專題14計數(shù)原理、隨機變量及分布列

目錄

01析·考情精解..............................................................................................................2

02構(gòu)·知能框架..............................................................................................................3

03破·題型攻堅..............................................................................................................4

考點一排列組合.......................................................................................................4

真題動向

知識1組合問題常見題型

必備知識

知識2二項式定理考點

命題預(yù)測題型1排列組合問題題型2二項式定理問題

考點二離散型隨機變量...........................................................................................7

真題動向

知識1離散型隨機變量

必備知識知識2離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望

知識3正態(tài)分布

題型1抽用樣本估計總體題型2離散型隨機變量的分布列、均值、

命題預(yù)測

方差題型3正態(tài)分布問題

天津高考對該部分內(nèi)容主要以探索創(chuàng)新情境與生活實踐情境為載體，重在考查考

生的邏輯思維能力及對事件進行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力;該部分考查的必備知識在

命題

選擇題和填空題中常?？疾榕帕薪M合、二項式定理、抽用樣本估計總體等,解答題則

軌跡

以利用排列組合考查離散型隨機變量的分布列、均值、方差、二項分布和正態(tài)分布等

透視

問題為主,重點考查知識的應(yīng)用性與基礎(chǔ)性,考查的關(guān)鍵能力主要是邏輯思維能力、數(shù)

學(xué)建模能力、創(chuàng)新能力;考查的學(xué)科素養(yǎng)主要為理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)探索。

考點2025年2024年2023年

考點排列組合T11，5分T11，5分T11，5分

頻次

總結(jié)

離散型隨機變量T5，5分T3，5分T7，5分

預(yù)計在2026年高考中，分值與題型：約10分，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定：1填空（二項式，5

分）+1填空（排列/概率，5分））；難度梯度為：二項式易、排列組合中、離散型

2026

隨機變量中偏難。二項式定理（5年5考）：第11題填空，考通項求指定項系數(shù)/常

命題

數(shù)項，偶考系數(shù)和（賦值法），不考復(fù)雜綜合。排列組合：小題（5-8題或填空）考

預(yù)測

基礎(chǔ)模型（相鄰捆綁、不相鄰插空、分組分配、定序倍縮），多為古典概型背景，強

調(diào)“有序/無序”區(qū)分。離散型隨機變量：填空考二項分布/超幾何分布的期望方差；

解答題（18題）考分布列+期望+方差，常與全概率公式、條件概率結(jié)合，新情景（如

體育、購物、生產(chǎn)）突出建模能力。

新情景考法：排列組合+概率：含限制條件的古典概型（如“至多/至少”“含特殊

元素”），用間接法簡化計算。隨機變量+數(shù)列/函數(shù)：如分布列與數(shù)列遞推、期望

的函數(shù)最值，考知識遷移?？缒K融合：與統(tǒng)計圖表（頻率分布直方圖）、向量、

不等式結(jié)合，強調(diào)數(shù)據(jù)處理與轉(zhuǎn)化

考點一排列組合

6

1．（2025·天津·高考真題，11，5分）在x1的展開式中，x3項的系數(shù)為．

【答案】20

【分析】根據(jù)二項式定理相關(guān)知識直接計算即可.

6r6rr

【詳解】x1展開式的通項公式為Tr1C6x1，

3333

當r3時，T4C6x120x，

6

即x1展開式中x3的系數(shù)為20.

故答案為：20

5

3

2．（2022·天津·高考真題，11，5分）在x的展開式中，常數(shù)項是.

x2

【答案】15

【分析】利用二項式展開式的通項特征，即可求解.

5r55r

35r3

【詳解】由題意的展開式的通項為rrr2，

x2Tr1C5x2C53x,r0,1,2,3,4,5

xx

55r5

令即，則rr1，所以3的展開式中的常數(shù)項為

0r1C53C5315x15.

2x2

故答案為：15.

