高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題2026.01注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.若需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合要求.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.2.雙曲線的實軸長為（）A.2 B.4 C.6 D.83.已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.內(nèi)含 C.內(nèi)切 D.外離4.投壺是從先秦延續(xù)至清末漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行．如圖為一幅唐朝的投壺圖，假設(shè)甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至多有1人投中的概率為（）A B. C. D.5.如圖，在平行六面體中，，，則（）A. B.C. D.6.已知等差數(shù)列，前n項和分別為，，且，則（）A. B. C. D.7.已知，是橢圓的左右焦點，若橢圓上存在一點P使得，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.8.對于共有n項的有窮數(shù)列，若其任意兩項均不相等，則定義對于數(shù)列中的第項（），定義在其右邊的項中比大的項的個數(shù)稱為的“順序數(shù)”，比小的項的個數(shù)稱為的“逆序數(shù)”.若將所有項的“順序數(shù)”與“逆序數(shù)”之和記為，則等于（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上的面的點數(shù)，事件A為“點數(shù)為奇數(shù)”，事件B為“點數(shù)是1或4”，事件C為“點數(shù)大于3”，下列說法正確的是（）A.A和B是互斥事件 B.B和C是相互獨立事件C. D.10.設(shè)拋物線：的焦點為，為坐標(biāo)原點，點，是上兩個動點，則（）A.的準(zhǔn)線方程為B.的最小值C.當(dāng)直線過點時，直線和的斜率之積為定值D當(dāng)直線與垂直時，直線過定點11.在棱長為4的正方體中，N為的中點，O為的中點，M是棱上靠近的四等分點，Q是棱上靠近D點的四等分點，點P在正方體的表面上運(yùn)動，則下列說法正確的是（）A.若點P在棱上運(yùn)動，則三棱錐的體積不變B.若點P在棱上運(yùn)動，則線段與的長度之和最小為C.若平面，則點P的軌跡長度為D.若，則點P的軌跡是長方形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線與互相垂直，則m的值為______.13.已知數(shù)列的前n項和為，且，，則的通項公式為______.14.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，O為坐標(biāo)原點，以點為圓心且與C的漸近線相切的圓與C在第一象限交于點A，設(shè)B為的中點，若，則C的漸近線的方程為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列滿足，；等比數(shù)列的前3項和為7，前6項和為63.（1）求和通項公式；（2）若，求的前n項和.16.2025年10月31日，神舟二十一號載人飛船成功發(fā)射，航天員們計劃在“天宮”空間站再度授課，極大激發(fā)了同學(xué)們對航天知識的興趣.為此，某校組織了一次“航空知識答題競賽”活動，以賽促學(xué)，引導(dǎo)同學(xué)們深入了解航天成就與精神.（1）經(jīng)初選，已經(jīng)在A，B兩個班中各選出3名同學(xué)，現(xiàn)需從這6名同學(xué)中隨機(jī)選2名同學(xué)擔(dān)任組長，求這2名組長來自同一個班的概率；（2）A班進(jìn)行了三輪初選活動，甲同學(xué)每輪合格概率分別為，，，各輪結(jié)果均相互獨立，至少兩輪合格記為“優(yōu)秀”，求三輪初選后，甲記為“優(yōu)秀”的概率.17.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了《圓錐曲線論》，此書中有許多關(guān)于平面軌跡的問題，例如：平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓，稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)兩定點，，點P滿足.（1）記動點的軌跡為，求軌跡的方程；（2）設(shè)點，點在直線上，過點作軌跡的兩條切線，切點分別為，求四邊形面積的最小值.18.如圖1，在平面四邊形中，，，，，過點D作，垂足為.如圖2，將三角形沿折起，使得點到達(dá)點處，且.（1）證明：；（2）若點F為線段上的點（不含端點），是否存在點滿足直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19.