在“關(guān)系”中建構(gòu)模型——小學(xué)數(shù)學(xué)“和倍問(wèn)題”思維訓(xùn)練教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容分析

從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》審視，“和倍問(wèn)題”隸屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“數(shù)的運(yùn)算”主題下的實(shí)際問(wèn)題解決范疇。其知識(shí)圖譜的核心在于深化對(duì)除法意義的理解，將“倍”的概念從兩個(gè)量的單純比較，拓展至兩個(gè)量在“和”的約束下構(gòu)成一個(gè)整體數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜情境，是整數(shù)乘除法意義的綜合與應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)差倍、和差乃至分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題奠定了關(guān)鍵的思維模型基礎(chǔ)。過(guò)程方法上，本課是滲透數(shù)學(xué)模型思想的絕佳載體，旨在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體生活情境中抽象出數(shù)量關(guān)系、用符號(hào)（線(xiàn)段圖）表征關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型（“和÷（倍數(shù)+1）=1倍數(shù)”）并應(yīng)用解決問(wèn)題的完整過(guò)程。其素養(yǎng)價(jià)值深遠(yuǎn)，不僅指向運(yùn)算能力與推理意識(shí)的培養(yǎng)，更重要的是發(fā)展學(xué)生的模型意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)，使其初步感知數(shù)學(xué)建模的力量，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析事物間的依存關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從解決“一道題”到掌握“一類(lèi)題”的思維躍遷。

學(xué)情研判需立足三年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)。其已有基礎(chǔ)是清晰理解乘除法的意義，具備初步的“倍”的概念和簡(jiǎn)單一步計(jì)算解決實(shí)際問(wèn)題的能力。然而，潛在的認(rèn)知障礙在于：面對(duì)同時(shí)存在“和”與“倍”兩個(gè)條件的復(fù)合信息時(shí)，難以自主建立兩者間的邏輯聯(lián)系，常陷入“見(jiàn)倍就乘，見(jiàn)和就加”的機(jī)械操作誤區(qū)，其思維難點(diǎn)在于從整體“和”中逆向分解出作為比較標(biāo)準(zhǔn)的“1份數(shù)”（1倍數(shù)）。因此，教學(xué)調(diào)適策略的核心是提供強(qiáng)有力的可視化思維“腳手架”——線(xiàn)段圖，通過(guò)“形”的直觀支撐“數(shù)”的抽象。課堂中，將通過(guò)“你說(shuō)我畫(huà)”、合作編題等形成性評(píng)價(jià)手段，動(dòng)態(tài)診斷學(xué)生從“讀題”到“畫(huà)圖”再到“找關(guān)系”的思維卡點(diǎn)，并為不同認(rèn)知風(fēng)格的學(xué)生提供多元表達(dá)路徑：擅長(zhǎng)邏輯的可側(cè)重關(guān)系式推導(dǎo)，擅長(zhǎng)形象的可依托線(xiàn)段圖分析，通過(guò)差異化的支持，引導(dǎo)全體學(xué)生抵達(dá)模型建構(gòu)的彼岸。二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)目標(biāo)：學(xué)生能在具體情境中，理解“和倍問(wèn)題”的基本結(jié)構(gòu)，掌握“已知兩個(gè)數(shù)的和與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)”的數(shù)學(xué)模型。能清晰表述“1倍數(shù)”（較小數(shù)）與“幾倍數(shù)”（較大數(shù)）在“和”中的構(gòu)成關(guān)系，并運(yùn)用“和÷（倍數(shù)+1）=1倍數(shù)”的公式進(jìn)行正確計(jì)算。

