６.１

扭距、扭矩圖６.１.１扭轉(zhuǎn)的概念由圖６－１可以看出，桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)是：在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)，作用著一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反，作用面相互平行的力偶矩。桿件的變形特點(diǎn)是：各橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)過一定的角度，縱向線發(fā)生傾斜如圖６－１所示。桿件的這種變形稱為扭轉(zhuǎn)變形。工程中把以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的桿件稱為軸。研究圓軸扭轉(zhuǎn)問題的方法與研究軸向拉（壓）桿問題類似，首先要計(jì)算作用于軸上的外力偶矩，再分析圓軸橫截面的內(nèi)力，然后計(jì)算軸的應(yīng)力和變形，最后進(jìn)行軸的強(qiáng)度及剛度計(jì)算。下一頁返回６.１

扭距、扭矩圖６.１.２外力偶矩的計(jì)算為了求出圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)截面上的內(nèi)力，必須先計(jì)算出軸上的外力偶矩。在工程計(jì)算中，作用在軸上的外力偶矩的大小往往不是直接給出的，通常是給出軸所傳遞的功率和軸的轉(zhuǎn)速。功率、轉(zhuǎn)速和力偶矩之間存在如下關(guān)系：６.１.３扭矩圓軸在外力偶矩作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，其橫截面上將產(chǎn)生內(nèi)力。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面上的內(nèi)力，是一個(gè)在截面平面內(nèi)的力偶，其力偶矩Ｔ稱為截面上的扭矩。上一頁下一頁返回６.１

扭距、扭矩圖扭矩的單位與外力偶矩的單位相同，常用的單位為?！っ祝ǎ巍ぃ恚┘扒！っ祝ǎ耄巍ぃ恚?。扭矩的正負(fù)號用右手螺旋法則判定：將扭矩看做矢量，右手手心握著軸，四指沿扭矩的方向曲起，則大拇指的指向表示扭矩矢量的方向。拇指的方向離開截面，扭矩為正，如圖６－２（ａ）、（ｂ）所示；反之，若拇指的方向指向截面，扭矩為負(fù)，如圖６－２（ｃ）、（ｄ）所示。這樣，同一截面左右兩側(cè)的扭轉(zhuǎn)，不但數(shù)值相等，而且符號相同。通常，扭轉(zhuǎn)圓軸各截面上的扭矩是不同的，扭矩Ｔ是截面位置ｘ的函數(shù)。即上一頁下一頁返回６.１

