/北京市第五十四中學2025?2026學年八年級上學期期中數(shù)學試卷一、單選題1．下列圖片，不是軸對稱圖形的是（

）A． B．C． D．2．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．3．下列各組線段能組成一個三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點P(，5)關于y軸的對稱點的坐標為（）A．(，) B．(3，5) C．(3．) D．(5，)5．如圖，，若，，則的長為（

）A． B． C． D．6．將一副直角三角板如圖放置，使含角的三角板的短直角邊和含角的三角板的一條直角邊對齊，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．下面四個整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（）A． B．C． D．8．如圖，一把直尺壓住射線，另一把完全一樣的直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線就是的平分線．”他這樣做的依據(jù)是（

）A．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等B．角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等D．以上均不正確9．如圖，在中，，，點D是的中點，過點D作交于點E，，則的長度為（

）A．7 B．8 C．9 D．1010．設，是實數(shù)，定義一種新的運算：，則下列結論：①，則且；②；③；④，正確的有（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．計算：．12．在ABC中，AB=AC，點D在BC上（不與點B，C重合）．只需添加一個條件即可證明ABD≌ACD，這個條件可以是（寫出一個即可）

13．如圖，將長方形沿對角線折疊，使點C恰好落在點的位置，若，則°．14．如果，，計算．15．如圖，在中，，，以BC為邊在BC的右側作等邊，點E為BD的中點，點P為CE上一動點，連結AP，BP．當?shù)闹底钚r，的度數(shù)為．16．如圖，兩個全等的含的三角板和三角板，如圖所示放置，、、三點在一條直線上，，連接，取的中點，連接、．下列結論：①；②；③；④；其中正確的．三、解答題17．計算：（1）（2）（3）18．先化簡，再求值：，其中，．19．下面是小明設計“作三角形一邊上的高”的尺規(guī)作圖過程．已知：求作：的邊上的高作法：（1）分別以點和為圓心，，為半徑作弧，兩弧相交于點；（2）作直線交邊于點．所以線段就是所求作的高．根據(jù)小明設計的尺規(guī)作圖過程．（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接，．______點在線段的垂直平分線上（

）（填推理依據(jù)）同理可證，點也在線段的垂直平分線上垂直平分（

）（填推理依據(jù)）是的高．20．如圖，點在一條直線上，，，．（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．21．在平面直角坐標系中，位于如圖所示位置．（1）直接寫出圖中點坐標___________；（2）在圖中作出關于軸對稱的；（3）的面積為____________；22．在日歷中，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律．（1）圖①是2023年11月份的月歷，我們用如圖所示的“Z”字形框架任意框住月歷中的5個數(shù)（如圖①中的陰影部分），先將位置，上的數(shù)相乘，再將位置，上的數(shù)相乘，最后把他們的積相減．例如：_______，______，發(fā)現(xiàn)結果都等于______．（2）設“Z”字形框架中位置上的數(shù)為，請用含的代數(shù)式利用整式的運算對（1）中的規(guī)律加以證明．23．如圖，中，平分，且平分，于點E，于F．求證：．

24．閱讀下列材料，并回答問題．利用完全平方公式，可以將多項式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項式的配方法．運用多項式的配方法及平方差公式能對一些多項式進行分解因式．例如：根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）用多項式的配方法將化成的形式_______________；（2）下面是某位同學用配方法及平方差公式把多項式進行分解因式的解答過程：解：步驟①步驟②步驟③步驟④老師說，這位同學的解答過程中有錯誤，該同學解答中開始出現(xiàn)錯誤的地方是從步驟_______開始的．（3）通過上述材料的學習，證明：，取任何實數(shù)時，多項式的值總為正數(shù)．25．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小麗在組內經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點M，使，連接，可證，從而把，，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍．

