn)橫向線仍為直線，只是相對(duì)變形前轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度，但仍與縱向線正交。縱向線彎曲成弧線，且靠近凹邊的線縮短了，靠近凸邊的線伸長(zhǎng)了，而位于中間的一條縱向線既不縮短，也不伸長(zhǎng)。下一頁(yè)返回７.３梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件平面假設(shè)：梁彎曲變形后，其橫截面仍為平面，并垂直于梁的軸線，只是繞截面上的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。如果設(shè)想梁是由無(wú)數(shù)層縱向纖維組成的，由于橫截面保持平面，說(shuō)明縱向纖維從縮短到伸長(zhǎng)是逐漸連續(xù)變化的，其中必定有一個(gè)既不縮短也不伸長(zhǎng)的中性層（不受壓又不受拉）。中性層是梁上拉伸區(qū)與壓縮區(qū)的分界面。中性層與橫截面的交線，稱為中性軸，如圖７－９所示。變形時(shí)橫截面是繞中性軸旋轉(zhuǎn)的。２.梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律由平面假設(shè)可知，純彎曲時(shí)梁橫截面上只有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力。上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.３梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件由于梁橫截面保持平面，所以沿橫截面高度方向縱向纖維從縮短到伸長(zhǎng)是線性變化的，因此橫截面上的正應(yīng)力沿橫截面高度方向也是線性分布的。以中性軸為界，凹邊是壓應(yīng)力，使梁縮短，凸邊是拉應(yīng)力，使梁伸長(zhǎng)，橫截面上同一高度各點(diǎn)的正應(yīng)力相等，距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)有最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，中性軸上各點(diǎn)正應(yīng)力為零。分布如圖７－１０所示。３.梁純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式在彈性范圍內(nèi)，梁純彎曲時(shí)橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力為上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.３梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件最大正應(yīng)力為σｍａｘ（ＭＰａ）即Ｍ和ｙ均以絕對(duì)值代入，至于彎曲正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力，則由欲求應(yīng)力的點(diǎn)處是受拉側(cè)還是受壓側(cè)來(lái)判斷。受拉側(cè)的彎曲正應(yīng)力為正，受壓側(cè)的為負(fù)。４.慣性矩和抗彎截面模量上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.３梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件截面對(duì)中性軸的慣性矩，表示截面的幾何性質(zhì)，是一個(gè)僅與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，不同的截面相對(duì)于不同的中性軸有不同的慣性矩值。截面對(duì)中性軸的抗彎截面模量，是衡量截面抗彎能力的幾何量，不同的截面相對(duì)于不同的中性軸有不同的抗彎截面模量。各種截面的慣性矩和抗彎截面模量的計(jì)算公式可查閱設(shè)計(jì)手冊(cè)，表７－１給出３種常用簡(jiǎn)單截面的慣性矩和抗彎截面模量計(jì)算公式。７.３.３梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：梁內(nèi)危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力不超過(guò)材料的許用彎曲應(yīng)力，即上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.３梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件應(yīng)用此條件可以進(jìn)行３種運(yùn)算：校核強(qiáng)度，設(shè)計(jì)截面，確定許可載荷。７.３.４提高梁強(qiáng)度的主要措施從梁的彎曲正應(yīng)力公式σｍａｘ＝Ｍ/Ｗｚ可知，梁的最大彎曲正應(yīng)力與梁上最大彎矩Ｍ成正比，與抗彎截面系數(shù)Ｗｚ成反比，依據(jù)它們之間的關(guān)系，可以采用以下措施提高梁的強(qiáng)度，從而在滿足梁的抗彎能力前提下，盡量減少材料的消耗。上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.３梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件１.