2.能力目標(biāo)：學(xué)生能夠獨(dú)立或通過(guò)合作，運(yùn)用線(xiàn)段圖直觀表征“和”與“倍”的復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，并能依據(jù)線(xiàn)段圖分析、推導(dǎo)出解題步驟。發(fā)展從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中提取數(shù)學(xué)信息、建立模型并求解的應(yīng)用能力，以及有條理、有根據(jù)的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在探索解決問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)借助幾何直觀（線(xiàn)段圖）化繁為簡(jiǎn)的智慧，感受數(shù)學(xué)建模的成功與樂(lè)趣。在小組交流中，樂(lè)于分享自己的解題思路，并認(rèn)真傾聽(tīng)、借鑒同伴的多樣化策略，培養(yǎng)協(xié)作學(xué)習(xí)的意識(shí)。

4.數(shù)學(xué)思維目標(biāo)：重點(diǎn)發(fā)展模型建構(gòu)思想與幾何直觀素養(yǎng)。通過(guò)將文字語(yǔ)言翻譯成圖形語(yǔ)言（線(xiàn)段圖），再將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言（算式），經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)抽象與建模過(guò)程。強(qiáng)化“歸一”思想，即通過(guò)確定“1份數(shù)”來(lái)統(tǒng)攬全局的解題策略。

5.評(píng)價(jià)與元認(rèn)知目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生建立使用線(xiàn)段圖檢驗(yàn)解題思路合理性的習(xí)慣。能夠?qū)φ諏W(xué)習(xí)目標(biāo)，反思自己的解題過(guò)程：“我畫(huà)對(duì)線(xiàn)段圖了嗎？”“我找到的‘1份數(shù)’對(duì)嗎？”“我的答案是否符合題目中的所有條件？”，初步形成自我監(jiān)控與調(diào)整的學(xué)習(xí)策略。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)為掌握“和倍問(wèn)題”的解題模型，即學(xué)會(huì)用線(xiàn)段圖分析數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用“和÷（倍數(shù)+1）=1倍數(shù)”的公式解決問(wèn)題。確立依據(jù)源于課標(biāo)對(duì)“問(wèn)題解決”及“模型意識(shí)”的突出強(qiáng)調(diào)，該模型是解決一類(lèi)復(fù)合數(shù)量關(guān)系問(wèn)題的通用“鑰匙”，在后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)乃至中學(xué)的方程思想中均有延續(xù)性，是培養(yǎng)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。從能力立意看，它綜合考查了信息整合、關(guān)系分析與邏輯推理，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維從單一向綜合過(guò)渡的重要標(biāo)志。

教學(xué)難點(diǎn)在于從問(wèn)題情境中準(zhǔn)確抽象出數(shù)量關(guān)系，并學(xué)會(huì)借助線(xiàn)段圖確定作為解題關(guān)鍵的“1份數(shù)”（1倍數(shù)）。預(yù)設(shè)難點(diǎn)成因在于，學(xué)生思維需完成兩次飛躍：一是從文字?jǐn)⑹龅綀D形表征的轉(zhuǎn)換，對(duì)空間想象力有一定要求；二是在“和”與“倍”的交織信息中，逆向思考“將和對(duì)應(yīng)多少份”，這與順向思維為主的先前經(jīng)驗(yàn)形成跨度。常見(jiàn)錯(cuò)誤表現(xiàn)為線(xiàn)段圖畫(huà)錯(cuò)倍數(shù)關(guān)系，或無(wú)法將“和”與線(xiàn)段圖中的總份數(shù)正確對(duì)應(yīng)。突破方向在于教師示范與學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖相結(jié)合，通過(guò)反復(fù)追問(wèn)“誰(shuí)是標(biāo)準(zhǔn)？”“我們把它看作幾份？”“它們的和對(duì)應(yīng)著這樣的幾份？”，強(qiáng)化認(rèn)知錨點(diǎn)。四、教學(xué)準(zhǔn)備清單1.教師準(zhǔn)備1.1媒體與教具：交互式課件（內(nèi)含動(dòng)態(tài)線(xiàn)段圖生成演示）；磁性黑板貼（不同長(zhǎng)度的線(xiàn)段條、數(shù)字卡片）；實(shí)物投影儀。1.2學(xué)習(xí)材料：分層學(xué)習(xí)任務(wù)單（“探索坊”、“練兵場(chǎng)”、“挑戰(zhàn)營(yíng)”）；小組合作記錄卡；課堂后測(cè)小卷。2.學(xué)生準(zhǔn)備2.1預(yù)習(xí)與學(xué)具：復(fù)習(xí)“倍”的概念；準(zhǔn)備直尺、鉛筆、彩筆（用于畫(huà)線(xiàn)段圖）。3.環(huán)境布置3.1座位安排：四人小組圍坐，便于合作探究與交流。五、教學(xué)過(guò)程第一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)