26．已知：如圖1，在中，，于點，在上截取一點，使．過點作，交于點E．（1）設，試求出和的大?。ㄓ煤拇鷶?shù)式分別表示）；（2）用等式表示三條線段之間的數(shù)量關系，并證明．27．在平面直角坐標系中，已知點，將經(jīng)過點且垂直于軸的直線記為直線，將經(jīng)過點且垂直于軸的直線記為直線．對于點給出如下定義，將點先關于直線對稱得到點，再將點關于直線對稱得到點，稱點為點關于的“對應點”．已知頂點坐標為，，．（1）如圖1，若點．①由材料，將點關于直線對稱得到點，再將點關于直線對稱得到點，則點關于的“對應點”為．請寫出點關于的“對應點”：__________；點關于的“對應點”：__________；②若點和點關于的“對應點”分別為點和點，且線段與的邊沒有公共點，求的取值范圍：（2）若點關于的“對應點”為點，且以A、、為頂點的三角形恰與全等，請寫出所有滿足條件的點的坐標：______________．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，解題的關鍵在于熟練掌握：在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形．根據(jù)軸對稱圖形的概念求解即可．【詳解】解：A、該圖形是軸對稱圖形，不符合題意；B、該圖形不是軸對稱圖形，符合題意；C、該圖形是軸對稱圖形，不符合題意；D、該圖形是軸對稱圖形，不符合題意；故選B．2．【正確答案】A【分析】本題考查冪的運算性質，包括冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪乘法和除法．根據(jù)相關運算法則計算即可．【詳解】解：∵根據(jù)冪的乘方性質，，∴，選項A正確；選項B中，；選項C中，；選項D中，．故選A．3．【正確答案】C【分析】三角形的三條邊必須滿足：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【詳解】解：A．，不能組成三角形，不符合題意；B．，不能組成三角形，不符合題意；C．，能組成三角形，符合題意；D．，不能組成三角形，不符合題意．故選C．4．【正確答案】B【詳解】根據(jù)關于y軸的對稱點：縱坐標相同，橫坐標變成相反數(shù)，∴點P關于y軸的對稱點的坐標是（3，5），故選B5．【正確答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等推知，然后根據(jù)線段的和差即可得到結論．【詳解】解：，，，，故選A．6．【正確答案】D【分析】本題考查了平行線的判定與性質、平行公理推論，熟練掌握平行線的判定與性質是解題關鍵．如圖（見詳解），過點作，先根據(jù)平行線的性質可得，再根據(jù)平行線的判定可得，根據(jù)平行公理推論可得，然后根據(jù)平行線的性質可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點作，由題意得：，，，∴，，∴，∴，∴，∴，故選D．7．【正確答案】A【分析】本題考查了列代數(shù)式、長方形的面積，能把陰影部分的面積用不同的代數(shù)式表示出來是解題的關鍵．根據(jù)圖形列出代數(shù)式即可．【詳解】解：A、不能表示圖中陰影部分面積，符合題意；B、陰影部分的面積等于上面兩個小長方形組成的大長方形面積加上下面陰影部分的長方形面積，即，故此選項不符合題意；C、陰影部分的面積等于右邊兩個小長方形組成的大長方形面積加上左邊陰影部分的長方形面積，即，故此選項不符合題意；D.陰影部分的面積等于大長方形的面積減去空白部分長方形的面積，即，故此選項不符合題意；故選A．8．【正確答案】B【分析】此題主要考查了角平分線的判定，關鍵是掌握角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．根據(jù)角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上，可得平分．【詳解】解：如圖所示：過點作，，兩把完全相同的長方形直尺的寬度相等，，平分（角的內部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），故選B．9．【正確答案】B【分析】此題主要考查了含30度角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，連接，先求出，，再根據(jù)線段垂直平分線的性質得，，由此得，進而利用直角三角形的性質得，然后求出，再利用直角三角形的性質即可求出的長．【詳解】解：連接，如圖：在中，，，，，點是的中點，，是線段的垂直平分線，，，在中，，，，，，，在中，，，．故選B．10．【正確答案】B【分析】根據(jù)，分別表示出各項的意義，再比較是否相等．【詳解】解：∵，①若，則，則a，b互為相反數(shù)，故錯誤；②=，故正確；③≠，故錯誤；④，，故正確；故選B．11．【正確答案】1【分析】該題考查了零指數(shù)冪，根據(jù)零指數(shù)冪的法則，任何非零數(shù)的零次冪都等于1．【詳解】解：因為，所以．12．【正確答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD）【分析】證明ABD≌ACD，已經(jīng)具備根據(jù)選擇的判定三角形全等的判定方法可得答案．【詳解】解：要使則可以添加：∠BAD=∠CAD，此時利用邊角邊判定：或可以添加：此時利用邊邊邊判定：13．【正確答案】【分析】依據(jù)長方形的性質可知，，證明，由折疊的性質可知，故此可求得問題的答案．【詳解】解：∵四邊形為長方形，∴，，∴，∵，∴，由折疊可得：，∴，14．【正確答案】12【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，解題的關鍵是靈活運用運算法則，注意法則的逆用．利用指數(shù)運算的性質，將轉化為，再代入已知條件計算．【詳解】解：∵，，根據(jù)指數(shù)運算性質，．其中，所以．15．【正確答案】15°【分析】連接PD、AD，設AD與CE交于點P1，利用等邊三角形的性質證得∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，PD=BP，根據(jù)兩點之間線段最短得出當點A、P、D共線時即點P運動到P1時，AP+BP有最小值，連接BP1，根據(jù)等邊對等角證得∠CBP1=∠CDP1=∠CAD，再根據(jù)三角形的外角性質即可求解．【詳解】解：連接PD、AD，設AD與CE交于點P1，∵△BCD是等邊三角形，點E為BC的中點，∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，∴CE為線段BD的垂直平分線，∴PD=BP，∴當點P運動時，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，∴當點A、P、D共線時即點P運動到P1時，AP+BP有最小值，連接BP1，則BP1=DP1，∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC，∴∠CBP1=∠CDP1，∵AC=BC=CD，∴∠CDP1=∠CAD，即延長AC至Q，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1，∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°，∴當?shù)闹底钚r，=15°.16．【正確答案】①③④【分析】利用全等三角形的性質得到：，，，得到①的結論正確；利用梯形的判定與性質判斷②不正確；連接，利用等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定與性質得到③的正確；利用全等三角形的性質和等腰直角三角形的性質得到④的正確．【詳解】解：由題意得：，∴，∴①的結論正確；∵，∴，∵，∴四邊形為梯形，∴，∵，∴，∴②的結論不正確；連接，如圖，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∵的中點為M，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴．在和中，∴，∴．∴③的結論正確；∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴④的結論正確．綜上，正確的結論有：①③④．故①③④．17．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】本題考查了單項式乘以單項式，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，多項式乘多項式，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）運用單項式乘以單項式進行計算，即可作答．（2）先運算同底數(shù)冪的乘法，單項式乘以單項式，再合并同類項，即可作答．（3）根據(jù)多項式乘以多項式進行計算即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：解：．（3）解：．18．【正確答案】，【分析】本題考查了整式的化簡求值，先分別利用多項式除以單項式、平方差公式進行展開，然后合并同類項，最后代入數(shù)值進行計算即可，熟練掌握整式的運算順序是解題關鍵．【詳解】解：，當，時，原式．19．【正確答案】（1）見詳解；（2），與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，兩點確定一條直線【分析】（1）利用幾何語言畫出對應的幾何圖形；（2）利用作法得到BA=BE，CA=CE，則根據(jù)線段的垂直平分線的性質定理的逆定理得到點B、點C在線段AE的垂直平分線上，從而得到BC垂直平分AE．【詳解】（1）如圖，AD為所作；（2）證明：連接，．__BE____點在線段的垂直平分線上（與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上