已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為，，M是橢圓上一點，，.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于P，Q兩點，R為線段中點.（ⅰ）求點R的軌跡方程；（ⅱ）點O為坐標(biāo)原點，射線與橢圓交于點S，點G為直線上一動點，且，求證：點G在定直線上.高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題2026.01注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.若需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合要求.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】寫出直線斜截式，根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系確定傾斜角大小.【詳解】由題設(shè)，設(shè)傾斜角為且，則，所以.故選：B2.雙曲線的實軸長為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】由雙曲線實軸的概念即可求解.【詳解】由雙曲線的方程，可得，即，故實軸長，故選：A3.已知圓與圓，則兩圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.內(nèi)含 C.內(nèi)切 D.外離【答案】D【解析】【分析】先將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓心和半徑，再計算兩圓的圓心距，最后根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑.將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，兩圓的圓心距，，所以，所以兩圓的位置關(guān)系是外離.故選：D4.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行．如圖為一幅唐朝的投壺圖，假設(shè)甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至多有1人投中的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，列出所有可能，結(jié)合古典概率，即可求解.【詳解】甲、乙、丙3人投中與否的所有情況為：（中，中，中），（中，中，不中），（中，不中，中），（中，不中，不中），（不中，中，中），（不中，中，不中），（不中，不中，中），（不中，不中，不中），共8種，其中至多有1人投中的有4種，故所求概率為．故選：C.5.如圖，在平行六面體中，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析】先用表示向量，再根據(jù)求解即可.【詳解】因為在平行六面體中，，所以，故選：A6.已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列前項和公式，將兩個數(shù)列前項和的比轉(zhuǎn)化為項的比，結(jié)合等差中項的性質(zhì)即可求得.【詳解】由題可知，，所以.所以.故選：C.7.已知，是橢圓的左右焦點，若橢圓上存在一點P使得，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)橢圓上一點，利用平面向量數(shù)量積以及橢圓的范圍得出不等式即可求出離心率的取值范圍.【詳解】依題意設(shè)橢圓上一點，所以，可得；所以，因此，即，也即，所以，因為，所以可得，因此，即，即，因此離心率為.故選：B8.對于共有n項的有窮數(shù)列，若其任意兩項均不相等，則定義對于數(shù)列中的第項（），定義在其右邊的項中比大的項的個數(shù)稱為的“順序數(shù)”，比小的項的個數(shù)稱為的“逆序數(shù)”.若將所有項的“順序數(shù)”與“逆序數(shù)”之和記為，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)“順序數(shù)”和“逆序數(shù)”的定義，求出的表達(dá)式，再利用裂項相消法計算的值.【詳解】對于，它右邊有個數(shù)，這個數(shù)要么比大，要么比小，所以的“順序數(shù)”與“逆序數(shù)”之和為.對于，它右邊有個數(shù)，同理，的“順序數(shù)”與“逆序數(shù)”之和為.以此類推，對于，它右邊有1個數(shù)，的“順序數(shù)”與“逆序數(shù)”之和為1.而右邊沒有數(shù)，其“順序數(shù)”與“逆序數(shù)”之和0.所以，即.所以.則.故選：D二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上的面的點數(shù)，事件A為“點數(shù)為奇數(shù)”，事件B為“點數(shù)是1或4”，事件C為“點數(shù)大于3”，下列說法正確的是（）A.A和B是互斥事件 B.B和C是相互獨立事件C. D.