1.情境激趣，制造沖突：“同學(xué)們，老師最近遇到一個(gè)小難題。我有一些糖果，如果全部分給我們班的一些同學(xué)。已知老師手里的糖果總數(shù)是某位同學(xué)得到的糖果數(shù)的2倍，而且我們倆的糖果數(shù)加起來(lái)一共是12顆。猜猜看，老師和這位同學(xué)各有多少顆糖？”（學(xué)生可能直覺(jué)猜測(cè)或嘗試分割）

1.1暴露原認(rèn)知，提出核心問(wèn)題：短暫自由發(fā)言后，教師追問(wèn)：“好像不能一下子猜準(zhǔn)。這里同時(shí)告訴了我們‘和’是12，還有‘倍數(shù)關(guān)系’是2倍。像這種已知兩個(gè)數(shù)的‘和’與它們的‘倍數(shù)關(guān)系’，分別求這兩個(gè)數(shù)的問(wèn)題，就是我們今天要挑戰(zhàn)的‘和倍問(wèn)題’。（板書(shū)課題）面對(duì)這種復(fù)雜關(guān)系，我們有什么好辦法能理清思路，準(zhǔn)確求解呢？”

1.2明確路徑，喚醒舊知：“為了攻克它，老師請(qǐng)來(lái)一位神秘的‘圖形助手’。它能把看不見(jiàn)的‘關(guān)系’，變成看得見(jiàn)的‘圖形’。同時(shí)，我們要用好一個(gè)老朋友——‘1份數(shù)’的思想。這節(jié)課，我們就一起學(xué)著畫(huà)圖、找關(guān)系、建模型?！钡诙?、新授環(huán)節(jié)

任務(wù)一：你說(shuō)我畫(huà)——初次表征關(guān)系

教師活動(dòng)：聚焦導(dǎo)入問(wèn)題，教師引導(dǎo)：“我們先來(lái)把題目中的信息‘翻譯’一下。誰(shuí)是較少的那個(gè)？（同學(xué)的糖數(shù)）我們把它看作標(biāo)準(zhǔn)，也就是‘1份數(shù)’，可以用一條短線(xiàn)段表示。”教師在黑板上畫(huà)出一條標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)段，標(biāo)上“？顆”和“1份”。“老師的糖數(shù)是同學(xué)的2倍，該怎么畫(huà)？”請(qǐng)學(xué)生口述，教師同步畫(huà)出另一條相當(dāng)于2份長(zhǎng)的線(xiàn)段，標(biāo)上“？顆”和“2份”。然后提問(wèn)：“現(xiàn)在，‘老師和同學(xué)的糖數(shù)一共是12顆’，這個(gè)‘和’在線(xiàn)段圖上應(yīng)該標(biāo)在哪里呢？”引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出“用一個(gè)大括號(hào)將兩條線(xiàn)段的總長(zhǎng)括起來(lái)，標(biāo)上‘12顆’”。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生跟隨教師的引導(dǎo)，口述畫(huà)圖步驟，同步在任務(wù)單上畫(huà)出線(xiàn)段圖。觀察整體圖示，初步感知“和”與“總份數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否正確識(shí)別并將較小量確定為“1份數(shù)”。2.能否根據(jù)倍數(shù)關(guān)系，準(zhǔn)確畫(huà)出較大量對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段長(zhǎng)度。3.能否將“和”與線(xiàn)段圖的總長(zhǎng)度正確關(guān)聯(lián)。