）（填推理依據(jù)）同理可證，點也在線段的垂直平分線上垂直平分（兩點確定一條直線

）（填推理依據(jù)）是的高．20．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題考查了平行線的性質，三角形外角性質，三角形全等的性質與判定，掌握全等知識點的應用是解題的關鍵．（）根據(jù)平行線的性質可得，根據(jù)線段的和差關系可得，進而根據(jù)即證明；（）由全等三角形的性質得，再通過三角形外角性質求出即可；【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，在和中，∴；（2）解：由（）得，∴，∵，，，∴，∴．21．【正確答案】（1）（2）見詳解（3）【分析】本題考查坐標與圖形變換-軸對稱，熟練掌握成軸對稱的性質，正確的作圖，是解題的關鍵．（1）根據(jù)的位置，寫出坐標即可；（2）根據(jù)成軸對稱的性質，畫出；（3）分割法求三角形的面積即可．【詳解】（1）解：由圖可知：；（2）解：如圖，即為所求；（3）解：的面積為．22．【正確答案】（1）15，15，15（2）見詳解【分析】本題考查平方差公式以及有理數(shù)的運算，正確地表示出日歷中的五個數(shù)，是解題的關鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的運算法則，進行計算即可；（2）根據(jù)月歷上的數(shù)字規(guī)律，用含的式子表示出，再根據(jù)整式的乘法法則，進行計算即可．【詳解】（1）解：；；發(fā)現(xiàn)結果都等于15.（2）解：設“Z”字形框架中位置上的數(shù)為，則：，，，．23．【正確答案】證明過程見詳解【分析】由角平分線的性質可得，再由線段垂直平分線的性質可得，再根據(jù)全等直角三角形的判定與性質即可得出結論．【詳解】證明：如圖，連接、，∵平分，，，∴，∵且平分，∴，在和中，，∴，∴．

24．【正確答案】（1）（2）①（3）見詳解【分析】本題考查了因式分解、平方差公式，熟練掌握配方法是解題關鍵．（1）利用完全平方公式進行配方即可得；（2）步驟①中利用完全平方公式進行配方時出現(xiàn)錯誤；利用配方法及平方差公式分解因式即可得；（3）多項式，利用完全平方公式變形，根據(jù)偶次方的非負性即可得證．【詳解】（1）解：.（2）解：該同學解答中開始出現(xiàn)錯誤的地方是從步驟①開始的，完整的、正確的解答過程如下：.（3）解：，，，即取任何實數(shù)時，多項式的值總為正數(shù)．25．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，倍長中線法；（1）延長使得，連接，先證明得到，在中，根據(jù)三角形三邊關系即可求解；（2）由（1）中即可求解；（3）延長使得，連接，同（1）可得，進而判斷出，進而證明，即可求解．【詳解】（1）解：延長使得，連接，如圖2，∵是的中線，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴；（2）解：；由（1）得：，∴，，∴；（3）解：；延長使得，連接，如圖，

由（1）得：，∴，∵，∴，由（2）得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴【方法總結】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，有時需要考慮倍長中線（或與中點有關的線段）構造全等三角形，把分散的已知條件和所求集中到同一個三角形中．我們把這種添加輔助線稱為“倍長中線法”．【問題解決】（1）直接寫出圖1中的取值范圍：（2）猜想圖2中