2025年秋高二期末教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時(shí)，必須使用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效．5．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并收回．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若空間向量，，則（）A. B.3 C. D.22.已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，則的面積為（）A. B. C. D.3.圓：與圓：公切線的條數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.44.設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.5.在四面體中，分別是的中點(diǎn)，若，則A. B. C.1 D.26.在正項(xiàng)數(shù)列中，對(duì)任意，都有，若，則等于（）A.27 B.9 C.-3 D.-817.數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列可表述為．設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則等于（）A. B. C. D.8.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，左支于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則是等差數(shù)列B.若，則是等比數(shù)列C.若是等比數(shù)列，且，則D.若是等差數(shù)列，則10.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體玩具的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體玩具兩次，并記錄每次正四面體玩具朝下的面上的數(shù)字，記事件為“第一次朝下的面上的數(shù)字為1或2”，事件為“兩次朝下的面上的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.事件與事件互斥C.事件與事件相互獨(dú)立 D.11.如圖，已知正方體棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與所成角為B.平面C.點(diǎn)到平面的距離為定值D.若是正方體內(nèi)切球的一條直徑，則的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點(diǎn)和，點(diǎn)P在y軸正半軸上，且∠APB為直角，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.13.甲、乙兩人做出拳（錘子、剪刀、布）游戲，則甲每局贏的概率為_(kāi)__________．14.我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：如圖，將1，2，…，9填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)填入個(gè)方格中，使得每行，每列和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，這個(gè)正方形叫做階幻方．記階幻方的對(duì)角線上的數(shù)字之和為，如圖三階幻方的，那么的值為_(kāi)_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足到兩點(diǎn)的距離之比為.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）已知直線過(guò)點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，若，求的方程.16.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．17.2025年為全力備戰(zhàn)城市足球聯(lián)賽，某城市公開(kāi)選拔優(yōu)秀足球運(yùn)動(dòng)員，組建參賽隊(duì)伍．選拔由專業(yè)教練組負(fù)責(zé)，依據(jù)選手技術(shù)水平、體能狀況、戰(zhàn)術(shù)理解及綜合素養(yǎng)等多維度進(jìn)行嚴(yán)格評(píng)估，最終擇優(yōu)組建參賽隊(duì)伍．（1）甲，乙兩所高校各有3名學(xué)生報(bào)名參加選拔活動(dòng)，現(xiàn)從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加第一輪體能測(cè)試，求這2名學(xué)生來(lái)自同一高校概率；（2）甲校進(jìn)行了三輪初選活動(dòng)，小明同學(xué)每輪合格概率分別為，各輪結(jié)果均相互獨(dú)立，至少兩輪合格記為“優(yōu)秀”．求三輪初選結(jié)束，小明同學(xué)被記為“優(yōu)秀”的概率．18.如圖，直棱柱的底面是菱形，其中，又點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)，且滿足：．（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）若分別是中點(diǎn)，．求三棱錐的體積；（3）是否存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角的余弦值為？如果存在，求出的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.如圖，為矩形對(duì)角線的交點(diǎn)，，，，，點(diǎn)，分別是線段，線段的等分點(diǎn)，直線和直線的交點(diǎn)為．（1）當(dāng)時(shí)，求直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）證明：點(diǎn)在同一橢圓上，并求出該橢圓的方程；（3）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，直線分別與直線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．2025年秋高二期末教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時(shí)，必須使用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效．5．考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并收回．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若空間向量，，則（）A. B.3 C. D.2【答案】C【解析】【分析】據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，進(jìn)而可求模長(zhǎng).【詳解】，所以.故選：C.2.已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積.【詳解】由橢圓方程得..故選：D.3.圓：與圓：公切線的條數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】計(jì)算圓心距，利用圓心距與半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求解.【詳解】由圓：，所以圓心，半徑，又由圓：得，所以圓心，半徑，所以，，所以，所以圓與圓外切，所以圓與圓有3條公切線，故選：C.4.設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用斜率和傾斜角的關(guān)系得出答案.【詳解】由，，則.故選：A5.在四面體中，分別是的中點(diǎn)，若，則A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【詳解】【分析】如圖所示，