形成知識(shí)、思維、方法清單：★1.線(xiàn)段圖是分析數(shù)量關(guān)系的利器。它能將抽象的文字條件轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，幫助我們一眼看清誰(shuí)多誰(shuí)少，以及“和”與“份”的對(duì)應(yīng)關(guān)系。▲2.確定“1份數(shù)”是畫(huà)圖的第一步。通常將較小數(shù)或作為比較標(biāo)準(zhǔn)的量看作“1份”，這是分析所有倍數(shù)問(wèn)題的起點(diǎn)，孩子們，這叫“定標(biāo)”。

任務(wù)二：看圖尋策——自主發(fā)現(xiàn)模型

教師活動(dòng)：指著完整的線(xiàn)段圖，啟發(fā)思考：“圖形畫(huà)好了，答案好像就藏在這幅圖里。看著圖，誰(shuí)能發(fā)現(xiàn)，這12顆糖一共對(duì)應(yīng)著這樣的幾份？”（等待學(xué)生回答：1份加2份，一共3份）。教師強(qiáng)化：“太棒了！12顆是總數(shù)，它對(duì)應(yīng)的是（1+2）份，也就是3份。那我們能不能求出1份是多少呢？怎么求？”（12÷3=4顆）。教師繼續(xù)追問(wèn)：“這求出的‘1份’4顆，對(duì)應(yīng)的是題目中誰(shuí)的糖數(shù)？（同學(xué)）那老師的糖數(shù)呢？”（4×2=8顆）。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生觀察線(xiàn)段圖，嘗試回答教師的系列問(wèn)題。經(jīng)歷“看圖→發(fā)現(xiàn)總份數(shù)→計(jì)算1份數(shù)→求幾份數(shù)”的完整思維過(guò)程，并嘗試用自己的語(yǔ)言描述解題步驟。

即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否從線(xiàn)段圖中準(zhǔn)確找出“和”對(duì)應(yīng)的總份數(shù)（倍數(shù)和）。2.能否清晰表達(dá)“用和除以總份數(shù)得到1份數(shù)”的邏輯。3.計(jì)算過(guò)程是否準(zhǔn)確。

形成知識(shí)、思維、方法清單：★3.核心數(shù)量關(guān)系：和÷(倍數(shù)+1)=1倍數(shù)（較小數(shù)）。這是解決和倍問(wèn)題的基本模型。理解“倍數(shù)+1”就是總份數(shù)，是打通思維的關(guān)鍵?！?.解題步驟：一畫(huà)（線(xiàn)段圖）、二找（和對(duì)應(yīng)總份數(shù)）、三算（求1份，再求幾份）、四驗(yàn)（將答案代回原題檢查）。步驟化是規(guī)范思考的框架。

任務(wù)三：舉一反三——提煉與固化模型

教師活動(dòng)：改變導(dǎo)入題條件：“如果老師的糖數(shù)是同學(xué)的3倍，總和還是12顆，線(xiàn)段圖該怎么變？又該怎么解？”請(qǐng)一名學(xué)生上臺(tái)嘗試修改黑板上的線(xiàn)段圖并講解。教師再進(jìn)一步：“如果是4倍、5倍呢？你們發(fā)現(xiàn)了什么不變的規(guī)律嗎？”引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：無(wú)論倍數(shù)怎么變，關(guān)鍵是找到“和”對(duì)應(yīng)的“總份數(shù)”，即（倍數(shù)+1）。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生參與變式練習(xí)，修改線(xiàn)段圖并講解。通過(guò)多個(gè)例子的類(lèi)比，與同伴討論，嘗試總結(jié)出“求較小數(shù)就是用和除以（倍數(shù)加1）”的口訣或規(guī)律。

即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否根據(jù)新的倍數(shù)關(guān)系正確調(diào)整圖形。2.在變式中能否抓住“總份數(shù)=倍數(shù)+1”的本質(zhì)。3.總結(jié)的表述是否準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔。