扭距、扭矩圖以與軸線平行的ｘ軸表示橫截面的位置，以垂直于ｘ軸的Ｔ軸表示扭矩，則由函數(shù)Ｔ＝Ｔ（ｘ）繪制的曲線稱為扭矩圖，如圖６－３所示。對于同一根軸來說，若把圖６－３（ａ）中主動(dòng)輪Ａ安置在Ｂ的位置，則該軸的扭矩圖如圖６－３（ｂ）所示。所以，傳動(dòng)軸主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的安放位置不同，軸所承受的最大扭矩（內(nèi)力）也就不同。顯然，圖６－３（ａ）的布局是不合理的。上一頁返回６.２圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度條件６.２.１圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力在研究了橫截面的內(nèi)力———扭矩后，還應(yīng)考慮應(yīng)力的計(jì)算。由于應(yīng)力與變形有關(guān)，因此先從觀察圓軸的扭轉(zhuǎn)變形著手。取圖６－４所示圓軸，在其表面畫出一組平行于軸線的縱向線和橫向線，表面形成許多小矩形。當(dāng)軸上作用外力偶以后，可以觀察到以下現(xiàn)象。（１）各圓周線的形狀大小及圓周線之間的距離均無變化，各圓周線繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了不同的角度。（２）所有縱向線仍近似地為直線，只是同時(shí)傾斜了同一角度。下一頁返回６.２圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度條件根據(jù)觀察可知，圓軸橫截面邊緣上各點(diǎn)（即圓周線）變形后仍在垂直于軸線的平面內(nèi)，且距軸線的距離不變。對于圓軸內(nèi)部的變形由于無法觀察，因而作出如下假設(shè)：假設(shè)圓軸扭轉(zhuǎn)變形過程中，橫截面始終保持為平面，且形狀與大小均不變。這就是扭轉(zhuǎn)變形的平面假設(shè)。在平面假設(shè)的基礎(chǔ)上，扭轉(zhuǎn)變形可以看做是各橫截面像剛性平面一樣，繞軸線做相對轉(zhuǎn)動(dòng)，由此可以得出。（１）扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，由于圓軸相鄰橫截面間的距離不變，即圓軸沒有縱向變形發(fā)生，所以橫截面上沒有正應(yīng)力。（２）扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，各縱向線同時(shí)傾斜了相同的角度；各橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)了不同的角度，相鄰截面產(chǎn)生了相對轉(zhuǎn)動(dòng)并相互錯(cuò)動(dòng)，發(fā)生了剪切變形，所以橫截面上有切應(yīng)力。上一頁下一頁返回６.２圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度條件（３）扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，由于圓軸的半徑不變，故橫截面上切應(yīng)力的方向垂直于半徑；再由橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其截面上每一條半徑線都轉(zhuǎn)過了相同的轉(zhuǎn)角，因此半徑上每一點(diǎn)滑移的一段弧長，便是各點(diǎn)的絕對剪切變形。從圖上可以看出，距離圓心越遠(yuǎn)的點(diǎn)，它的變形就越大。在剪切比例極限內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變總是成正比，這就是剪切胡克定律。因此，各點(diǎn)切應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，其分布規(guī)律如圖６－５所示。因此，各點(diǎn)切應(yīng)力的大小與該點(diǎn)到圓心的距離成正比，其分布規(guī)律如圖６－５所示。橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力的大小，與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。上一頁下一頁返回６.２圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度條件也就是說，在截面的圓心處切應(yīng)力為零，在周邊上切應(yīng)力最大。顯然，在所有與圓心等距離的點(diǎn)處，切應(yīng)力均相等。實(shí)心圓軸和空心圓軸橫截面上的切應(yīng)力分布規(guī)律如圖６－５所示，切應(yīng)力的方向與扭矩的方向一致。在橫截面上離圓心為ρ的點(diǎn)處，取微面積ｄＡ，如圖６－６所示。微面積上的內(nèi)力系的合力是ζρｄＡ，它對圓心的力矩等于ζρｄＡ·ρ，整個(gè)截面上這些力矩的總和等于橫截面上的扭矩Ｔ，即上一頁下一頁返回６.２圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度條件將式代入式（６－２），得因Ｇ、ｄφ/ｄｘ均為常量，故式（６－３）可寫成積分∫Ａρ２ｄＡ與橫截面的幾何形狀、尺寸有關(guān)，它表示截面的一種幾何性質(zhì)，稱為橫截面的極慣性矩，用ＩＰ表示，即上一頁下一頁返回６.２圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度條件于是，式（６－４）可寫成橫截面上距圓心為ρ處的切應(yīng)力計(jì)算公式為對于確定的軸，Ｔ、ＩＰ都是定值。上一頁下一頁返回６.２圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度條件因而最大切應(yīng)力必在截面周邊各點(diǎn)上，即ρ=Ｒ時(shí)ζρ＝ζｍａｘ若令則式（６－８）可寫成如下形式ＷＰ稱為抗扭截面系數(shù)，其單位為ｍｍ３或ｍ３。上一頁下一頁返回６.２圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度條件極慣性矩與抗扭截面系數(shù)表示了截面的幾何性質(zhì)，其大小與截面的形狀和尺寸有關(guān)。６.２.２圓截面的極慣性矩ＩＰ及抗扭截面系數(shù)ＷＰ的計(jì)算通常，工程上經(jīng)常采用的軸有實(shí)心圓軸和空心圓軸兩種，它們的極慣性矩與抗扭截面系數(shù)按下式計(jì)算。１.實(shí)心圓截面設(shè)直徑為Ｄ，則上一頁下一頁返回６.２圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度條件２.空心圓截面設(shè)外徑為Ｄ（半徑為Ｒ），內(nèi)徑為ｄ，α＝ｄ／Ｄ，則式（６－１０）可寫成圓環(huán)形截面的抗扭截面系數(shù)ＷＰ為上一頁下一頁返回６.２圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度條件６.２.３圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度條件為保證圓軸正常工作，應(yīng)使危險(xiǎn)截面上最大工作切應(yīng)力ζｍａｘ不超過材料的許用切應(yīng)力。由此得出圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件對于階梯軸，因?yàn)榭古そ孛嫦禂?shù)ＷＰ不是常量，最大工作應(yīng)力不一定發(fā)生在最大扭矩所在的截面上。要綜合考慮扭矩和抗扭截面系數(shù)ＷＰ，按這兩個(gè)因素來確定最大切應(yīng)力。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的許用切應(yīng)力［ζ］值是根據(jù)試驗(yàn)確定的，可查閱有關(guān)設(shè)計(jì)手冊。它與許用拉應(yīng)力［σ］有如下關(guān)系：上一頁下一頁返回６.２圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力和強(qiáng)度條件塑性材料［ζ］＝（０.５～０.６）［σ］脆性材料［ζ］＝（０.８～１.０）［σ］應(yīng)用扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，可以解決圓軸強(qiáng)度計(jì)算的３類問題：校核強(qiáng)度、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷。上一頁返回６.３圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件６.３.１圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，任意兩橫截面產(chǎn)生相對角位移，稱為扭轉(zhuǎn)角，是扭轉(zhuǎn)變形量的量度。軸的扭轉(zhuǎn)變形用橫截面間繞軸線的相對轉(zhuǎn)角即扭轉(zhuǎn)角來表示。由式（６－６）可知，相距ｄｘ的兩截面間的扭轉(zhuǎn)角為所以，對于相距Ｌ的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角則為式（６－１５）就是等直圓軸相對轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式。下一頁返回６.３圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件相對轉(zhuǎn)角φ的單位是弧度(ｒａｄ)，其轉(zhuǎn)向與扭矩的轉(zhuǎn)向相同，所以扭轉(zhuǎn)角的正負(fù)符號隨扭矩的正負(fù)符號而定。注意：對于階梯軸，因?yàn)闃O慣性矩不是常量，所以最大單位長度扭角不一定發(fā)生在最大扭矩所在的軸段上。要綜合考慮扭矩和極慣性矩來確定最大單位長度扭角。由式（６－１５）可以看出，當(dāng)Ｔ和Ｌ一定的情況下，ＧＩＰ越大，則扭轉(zhuǎn)角φ越小，說明圓軸的剛度越大。故稱ＧＩＰ為截面的抗扭剛度，它反映了材料和橫截面的幾何因素對扭轉(zhuǎn)變形的抵抗能力。根據(jù)扭轉(zhuǎn)剛度條件，可以解決剛度計(jì)算的３類問題，即校核剛度、設(shè)計(jì)截面和確定許可載荷。上一頁下一頁返回６.３圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件６.３.２圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，不僅要滿足強(qiáng)度條件，還應(yīng)有足夠的剛度，否則將會(huì)影響機(jī)械的傳動(dòng)性能和加工所要求的精度。工程上通常是限制單位長度上的轉(zhuǎn)角θ，使它不超過規(guī)定的許用轉(zhuǎn)角［θ］。于是，建立圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件為上一頁下一頁返回６.３圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形及剛度條件工程實(shí)際中