連接，∵、分別是、的中點(diǎn)，∴，

∴，

又，∴，故選C.6.在正項(xiàng)數(shù)列中，對(duì)任意，都有，若，則等于（）A.27 B.9 C.-3 D.-81【答案】A【解析】分析】根據(jù)賦值法結(jié)合遞推公式求解即可.【詳解】令，則，又，所以.又為正項(xiàng)數(shù)列，所以.故故選：A.7.數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列．在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列可表述為．設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用累加法即可求出【詳解】由，則有，，，，，，累加得，所以.故選：B.8.已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，左支于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，易得，設(shè)，取雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，證明是平行四邊形，借助于，由勾股定理得到，再借助于即可求得雙曲線的離心率.【詳解】由圖，因，則，不妨設(shè)，則.取雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接.依題意，可得點(diǎn)是的中點(diǎn)，故四邊形是平行四邊形，又，可得，.由雙曲線的定義，，則，在中，由可得，化簡(jiǎn)得，則在中，，，，由可得，化簡(jiǎn)得，則.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則是等差數(shù)列B.若，則是等比數(shù)列C.若是等比數(shù)列，且，則D.若是等差數(shù)列，則【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，B，先由求出數(shù)列的通項(xiàng)，再根據(jù)等差（等比）數(shù)列的定義即可判斷；對(duì)于C，舉特例即可排除；對(duì)于D，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)比較即可判斷.【詳解】對(duì)于A，由可得，當(dāng)時(shí)，，時(shí)符合題意，故，由為常數(shù)，則是等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，由可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)符合題意，故，由為常數(shù)，則是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，若，則，而，因?yàn)?，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t僅當(dāng)時(shí)，才成立，但的值不確定，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體玩具的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體玩具兩次，并記錄每次正四面體玩具朝下的面上的數(shù)字，記事件為“第一次朝下的面上的數(shù)字為1或2”，事件為“兩次朝下的面上的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.事件與事件互斥C.事件與事件相互獨(dú)立 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率公式，分別寫(xiě)出樣本空間和事件表示的集合，求出相關(guān)事件的概率，利用互斥事件，獨(dú)立事件的定義與和事件的概率公式計(jì)算即可逐一判斷可得答案.【詳解】用兩位數(shù)字表示連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體得到的點(diǎn)數(shù)，，，事件,，事件,，對(duì)于A，，故A正確，對(duì)于B,，事件與事件不互斥，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，，，事件與事件相互獨(dú)立，故C正確，對(duì)于D，，，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與所成角為B.平面C.點(diǎn)到平面的距離為定值D.若是正方體內(nèi)切球一條直徑，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】建立空間坐標(biāo)系，利用異面直線的夾角公式判斷A選項(xiàng)，利用直線與平面的法向量的乘積和距離公式判斷B,C選項(xiàng)，利用圓冪定理判斷D選項(xiàng).【詳解】已知正方體的棱長(zhǎng)為，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，，，A選項(xiàng)：，，，，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)：取平面法向量：，，，，，取，則，，故不垂直，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：設(shè)平面法向量，，，取，則，故，，點(diǎn)在上：，設(shè)，，點(diǎn)到平面的距離為定值，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：內(nèi)切球球心，半徑，設(shè)直線交內(nèi)切球于（在上，在上），由圓冪定理：其中當(dāng)時(shí)，，故，，D選項(xiàng)正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點(diǎn)和，點(diǎn)P在y軸正半軸上，且∠APB為直角，則P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用兩直線垂直條件可得兩直線斜率之積為，從而可求得坐標(biāo).