形成知識(shí)、思維、方法清單：★5.模型的普適性。無(wú)論倍數(shù)關(guān)系如何變化，只要符合“和倍”結(jié)構(gòu)，都可以用“和÷（倍數(shù)+1）=1倍數(shù)”的模型解決，這就是數(shù)學(xué)概括的力量?！?.“口訣”是理解的輔助?？梢杂洃洝昂统裕ū都右唬贸鲆环菔切?shù)”，但務(wù)必建立在理解線(xiàn)段圖的基礎(chǔ)上，避免機(jī)械套用。

任務(wù)四：小試牛刀——基礎(chǔ)應(yīng)用與辨析

教師活動(dòng)：出示基礎(chǔ)題：“公園里楊樹(shù)和柳樹(shù)共36棵，楊樹(shù)的棵數(shù)是柳樹(shù)的5倍。楊樹(shù)、柳樹(shù)各多少棵？”巡視學(xué)生獨(dú)立完成情況，重點(diǎn)觀察畫(huà)圖是否規(guī)范、算式是否依據(jù)圖形。收集典型做法（正確與錯(cuò)誤）準(zhǔn)備投影點(diǎn)評(píng)。

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立審題，在任務(wù)單上完成畫(huà)圖、列式解答。完成后可與同桌輕聲交流做法。

即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.線(xiàn)段圖中是否明確將柳樹(shù)（較小數(shù)）設(shè)為1份。2.算式“36÷（5+1）”是否清晰對(duì)應(yīng)圖中的總份數(shù)關(guān)系。3.答案是否完整（求出兩個(gè)量）。

形成知識(shí)、思維、方法清單：▲7.易錯(cuò)點(diǎn)提醒。容易只求出較小數(shù)就結(jié)束答題，忘記題目要求的是“兩個(gè)數(shù)”。務(wù)必養(yǎng)成求完“1份數(shù)”后，立即用“乘倍數(shù)”求另一個(gè)數(shù)的習(xí)慣?！?.單位問(wèn)題。在分步計(jì)算時(shí)，1份數(shù)的單位通常與問(wèn)題所求量的單位一致。

任務(wù)五：對(duì)比溝通——深化模型理解

教師活動(dòng)：展示一道學(xué)生的可能錯(cuò)誤解法（如用36÷5）。組織討論：“這種做法對(duì)嗎？為什么？它錯(cuò)在哪兒了？”引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比正確線(xiàn)段圖，指出錯(cuò)誤在于誤把“和”直接除以“倍數(shù)”，而沒(méi)有對(duì)應(yīng)“總份數(shù)”。教師小結(jié)：“看，線(xiàn)段圖就像一座橋，幫我們安全地從‘問(wèn)題’通往‘算式’。離開(kāi)了這座橋，就容易掉進(jìn)‘想當(dāng)然’的陷阱里。”

學(xué)生活動(dòng)：參與辨析討論，指出錯(cuò)誤原因。通過(guò)正誤對(duì)比，進(jìn)一步鞏固“和對(duì)應(yīng)總份數(shù)”這一核心聯(lián)系，體會(huì)線(xiàn)段圖的校驗(yàn)價(jià)值。

即時(shí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：1.能否識(shí)別常見(jiàn)錯(cuò)誤類(lèi)型。2.能否利用線(xiàn)段圖作為論據(jù)，有理有據(jù)地指出錯(cuò)誤根源。3.是否加深了對(duì)模型關(guān)鍵點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。

形成知識(shí)、思維、方法清單：★9.線(xiàn)段圖的校驗(yàn)功能。畫(huà)圖不僅是解題的起點(diǎn)，也是檢驗(yàn)算式是否合理的工具。算式必須能從線(xiàn)段圖中得到合理解釋?zhuān)龅健皥D式對(duì)應(yīng)”。▲10.克服思維定勢(shì)。見(jiàn)到“倍”不一定是乘，見(jiàn)到“和”不一定是加，必須綜合分析條件間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。第三、當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練

本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)分層練習(xí)，學(xué)生可根據(jù)自身情況選擇完成至少兩個(gè)層次。

