/山東省濟(jì)南市長(zhǎng)清區(qū)第三初級(jí)中學(xué)2025?2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)期中試卷一、單選題1．如果將某一拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后所得新拋物線的表達(dá)式是，那么原拋物線的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．2．拋物線上部分點(diǎn)的坐標(biāo)如下表，下列關(guān)于該拋物線的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）x…01…y……A．對(duì)稱軸是直線 B．拋物線開(kāi)口向下C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，3．已知，，都在反比例函數(shù)圖象上，且，則下列正確的為（

）A． B． C． D．4．對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，把拋物線在軸及共其上方的部分記作將向左平移得到，與軸交于點(diǎn)，若直線與共3個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．如圖，，從下列條件“①；②；③；④．”中選擇一個(gè)作為添加條件，使．這個(gè)條件可能是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④7．如圖，中，，垂足為D，下列條件中：①；②；③；④，能證明是直角三角形的有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．C．若，則點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn) D．若點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，則9．如圖，在矩形中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交于點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)P，作射線，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交，于點(diǎn)M，N，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．10．如圖，中，，，雙曲線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（在的左側(cè)），軸于，軸于，連接交于．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）；；；．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是12．定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的兩倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“縱兩倍點(diǎn)”，若二次函數(shù)在的圖象上只存在一個(gè)“縱兩倍點(diǎn)”，則的取值范圍是．13．如圖，在函數(shù)和的圖象上，分別有、兩點(diǎn)，若軸，交軸于點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)度．14．如圖①，在正方形中，是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且．設(shè)，，已知y與x之間的函數(shù)圖象如圖②所示，點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn)，那么（1）；（2）的值為．三、解答題15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．（1）在y軸左側(cè)以O(shè)為位似中心作的位似圖形，且與的相似比為；（2）分別寫出A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；（3）如果內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，寫出點(diǎn)M在內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)．16．如圖，已知一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，連接．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積．17．（）若，且，求的值．（）若，且滿足，求、、的值．18．中，，點(diǎn)在邊上，且．（1）求證：；（2）若面積，面積，求．19．如圖，在矩形中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊以的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)B后，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）用含x的式子表示，及（2）當(dāng)x為何值時(shí)，的面積最大？最大是多少？（3）當(dāng)時(shí)，求x的值．20．【活動(dòng)初探】觀察下列兩個(gè)兩位數(shù)的積（兩個(gè)乘數(shù)的十位上的數(shù)都是9，個(gè)位上的數(shù)的和等于10），你能用二次函數(shù)的知識(shí)說(shuō)明其中哪個(gè)積最大嗎？（1）小明的解法如下，請(qǐng)你幫他將下面的解題過(guò)程補(bǔ)充完整：解：設(shè)兩個(gè)兩位數(shù)的積為，其中一個(gè)乘數(shù)的個(gè)位上的數(shù)為，則另一個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)為，根據(jù)題意，得：，配方后得到二次函數(shù)頂點(diǎn)式為_(kāi)__________．___________，當(dāng)___________時(shí)，有最大值．___________的積最大．【類比深探】觀察下列兩個(gè)三位數(shù)的積（兩個(gè)乘數(shù)的百位上的數(shù)都是6，十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)組成的數(shù)的和等于100），猜想其中哪個(gè)積設(shè)大．（2）請(qǐng)猜想其中哪個(gè)積極大，并類比小明的解法運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)說(shuō)明理由．21．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)D，且與x軸和y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)．（1）填空：__________，點(diǎn)D坐標(biāo)_________；（2）直接寫出不等式的解集為_(kāi)_________________；（3）連接，已知P為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．自變量的函數(shù)值我們通常記作，表示自變量時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值，已知函數(shù)，其中為常數(shù)．（1）若，求的值；（2）若存在唯一一個(gè)自變量的值，使得另一個(gè)函數(shù)，，試求滿足條件的的值；（3）若存在實(shí)數(shù)且，使得，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．23．如圖1，在中，，點(diǎn)P、D分別是邊、上的點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）如圖2，若時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段長(zhǎng)有最小值，最小值為_(kāi)________．