【詳解】由點(diǎn)P在y軸正半軸上，可設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)和，可得因?yàn)椤螦PB為直角，所以，即，因?yàn)椋?，即點(diǎn)，故答案為：13.甲、乙兩人做出拳（錘子、剪刀、布）游戲，則甲每局贏的概率為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】列舉出所有出拳的情況，再根據(jù)古典概型的概率公式求解即可.【詳解】由題意，甲乙出拳的情況有：（錘子，錘子），（錘子，剪刀），（錘子，布），（剪刀，錘子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，錘子），（布，剪刀），（布，布），共9種情況，其中，甲能贏的情況有：（錘子，剪刀），（剪刀，布），（布，錘子），共3種情況，所以甲每局贏的概率為.故答案為：.14.我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：如圖，將1，2，…，9填入的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15．一般地，將連續(xù)的正整數(shù)填入個(gè)方格中，使得每行，每列和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，這個(gè)正方形叫做階幻方．記階幻方的對(duì)角線上的數(shù)字之和為，如圖三階幻方的，那么的值為_(kāi)_________．【答案】369【解析】【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：幻方對(duì)角線上的數(shù)成等差數(shù)列，則根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知對(duì)角線上的首尾兩個(gè)數(shù)相加正好等于．根據(jù)求和公式得：，則．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足到兩點(diǎn)的距離之比為.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）已知直線過(guò)點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，若，求的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式及距離之比代入化簡(jiǎn)即可求得的方程為；（2）利用弦長(zhǎng)可求得圓心到直線的距離為，代入點(diǎn)到直線距離公式即可求出結(jié)果.小問(wèn)1詳解】由題可得，化簡(jiǎn)得，即的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題可知的斜率存在，設(shè)，即.由（1）可知曲線是以為圓心，2為半徑的圓，因?yàn)?，所以圓心到直線的距離為，所以，解得或.所以的方程為或.16.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2），.【解析】【分析】（1）數(shù)列中，，變形為，利用等比數(shù)列的定義即可證明．（2）由（1）可得：，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和．【小問(wèn)1詳解】數(shù)列中，，則，則，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，因此，數(shù)列前項(xiàng)和為，可得，兩式相減可得，所以.17.2025年為全力備戰(zhàn)城市足球聯(lián)賽，某城市公開(kāi)選拔優(yōu)秀足球運(yùn)動(dòng)員，組建參賽隊(duì)伍．選拔由專業(yè)教練組負(fù)責(zé)，依據(jù)選手的技術(shù)水平、體能狀況、戰(zhàn)術(shù)理解及綜合素養(yǎng)等多維度進(jìn)行嚴(yán)格評(píng)估，最終擇優(yōu)組建參賽隊(duì)伍．（1）甲，乙兩所高校各有3名學(xué)生報(bào)名參加選拔活動(dòng)，現(xiàn)從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加第一輪體能測(cè)試，求這2名學(xué)生來(lái)自同一高校的概率；（2）甲校進(jìn)行了三輪初選活動(dòng)，小明同學(xué)每輪合格的概率分別為，各輪結(jié)果均相互獨(dú)立，至少兩輪合格記為“優(yōu)秀”．求三輪初選結(jié)束，小明同學(xué)被記為“優(yōu)秀”的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算即可.（2）根據(jù)獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】從6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，所有的可能情況數(shù)為（種）.這2名學(xué)生來(lái)自同一高校的情況數(shù)為（種）.設(shè)“這2名學(xué)生來(lái)自同一高?！睘槭录瑒t.故這2名學(xué)生來(lái)自同一高校的概率為.【小問(wèn)2詳解】小明同學(xué)被記為“優(yōu)秀”的情況有恰好兩輪合格，三輪均合格.恰好兩輪合格的概率為.三輪均合格的概率為.所以小明同學(xué)被記為“優(yōu)秀”的概率為.18.如圖，直棱柱的底面是菱形，其中，又點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)，且滿足：．（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）若分別是中點(diǎn)，．求三棱錐的體積；（3）是否存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角的余弦值為？如果存在，求出的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）在棱CP、DQ上分別取點(diǎn)M、N，使得，進(jìn)而得到，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離，求出三棱錐的高，再進(jìn)一步結(jié)合三棱錐體積公式求解即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，再根據(jù)二面角的計(jì)算方法分析是否存在某種情況使得二面角的余弦值為即可．【小問(wèn)1詳解】如圖，在棱CP、DQ分別取點(diǎn)M、N，使得，連接，易知四邊形MNQP是平行四邊形，所以，連接，則，且所以四邊形ADNE為矩形，故，同理，且，故四邊形FMNE是平行四邊形，所以，所以，故四點(diǎn)共面．【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)A為軸，以O(shè)B為軸，軸過(guò)且平行于，如圖建系，由，可得各點(diǎn)坐標(biāo)，，，，，，，，已知、分別是、的中點(diǎn)，所以，，由，得，，故，所以，又，所以等腰三角形的