基礎(chǔ)層（全體必做）：“果園里有桃樹(shù)和梨樹(shù)共120棵，桃樹(shù)是梨樹(shù)的3倍。兩種樹(shù)各有多少棵？”（直接應(yīng)用模型，鞏固基本技能）。

綜合層（鼓勵(lì)完成）：“一個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是24厘米，長(zhǎng)是寬的2倍。這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少厘米？”（情境變式，需將周長(zhǎng)概念“長(zhǎng)+寬的和”與和倍模型結(jié)合，考查知識(shí)遷移能力）。教師巡視時(shí)提示：“想想，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式里，藏著我們需要的‘和’嗎？”

挑戰(zhàn)層（學(xué)有余力選做）：“甲乙兩數(shù)之和是99，若甲數(shù)末尾添上一個(gè)0，則正好等于乙數(shù)。求甲乙兩數(shù)。”（條件隱蔽，需要將“添0”轉(zhuǎn)化為“擴(kuò)大10倍”的倍數(shù)關(guān)系，考查信息轉(zhuǎn)化與深度建模能力）。可提示：“甲數(shù)末尾添一個(gè)0，這個(gè)新數(shù)和原來(lái)的甲數(shù)是什么關(guān)系？它又和乙數(shù)是什么關(guān)系？”

反饋機(jī)制：完成基礎(chǔ)層后，同桌依據(jù)“畫(huà)圖規(guī)范、算式對(duì)應(yīng)、答案完整”的標(biāo)準(zhǔn)互評(píng)。教師利用實(shí)物投影展示綜合層與挑戰(zhàn)層的不同解法，尤其請(qǐng)做對(duì)的學(xué)生講解“你是怎么想到的？”，突出思考過(guò)程。對(duì)共性疑難進(jìn)行集中精講。第四、課堂小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧：“今天這節(jié)課，我們征服了‘和倍問(wèn)題’這座小山。現(xiàn)在閉上眼睛回想一下，你手里最重要的‘登山工具’是什么？（線(xiàn)段圖）最核心的‘登山口訣’是什么？（和÷（倍數(shù)+1）=1倍數(shù)）”請(qǐng)學(xué)生用思維導(dǎo)圖或關(guān)鍵詞的形式，在筆記本上自主梳理本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)、解題步驟和心得體會(huì)。

“誰(shuí)來(lái)分享你的收獲？或者你還有什么疑惑？”通過(guò)學(xué)生發(fā)言，教師進(jìn)行補(bǔ)充和升華，強(qiáng)調(diào)模型思想與幾何直觀的重要性：“我們不僅學(xué)會(huì)解一道題，更掌握了一種‘以不變應(yīng)萬(wàn)變’的數(shù)學(xué)思維方法——遇到復(fù)雜關(guān)系，嘗試畫(huà)圖來(lái)化繁為簡(jiǎn)；遇到多個(gè)條件，尋找它們之間隱藏的‘結(jié)構(gòu)’。這就是數(shù)學(xué)的魅力！”

作業(yè)布置：1.必做：完成練習(xí)冊(cè)基礎(chǔ)題，并任選一題，用線(xiàn)段圖向家人講解你的解題思路。2.選做：尋找一個(gè)生活中的“和倍問(wèn)題”實(shí)例，編成題目并解答（可以配上示意圖）。六、作業(yè)設(shè)計(jì)

1.基礎(chǔ)性作業(yè)（必做）：(1)教材配套練習(xí)中關(guān)于“和倍問(wèn)題”的基礎(chǔ)題型3道。要求規(guī)范使用線(xiàn)段圖輔助分析。(2)“講題小達(dá)人”任務(wù)：從完成的題目中任選一題，用手機(jī)錄制一段不超過(guò)2分鐘的講解視頻，重點(diǎn)說(shuō)明如何畫(huà)線(xiàn)段圖以及如何根據(jù)圖列出算式。

