4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式(第一課時)拼搏、奮斗、持之以恒人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列2.

已知在正項等比數(shù)列{a}中

，a?a?=a?,若

S?=31,則

an=(

)

A.25”B.25”1C.5”D.5”13.

數(shù)列{2”}的前99項和為(

)A.2100-1

B.1-2100C.2??-1D.1-29?94.

若等比數(shù)列{an}的前5項和S?=10,前10項和S??=50,則它的前15

項和S??=

已知量公式首項a?

與公比q首項a?,末項a,與公

比q

檢查預(yù)習(xí)1.等比數(shù)列的前n項和公式人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒國際象棋起源于古印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：

“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，

第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒

….

…依此類

推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里麥粒數(shù)的2倍，直到

第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個要

求不高，就欣然同意了.已知1000顆麥粒的質(zhì)量約為40g,

據(jù)查，2016—2017年度世

界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實現(xiàn)他

的諾言.

引入課題人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒讓我們一起來分析一下.如果把各格所放的麥粒數(shù)看成一個

數(shù)列，我們可以得到一個等比數(shù)列，它的首項是1,公比是2,

求第1個格子到第64個格子各格所放的麥粒數(shù)總和就是求這個等

比數(shù)列前64項的和.一般地，如何求一個等比數(shù)列的前n

項和呢?

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數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒設(shè)等比數(shù)列{an}

的首項為a?,

公比為q,則

{an}的前n

項和是S?=a?+a?+a?+…+an

①根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，上式可寫成

錯位S?=a?+a?q+a?q2+…+a?q”?1.②我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比q乘①的兩邊，可得qS?=a?q+a?q2+

…

+aq“?1+a?q”①②兩式的右邊有很多相同的項，用①的兩邊分別減去②的兩邊，就可以消去這些相同的項，可得，即(1-q)S?=a(1-q”)

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數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒因此，當(dāng)q≠1時，我們就得到了等比數(shù)列的前n

項和公式因

為an=aq"-1,所以公式(1)還可以寫成(1)(2)

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數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒2??-1這個數(shù)很大，超過了1.84×101?

.如果一顆

麥粒的質(zhì)量約為40g,

那么以上這些麥粒的總

質(zhì)量超過了7000億噸，約是2016—2017年度世

界小麥產(chǎn)量的981倍.因此，國王根本不可能實

現(xiàn)他的諾言.拼搏、奮斗、持之以恒當(dāng)

q=1

時，等比數(shù)列

的

前n

項

和S

。

等于

多少?Sn

=na?

.有了上述公式，就可以解決本小節(jié)開頭提出的問題了.由

a?=1,q=2,n=64,

可得

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數(shù)列(1)

若(2)若aq=27,(

3

)

若a?=8,對于等比數(shù)列的相關(guān)量

a?,an,q,n,Sn,已知幾個量就可以確定其他量?知三求二拼搏、奮斗、持之以恒例7

已知數(shù)列{an}

是等比數(shù)列.

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數(shù)列求S8;,q<0,解：(1)因為

,所以例

7

已知數(shù)列{an}

是等比數(shù)列.(1)若

求S8;拼搏、奮斗、持之以恒

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數(shù)列(2)由

,例7已知數(shù)列{a3

是等比數(shù)列.

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數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒(2)若a?=27,q<0,

求

S;把a(bǔ)?=8,整理，得解得

n=5.例7已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(3)若a=8,拼搏、奮斗、持之以恒

合

作

探

究人教A

版選擇性必修二第四章

數(shù)

列代入解：若q=1,則

所以9=1當(dāng)q≠1時，

由

得

整理，得

所以例

8已知等比數(shù)列{a?}的首項為-1,前n項和為Sn若

合作探究人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒證明

：當(dāng)q=1

時

，Sn=na,S?n-Sn=2na?-na?=na?,S?n-S?n=3na?-2na?=na?,所

以Sn,S?n-S,S3n-

S2n

成等比數(shù)列，公比為1

.例

9

已知等比數(shù)列

}的公比q≠-1,前

n項和為Sn.證明Sn,S?n-S,S?n-S?n成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比.

合作探究拼搏、奮斗、持之以恒人教A

版選擇性必修二第四章

數(shù)列例

9已知等比數(shù)列{an}

的公比q≠-1,

前n項和為Sn.證明Sn,S?n-Sn,S?n-S?n成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比.

·

因

為q”為常

數(shù)，

所以S,S2n-S?,S?n-S?n成

等

比

數(shù)

列

，

公

比

為q”.拼搏、奮斗、持之以恒論的方式能否證明該結(jié)論?

合作探究人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列當(dāng)q≠1時,想一想，不用分類討等比數(shù)列前n項和的重要性質(zhì)(1)等比數(shù)列{a,}

的前n

項和S,滿足S?,S

2n-Sn,Sn-Szn,S4n-Sn,…成

等

比數(shù)列(其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,

…均不為0),這一性質(zhì)可直接應(yīng)用.(2)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的項數(shù)是偶數(shù)時，

當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的項數(shù)是奇數(shù)時，

拼搏、奮斗、持之以恒

合作探究人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列1.在等比數(shù)列{an}中，(1)若q=2,S?=1,求S8;(2)若a?+a?=10,

求a?

和S?

.拼搏、奮斗、持之以恒

學(xué)以致用人教A

版選擇性必修二第四章

數(shù)

列2.

(1)若等比數(shù)列{an}的公比為且a?+a?+…+a?=60,則{an}的

前100項和為(2)一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an},

各項之和為偶數(shù)項之和的4倍，

前3項之積為64,求數(shù)列的通項公式.

學(xué)以致用人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒3.一個熱氣球在第一分鐘上升了25m

的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.試問這個熱氣球上升、_的高度能超過125m

嗎?

學(xué)以致用人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒1.

解決數(shù)列問題的具體步驟：(1)認(rèn)真審題，理解題意，達(dá)到如下要求：①明確問題屬于哪類應(yīng)用問題，即明確是等差數(shù)列問題，還

是等比數(shù)列問題，還是遞推數(shù)列問題；是求an,還是求Sn,

特別

要

注意準(zhǔn)確弄清項數(shù)為多少.②弄清題目中主要的已知事項.(2)抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)?shù)?/p>

引入?yún)?shù)變量，并將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)

學(xué)式子表達(dá).(3)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求的量聯(lián)系起來，并根據(jù)題意列出數(shù)學(xué)關(guān)系式.

學(xué)以致用人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒2.

價格升降、細(xì)胞繁殖、利率、稅率、增長率(如本例題)等

問題常歸結(jié)為等比數(shù)列模型，即從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)事實，

歸納轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題去解決.

學(xué)以致用人教A版選擇性必修二第四章

數(shù)列拼搏、奮斗、持之以恒(1)等比