降低最大彎矩?cái)?shù)值的措施（１）合理安排梁的支承。在梁的尺寸和截面形狀已經(jīng)設(shè)定的條件下，合理安排梁的支承，可以起到降低梁上最大彎矩的作用，同時(shí)也可縮小梁的跨度，從而提高了梁的強(qiáng)度。以如圖７－１３（ａ）所示均布載荷作用下的簡(jiǎn)支梁為例，若將兩端支座各向內(nèi)移動(dòng)０.２ｌ［如圖７－１３（ｂ）所示］，梁上的最大彎矩只有原來(lái)的１／５。（２）合理布置載荷。當(dāng)梁上的載荷大小一定時(shí)，合理布置載荷，可以減少梁上的最大彎矩，提高梁的強(qiáng)度。上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.３梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件以簡(jiǎn)支梁承受集中力Ｆ為例［如圖７－１４（ａ）所示］，集中力Ｆ的布置形式和位置不同，梁的最大彎矩明顯減少。傳動(dòng)軸上齒輪靠近軸承安裝［如圖７－１４（ｂ）所示］；運(yùn)輸大型設(shè)備的多輪板車［如圖７－１４（ｃ）所示］；吊車增加副梁［如圖７－１４（ｄ）所示］，均可為簡(jiǎn)支梁上合理布置載荷，提高抗彎能力的實(shí)例。２.選擇梁的合理截面梁的合理截面應(yīng)該使用較小的截面面積獲得較大的彎曲截面系數(shù)。上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.３梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件從表７－２可以看出，圓截面Ｗｚ／Ａ值最小，矩形次之，因此它們的經(jīng)濟(jì)性不夠好。從梁的彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律來(lái)看，在梁截面的上、下邊緣處，正應(yīng)力最大，而靠近中性軸附近正應(yīng)力很小。因此盡可能使截面面積分布距中性軸較遠(yuǎn)才能發(fā)揮材料的作用，而圓截面恰恰相反，使很大一部分材料沒(méi)有得到充分利用。為充分利用材料，使截面各點(diǎn)處的材料盡可能地發(fā)揮其作用，將實(shí)心圓截面改成面積相同的空心圓截面，其抗彎強(qiáng)度可以大大提高。同樣，對(duì)于矩形截面，將其中性軸附近的面積挖掉，放在離中性軸較遠(yuǎn)處［圖７－１５（ａ）］就變成了工字形截面。這樣，材料的使用就趨于合理，提高了經(jīng)濟(jì)性。上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.３梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件根據(jù)材料性能選擇截面，截面形狀應(yīng)與材料特性相適應(yīng)。對(duì)抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料，宜采用中性軸對(duì)稱的截面，如圓形、矩形、工字形等。對(duì)抗拉強(qiáng)度小于抗壓強(qiáng)度的脆性材料，宜采用中性軸偏向受拉一側(cè)的截面形狀。ｙ１和ｙ２之比接近于下列關(guān)系，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力便可同時(shí)接近許用應(yīng)力。３.采用等強(qiáng)度梁上一頁(yè)下一頁(yè)返回７.３梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件等截面梁在彎曲時(shí)各截面的彎矩是不相等的，如果以最大彎矩來(lái)確定截面尺寸，則除彎矩最大的截面外，其余截面的應(yīng)力均低于彎矩最大的截面，這時(shí)材料就沒(méi)有得到充分利用，為了減輕自重，并充分發(fā)揮單位材料的抗彎能力，可使梁截面沿軸線變化，以達(dá)到各截面上的最大正應(yīng)力都近似相等，這種梁稱為等強(qiáng)度梁。但等強(qiáng)度梁形狀復(fù)雜，不便于制造，所以工程實(shí)際中往往制成與等強(qiáng)度梁相近的變截面梁。如搖臂鉆的搖臂ＡＢ做成了由固定端向外伸端截面逐漸減小的形狀，較好地體現(xiàn)了等強(qiáng)度梁的概念［圖７－１６（ａ）］、汽車板簧［圖７－１６（ｂ）］、圓軸則制成了變截面的階梯軸［圖７－１６（ｃ）］等。上一頁(yè)返回７.４梁的剛度概念梁在載荷作用下，除應(yīng)滿足強(qiáng)度條件以防止發(fā)生破壞外，還應(yīng)滿足剛度條件，即彈性變形不得超過(guò)一定的限度，以保證機(jī)器和結(jié)構(gòu)的正常工作。設(shè)梁ＡＢ在平面內(nèi)受Ｆ作用發(fā)生彎曲變形，如圖７－１７所示，梁軸線則由原來(lái)的直線變成一條連續(xù)的平面曲線，此曲線稱為梁的撓曲線。由圖可見(jiàn)，梁的各橫截面將在該平面內(nèi)同時(shí)發(fā)生線位移和角位移。梁上任一橫截面的形心在垂直于原來(lái)梁軸線方向的位移，稱為梁在該截面的撓度，以ｙ表示。同時(shí)橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，稱為該截面的轉(zhuǎn)角，以θ表示。撓度ｙ和轉(zhuǎn)角θ是量度梁彎曲變形的兩個(gè)基本量。下一頁(yè)返回７.４梁的剛度概念梁的撓度和轉(zhuǎn)角一般是隨著截面的位置的變化而變化的。在工程上，根據(jù)工作要求，常對(duì)撓度和