2.拓展性作業(yè)（建議大多數(shù)學(xué)生完成）：情境應(yīng)用題：“班級(jí)圖書(shū)角的故事書(shū)和科技書(shū)一共借出45本，借出的故事書(shū)本數(shù)是科技書(shū)的4倍。兩種書(shū)各借出多少本？如果已知故事書(shū)每本厚2厘米，科技書(shū)每本厚1.5厘米，那么借出的這些書(shū)疊在一起，總厚度是多少厘米？”（在應(yīng)用和倍模型基礎(chǔ)上，融入兩步計(jì)算和單位知識(shí)，培養(yǎng)綜合應(yīng)用能力）。

3.探究性/創(chuàng)造性作業(yè)（選做）：(1)探究題：“‘和倍問(wèn)題’中，如果已知的是兩個(gè)數(shù)的‘差’與它們的倍數(shù)關(guān)系（即‘差倍問(wèn)題’），你能試著模仿今天的學(xué)習(xí)方法，通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖，發(fā)現(xiàn)它的解題模型嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并舉例驗(yàn)證?！?2)數(shù)學(xué)日記：以“我的好幫手——線(xiàn)段圖”為題，寫(xiě)一篇簡(jiǎn)短的數(shù)學(xué)日記，記錄你用它解決和倍問(wèn)題的過(guò)程與感悟。七、本節(jié)知識(shí)清單及拓展

★1.和倍問(wèn)題定義：已知兩個(gè)數(shù)的和與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的實(shí)際問(wèn)題。

★2.核心思維工具——線(xiàn)段圖：用于直觀表示數(shù)量關(guān)系。通常將較小的數(shù)（1倍數(shù)）用一條標(biāo)準(zhǔn)線(xiàn)段表示，較大的數(shù)（幾倍數(shù)）則用幾條同等長(zhǎng)度的線(xiàn)段表示。所有線(xiàn)段的總長(zhǎng)度代表兩數(shù)之和。

★3.基本數(shù)量關(guān)系式：兩數(shù)和÷(倍數(shù)+1)=較小數(shù)（1倍數(shù)）；較小數(shù)×倍數(shù)=較大數(shù)（幾倍數(shù)）。關(guān)鍵理解“倍數(shù)+1”代表兩數(shù)總和所對(duì)應(yīng)的“總份數(shù)”。

★4.標(biāo)準(zhǔn)解題四步驟：一畫(huà)（線(xiàn)段圖，定1份）；二找（看“和”對(duì)應(yīng)幾份）；三算（求1份，再求幾份）；四驗(yàn)（代入原題檢查是否符合“和”與“倍”的條件）。

▲5.“1份數(shù)”（1倍數(shù)）的重要性：它是整個(gè)問(wèn)題的“度量衡”或“標(biāo)準(zhǔn)單位”，所有其他量都通過(guò)它與這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)建立聯(lián)系。找到它是解題的突破口。

▲6.常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)畫(huà)圖時(shí)倍數(shù)關(guān)系錯(cuò)誤，線(xiàn)段長(zhǎng)度比例不對(duì)。(2)誤將“和”直接除以“倍數(shù)”，而非“(倍數(shù)+1)”。(3)只求出較小數(shù)，遺漏求較大數(shù)。(4)單位使用不當(dāng)或答案不完整。

★7.模型思想的體現(xiàn)：“和÷（倍數(shù)+1）=1倍數(shù)”是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。它從具體問(wèn)題中抽象出來(lái)，可以應(yīng)用于所有符合該結(jié)構(gòu)的問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的概括性和普適性。

▲8.與已學(xué)知識(shí)的聯(lián)系：本質(zhì)是除法意義“等分除”和“包含除”的綜合應(yīng)用?！扒?份數(shù)”是等分，“求幾份數(shù)”是乘法的應(yīng)用。它是“倍的認(rèn)識(shí)”單元的深化與拓展。

▲9.幾何直觀素養(yǎng)：線(xiàn)段圖是幾何直觀在解決問(wèn)題中的具體應(yīng)用。它把抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系變得形象，有助于理解和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是小學(xué)階段至關(guān)重要的數(shù)學(xué)思想方法。