答案1．【正確答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用了圖象左加右減，上加下減的規(guī)律．根據(jù)圖象反向平移，可得原函數(shù)圖象，根據(jù)圖象左加右減，上加下減，可得答案．【詳解】解：將某一拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后所得新拋物線的表達(dá)式是，則表達(dá)式為的拋物線，左移1個(gè)單位，下移2個(gè)單位得原函數(shù)解析式為，即，故選C．2．【正確答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，觀察表格根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得對(duì)稱軸，進(jìn)而得出開(kāi)口方向，再根據(jù)增減性解答C，最后根據(jù)對(duì)稱性說(shuō)明D即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴拋物線的對(duì)稱軸為，拋物線的開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，與時(shí)的函數(shù)值相等，即．故選D．3．【正確答案】D【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴雙曲線過(guò)二、四象限，∵，都在反比例函數(shù)圖象上，且，∴，∴，無(wú)法判斷的符號(hào)；故選D．4．【正確答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)題意可得二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)函數(shù)遞增，需滿足對(duì)稱軸在左側(cè)或重合，據(jù)此即可獲得答案．【詳解】解：∵對(duì)于二次函數(shù)，∵，∴其圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，又∵當(dāng)時(shí)y隨x增大而增大，∴，即．故選D．5．【正確答案】A【分析】本題主要考查拋物線與軸交點(diǎn)以及二次函數(shù)圖象與幾何變換的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是正確地畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，此題有一定的難度．首先求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出解析式，分別求出直線與拋物線相切時(shí)的值以及直線過(guò)點(diǎn)時(shí)的值，結(jié)合圖形即可得到答案．【詳解】解：將y＝0代入，得：，解得：，，拋物線與軸交于點(diǎn)、，，，拋物線向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，∵，平移后解析式，如圖，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，有2個(gè)交點(diǎn)，，解得：，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，，整理得：，相切，，解得：，若直線與、共有3個(gè)不同的交點(diǎn)，，故選A．6．【正確答案】B【分析】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理．先由推出，再根據(jù)相似三角形的判定定理，分別分析四個(gè)條件是否能使．【詳解】解：因?yàn)椋?，即．①，結(jié)合，根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，可得；②，結(jié)合，根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，可得；③，僅這組邊成比例，不能結(jié)合判定；④，即，結(jié)合，根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，可得．綜上，能使的條件是①②④，故選B7．【正確答案】C【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理及相似三角形判定與性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判定①；根據(jù)勾股定理逆定理判定②；根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)判定③④即可．【詳解】解：①，，是直角三角形；②，則是直角三角形，；③由無(wú)法證明是直角三角形；④，，，，，，，，是直角三角形；則能證明是直角三角形的有3個(gè)，故選C．8．【正確答案】D【分析】設(shè)，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平分交于點(diǎn)，得出，，根據(jù)，則，即可表示出，即可判斷A選項(xiàng)；設(shè)的邊上的高為h，根據(jù)等面積法表示出，即可判斷B選項(xiàng)；由，得，證明，，得出，則點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)頂角為的等腰三角形，其底邊與腰之比為黃金分割比，討論即可判斷．本題考查了黃金分割，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)．掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：A：設(shè)，過(guò)點(diǎn)作，∵平分交于點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故A正確；B：設(shè)的邊上的高為h，則，∴，故B正確；C：由，得，∵平分交于點(diǎn)，，，，，，∵，，，∵，，即點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，故C正確；D：根據(jù)選項(xiàng)C可知若，則點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，，即，則，即頂角為的等腰三角形，其底邊與腰之比為黃金分割比．如圖，當(dāng)時(shí)，作等腰三角形，則，利用“”可證，則，故，即點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．故若點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，則存在或滿足條件，故D錯(cuò)誤．故選D．9．【正確答案】B【詳解】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練利用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)交于點(diǎn)，證明，可得，可求得，證明，求得，可利用勾股定理求得，即可解答．10．【正確答案】D【分析】利用全等三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)的運(yùn)用、矩形的判定與性質(zhì)、黃金分割、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，如圖所示，則四邊形是矩形，∴，，∴，∵，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，,∴，即正確；設(shè)，，則，，∴，，∵雙曲線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，∴，∴，，即，∴，∴，即，∴，故正確；∴，故正確；∵，，，∴，∴是的黃金分割點(diǎn)，是較長(zhǎng)線段，∴，∵，∴，故正確；綜上可知正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)，故選D．11．【正確答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)，得出開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸是y軸，結(jié)合，得出的取值范圍是，即可作答．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)，，對(duì)稱軸為y軸，∴該函數(shù)圖象開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y取得最大值4，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是.12．【正確答案】或【分析】本題考查一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問(wèn)題是解題關(guān)鍵．