【答案】BC【解析】【分析】A.利用互斥事件的定義判斷；B.利用獨立事件的定義判斷；CD.利用古典概型的概率求解判斷.【詳解】事件A為“點數(shù)為奇數(shù)”，即，事件B為“點數(shù)是1或4”，即，而，所以A和B不互斥，故A錯誤；事件C為“點數(shù)大于3”，即，基本事件的總數(shù)為，則，，又，則，所以，所以B和C是相互獨立事件，故B正確；因為，所以，故C正確；因為，所以，故D錯誤；故選：BC10.設(shè)拋物線：的焦點為，為坐標(biāo)原點，點，是上兩個動點，則（）A.的準(zhǔn)線方程為B.的最小值C.當(dāng)直線過點時，直線和的斜率之積為定值D.當(dāng)直線與垂直時，直線過定點【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的基本性質(zhì)結(jié)合韋達(dá)定理、斜率公式逐項分析判斷即可.【詳解】由拋物線方程可得，解得，則.選項A：由上分析可得該拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A正確；選項B：設(shè).由拋物線焦半徑公式可得，.因為點是拋物線上的點，則，故當(dāng)時，，故B正確；選項C：設(shè)，，.當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，代入得.不妨設(shè)，，則；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)：.聯(lián)立，消去整理得，，，所以，.則.所以.綜上，直線和的斜率之積為，故C錯誤；選項D：設(shè)直線：.與聯(lián)立整理得，，則，.于是.因為，所以，即，解得或（舍去，此時點或點與原點重合）.因此直線：，恒過定點，故D正確.故選：ABD.11.在棱長為4的正方體中，N為的中點，O為的中點，M是棱上靠近的四等分點，Q是棱上靠近D點的四等分點，點P在正方體的表面上運(yùn)動，則下列說法正確的是（）A.若點P在棱上運(yùn)動，則三棱錐的體積不變B.若點P在棱上運(yùn)動，則線段與的長度之和最小為C.若平面，則點P的軌跡長度為D.若，則點P的軌跡是長方形【答案】AD【解析】【分析】對于A，證明平面，結(jié)合即可判斷；對于B，將平面展開與平面共面，當(dāng)三點共線時，距離之和最小判斷；對于C，作出點P的軌跡三角形，再計算周長即可判斷；對于D，利用坐標(biāo)法求得點P在棱，，，的交點，再判斷對應(yīng)的矩形滿足條件即可.【詳解】對于A選項，因為點在棱上運(yùn)動，故平面即為平面，因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面所以平面，即點到平面距離不變，又，的面積為定值，所以三棱錐的體積不變，為定值,故正確；對于B，將平面展開與平面共面，如圖當(dāng)三點共線時，線段與的長度之和最小，最小值為，故錯誤；對于C，如圖，分別取棱中點，連接，，，，因為分別為棱的中點，所以四邊形，所以四邊形，均為平行四邊形所以，，即平面即為平面，又平面，平面，所以平面，平面，又，平面所以平面平面，在平面中，過點作交于點，在平面中，過點作交于點，連接，則為點P的軌跡，因為Q是棱上靠近D點的四等分點，所以，所以的周長為，故錯誤；對于D，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，所以當(dāng)時，，即當(dāng)時，，即與的交點為，與的交點為，當(dāng)時，，即與的交點為，與的交點為連接，，，所以四邊形是矩形，且，所以，，，平面，所以平面，又，所以是的中點，即平面，所以要使必有平面，又點P在正方體的表面上運(yùn)動，所以點的軌跡為矩形，故正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線與互相垂直，則m的值為______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件直接列式計算作答.【詳解】若直線與互相垂直，則，解得.故答案為：.13.已知數(shù)列的前n項和為，且，，則的通項公式為______.【答案】##【解析】【分析】應(yīng)用結(jié)合已知計算得出是以為首項以為公比的等比數(shù)列，再應(yīng)用等比數(shù)列通項公式計算求解.【詳解】因為數(shù)列的前n項和為，且，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，則，則，所以，所以當(dāng)時，，又，所以是以為首項以為公比的等比數(shù)列，所以則的通項公式為.故答案為：14.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，O為坐標(biāo)原點，以點為圓心且與C的漸近線相切的圓與C在第一象限交于點A，設(shè)B為的中點，若，則C的漸近線的方程為______.【答案】【解析】【分析】利用點到直線的距離求得圓的半徑為，利用雙曲線的定義及中位線的性質(zhì)得，由余弦定理建立方程求得，從而得到漸近線斜率，最后得出漸近線方程.