▲10.變式與拓展初步：如果已知條件變?yōu)閮蓴?shù)之差與倍數(shù)關(guān)系（差倍問(wèn)題），線(xiàn)段圖依然有效，數(shù)量關(guān)系式則變?yōu)椋簝蓴?shù)差÷(倍數(shù)1)=較小數(shù)。鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行對(duì)比探究。八、教學(xué)反思

一、目標(biāo)達(dá)成度分析。本課預(yù)設(shè)的核心目標(biāo)——通過(guò)線(xiàn)段圖建立和倍問(wèn)題模型，在課堂后測(cè)中顯示，約85%的學(xué)生能獨(dú)立規(guī)范作圖并正確解答基礎(chǔ)題型，表明模型建構(gòu)過(guò)程基本有效。能力目標(biāo)方面，學(xué)生展示講解時(shí)，多數(shù)能清晰表達(dá)“先找1份數(shù)”的思路，推理意識(shí)得到顯現(xiàn)。情感目標(biāo)在小組合作編題環(huán)節(jié)表現(xiàn)突出，學(xué)生參與度高，體驗(yàn)了創(chuàng)造的樂(lè)趣。然而，元認(rèn)知目標(biāo)中“自我校驗(yàn)”習(xí)慣的養(yǎng)成，僅靠一節(jié)課難以鞏固，需在后續(xù)練習(xí)中持續(xù)強(qiáng)化。

二、教學(xué)環(huán)節(jié)有效性評(píng)估。導(dǎo)入環(huán)節(jié)的“猜糖”情境迅速聚焦了“和”與“倍”的矛盾，成功激發(fā)了探究欲。新授環(huán)節(jié)五個(gè)任務(wù)構(gòu)成了邏輯緊密的腳手架：任務(wù)一“你說(shuō)我畫(huà)”降低了畫(huà)圖門(mén)檻，任務(wù)二“看圖尋策”實(shí)現(xiàn)了關(guān)鍵點(diǎn)的自主發(fā)現(xiàn)，這個(gè)由“扶”到“放”的過(guò)渡是成功的。心里默想：“讓學(xué)生自己從圖中‘看’出算法，比直接告知公式，留下的印記深刻十倍?！比蝿?wù)四的獨(dú)立練習(xí)與任務(wù)五的錯(cuò)例辨析形成了“建構(gòu)應(yīng)用反思”的閉環(huán)，鞏固了學(xué)習(xí)效果。當(dāng)堂鞏固的分層設(shè)計(jì)照顧了差異，但巡視中發(fā)現(xiàn)，部分選擇基礎(chǔ)層的學(xué)生在面對(duì)綜合層題目時(shí)表現(xiàn)出畏難情緒，如何更有效地鼓勵(lì)他們“跳一跳”，是需要改進(jìn)的引導(dǎo)策略。

（一）學(xué)生表現(xiàn)的深度剖析。在畫(huà)圖環(huán)節(jié)，視覺(jué)空間智能較強(qiáng)的學(xué)生表現(xiàn)優(yōu)異，能迅速抓住比例關(guān)系；而偏向抽象思維的學(xué)生起初對(duì)畫(huà)圖有些抵觸，認(rèn)為“直接想就行”，但在后續(xù)解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，他們逐漸體會(huì)到圖形的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了思維方式的互補(bǔ)。小組討論中，“小老師”的涌現(xiàn)令人驚喜，他們用同伴的語(yǔ)言講解，有時(shí)比教師示范更能打通思路。但也需關(guān)注“沉默的少數(shù)”，個(gè)別基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生在整個(gè)建模過(guò)程中處于被動(dòng)跟隨狀態(tài)，僅模仿了畫(huà)圖步驟，對(duì)“為什么用和除以（倍數(shù)+1）”的理解仍顯模糊。這提醒我，差異化支持的顆粒度需更細(xì)，