設(shè)是二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，將化為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線在上只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可解答．【詳解】解：設(shè)是二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，則由題可知方程在上只有一個(gè)解，化為，即二次函數(shù)與直線在上只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖：則或，∴或.13．【正確答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義和相似三角形，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．先根據(jù)，，求出，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則可表示出點(diǎn)坐標(biāo)為，然后證明，得到，即，解得，再確定、點(diǎn)的坐標(biāo)，最后用兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差來(lái)得到線段的長(zhǎng)．【詳解】解：∵，，∴，，∴，，∴兩反比例解析式為，，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，∵軸，∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，把代入，得，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，∴線段的長(zhǎng)度．14．【正確答案】；【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握利用軸對(duì)稱得到最短距離是解題的關(guān)鍵．（1）連接、，證明，得到，推出，即當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的值最小，此時(shí)的值最小，由題意可知，的最小值為，則，（2）由可設(shè)，則，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解題即可．【詳解】（1）解：如圖，由正方形的性質(zhì)可知點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，連接、，四邊形是正方形，，，又，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的值最小，此時(shí)的值最小，由題意可知，的最小值為，，故答案為；（2），設(shè)，則，，在中，由勾股定理可得：，即，解得：（負(fù)值已舍去），，，，，，，，即的值為15．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為（3）【分析】此題考查了位似變換的性質(zhì)，還考查了學(xué)生的動(dòng)手能力．題目比較簡(jiǎn)單，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)位似變換的性質(zhì)，即可畫(huà)出位似三角形；（2）結(jié)合圖形，由位似變化的性質(zhì)，即可求得；（3）結(jié)合圖形，由位似變化的性質(zhì)，即可求得．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，與的相似比為，∴點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為；（3）解：∵內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為．16．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，從而直接得出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，求解方程組得到，兩點(diǎn)坐標(biāo)，再通過(guò)找輔助線將三角形面積拆分，進(jìn)而計(jì)算出的面積．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式為，在二次函數(shù)中，，，，故，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）解：聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式得：，即，整理得：，解得：，，將，代入函數(shù)，得，，，．設(shè)函數(shù)為，圖象與軸交于點(diǎn)，將點(diǎn)，代入函數(shù)得，解得：，，令，，解得：，，，，即．17．【正確答案】（）；（）【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)，分式的化簡(jiǎn)求值，掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（）設(shè)，則，，，再代入分式計(jì)算即可；（）設(shè)，則，，，再代入中求出的值即可求解；【詳解】解：（）設(shè)，則，，，∴；（）設(shè)，則，，，∵，∴，解得，∴，，．18．【正確答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理為解題關(guān)鍵．先利用平行線分線段成比例得到，再結(jié)合已知得到，從而得到，從而證明四邊形為平行四邊形，即可得出結(jié)論；先證明得到，推出，再證明，得到，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：，，，又，四邊形為平行四邊形，；（2），，，，，，,，即，，又，，．19．【正確答案】（1），，；（2）當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；（3）或．【分析】本題考查了列代數(shù)式，二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，，則，利用勾股定理得出；（2）根據(jù)三角形面積公式得到，即可得出答案；（3）把代入，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，∴，，∴，∴；（2）解：由題意可得：，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；（3）解：當(dāng)時(shí)，即，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意，∴當(dāng)，或．20．【正確答案】（1），，5，；（2）猜想的積最大，見(jiàn)詳解【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法得到，再根據(jù)二次系數(shù)小于0得到當(dāng)時(shí)，有最大值，則的積最大；（2）設(shè)兩個(gè)三位數(shù)的積為，其中一個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)組成的數(shù)為，則另一個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)組成的數(shù)為，可求出，據(jù)此由二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1），∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，∴的積最大；（2）猜想：的積最大，理由如下：設(shè)兩個(gè)三位數(shù)的積為，其中一個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)組成的數(shù)為，則另一個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)組成的數(shù)為，根據(jù)題意，得，當(dāng)時(shí)，有最大值．的積最大．21．【正確答案】（1）；（2）或（3）或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，反比例函數(shù)與幾何綜合，正確利用待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中可求出m的值，把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中可求出a、b的值；（2）根據(jù)（1）所求可得兩函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式可求出兩