【詳解】由題意可得，雙曲線的一條漸近線為，則點到漸近線的距離，即圓的半徑為，連接，則，由雙曲線的定義知，，所以，在中，為的中點，為的中點，所以，又因為，所以為直角三角形，在直角三角形中，，在中，，因為，所以，求解得，所以斜漸近線斜率，所以C的漸近線的方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列滿足，；等比數(shù)列的前3項和為7，前6項和為63.（1）求和的通項公式；（2）若，求的前n項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得等差數(shù)列的首項和公差，即可求得的通項公式；根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求得其首項和公比，即可求得的通項公式；（2）根據(jù)等比數(shù)列及等差數(shù)列的前項和公式，利用分組求和法求得的前n項和.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得.所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，顯然無解，所以.所以，所以，解得，所以.所以.綜上的通項公式為，的通項公式為.【小問2詳解】設(shè)數(shù)列前n項和為，則.因為，，所以.即的前n項和為.16.2025年10月31日，神舟二十一號載人飛船成功發(fā)射，航天員們計劃在“天宮”空間站再度授課，極大激發(fā)了同學(xué)們對航天知識的興趣.為此，某校組織了一次“航空知識答題競賽”活動，以賽促學(xué)，引導(dǎo)同學(xué)們深入了解航天成就與精神.（1）經(jīng)初選，已經(jīng)在A，B兩個班中各選出3名同學(xué)，現(xiàn)需從這6名同學(xué)中隨機(jī)選2名同學(xué)擔(dān)任組長，求這2名組長來自同一個班的概率；（2）A班進(jìn)行了三輪初選活動，甲同學(xué)每輪合格概率分別為，，，各輪結(jié)果均相互獨立，至少兩輪合格記為“優(yōu)秀”，求三輪初選后，甲記為“優(yōu)秀”的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率計算即可.（2）根據(jù)獨立事件的概率計算公式及概率加法公式求解即可.【小問1詳解】從6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，所有的可能情況數(shù)為：（種）.這2名學(xué)生來自同一個班的情況數(shù)為：（種）.設(shè)“這2名學(xué)生來自同一個班”為事件，則.故這2名學(xué)生來自同一個班的概率為.【小問2詳解】甲同學(xué)被記為“優(yōu)秀”的情況有恰好兩輪合格，三輪均合格.恰好兩輪合格的概率為.三輪均合格的概率為所以甲同學(xué)被記為“優(yōu)秀”的概率為.17.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了《圓錐曲線論》，此書中有許多關(guān)于平面軌跡的問題，例如：平面內(nèi)到兩定點距離之比等于定值（不為1）的動點軌跡為圓，稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)兩定點，，點P滿足.（1）記動點的軌跡為，求軌跡的方程；（2）設(shè)點，點在直線上，過點作軌跡的兩條切線，切點分別為，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）設(shè)點，根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義得出等量關(guān)系，化簡變形可得軌跡的方程；（2）利用圖形以及相切關(guān)系，利用勾股定理得出四邊形的面積表達(dá)式，再由點到直線距離公式即可求得面積最小值.【小問1詳解】設(shè)點，由點，，點P滿足可得；化簡可知軌跡的方程為.【小問2詳解】易知軌跡是以為圓心，半徑為2的圓，又點，因此即為圓心，點到直線的距離為，因此直線與軌跡相離，如下圖所示：顯然，且，又因為為公共邊，所以，因此四邊形的面積為；顯然當(dāng)取得最小值時，四邊形面積最小，又點在直線上，當(dāng)時，滿足題意，此時即為點到直線的距離，所以；所以四邊形面積的最小值為.18.如圖1，在平面四邊形中，，，，，過點D作，垂足為.如圖2，將三角形沿折起，使得點到達(dá)點處，且.（1）證明：；（2）若點F為線段上的點（不含端點），是否存在點滿足直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）由線面垂直得到，連接，再由線面垂直的判定定理證明平面可得；（2）建立如圖所示坐標(biāo)系，求出平面的法向量，代入空間線面角公式計算即可；【小問1詳解】由題意得，又．平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面．因為平面，所以．因為，，又有公共邊，所以與全等，所以，，如圖，連接，則．因為，，平面PCE，所以平面．因為平面，所以．【小問2詳解】由（1）知平面，且平面BCDE，所以，．又，所以兩兩垂直．以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