6

2

．（·天津·高考真題，，分）在x3的展開式中，常數(shù)項為．

320241152

3x

【答案】20

【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項展開式的通項分析求解即可.

66rr

22

【詳解】因為x3的展開式的通項為rx32r6r124r，

2Tr1C623C6x,r0,1,,6

3x3x

令124r0，可得r3，

03

所以常數(shù)項為3C620.

故答案為：20.

6

312

4．（2023·天津·高考真題，11，5分）在2x的展開式中，x的系數(shù)為．

x

【答案】60

k6kk184k

【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式Tk112C6x，令184k2確定k的值，

然后計算x2項的系數(shù)即可.

k

6k

【詳解】展開式的通項公式k31k6kk184k，

Tk1C62x12C6x

x

令184k2可得，k4，

24644

則x項的系數(shù)為12C641560.

故答案為：60.

9

1

5．（2007·天津·高考真題，11，5分）x的二項展開式中常數(shù)項是．（用數(shù)字作答）

x2

【答案】84

r93r

【分析】寫出二項式展開式通項Tr1C9x，進而確定常數(shù)項對應(yīng)r值，即可求結(jié)果.

1

【詳解】二項式展開式通項為TCrx9r()rCrx93r，

r19x29

3

所以，當r3時常數(shù)項為T4C984.

故答案為：84

6．（2003·遼寧·高考真題，11，5分）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分.現(xiàn)要栽種4

種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有種.（用

數(shù)字作答）

【答案】120

【分析】由題意，6個部分.栽種4種不同顏色的花，必有2組顏色相同的花，從同顏色的花入手分類來求，

最后利用分類加法計數(shù)原理得到結(jié)果.

【詳解】由題意，6個部分.栽種4種不同顏色的花，必有2組顏色相同的花，

若2、5同色，則3、6同色或4、6同色，

4

所以共有2A448種栽種方法；

若2、4同色，則3、6同色，

4

所以共有A424種栽種方法；

若3、5同色，則2、4同色或4、6同色，

4

所以共有2A448種栽種方法；

所以共有482448120種栽種方法.

故答案為：120

知識1組合問題常見題型

（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：

“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．

（2）“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：

解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求

解，但通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．

（3）分堆問題

平分到指定位置

①平均分堆，其分法數(shù)為：．

堆數(shù)的階乘

分到指定位置

②分堆但不平均，其分法數(shù)為．

相同數(shù)量的堆數(shù)階乘之積

（4）定序問題．

對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素

的位置而不參加排列，然后對其他元素進行排列．

（5）相同元素分組問題用“隔板法”：

知識2二項式定理考點

一般地,對于任意正整數(shù)n,都有：

n0n1n1rnrrnn*，

(ab)CnaCnabCnabCnb(nN)

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做(ab)n的二項展開式。

rnrrrnrr

式中的Cnab做二項展開式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項：Tr1Cnab，

r

其中的系數(shù)Cn（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)

n012n

(ab)的展開式中各項的二項式系數(shù)Cn、Cn、Cn…Cn具有如下性質(zhì)：

rnr

①對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即CnCn；

②增減性與最大值：二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當

n

2

n為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)Cn最大；當n為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系

n1n1

22

數(shù)Cn，Cn相等，且最大.

n01234nn

③各二項式系數(shù)之和為2，即CnCnCnCnCnCn2；

④二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，

024135n1

即CnCnCnCnCnCn2。

【易錯提醒】

①在二項式定理(ab)n的問題要注意b的系數(shù)為1，在展開求解時不要忽略

②對于三項式的展開問題，一般采取轉(zhuǎn)化為二項式再展開的辦法進行求解，但在轉(zhuǎn)化為二項式的時候，又

有不同的處理策略：一是如果三項式能夠化為完全平方的形式，或者能夠進行因式分解，則可通過對分解

出來的兩個二項展開式分別進行分析，進而解決問題（如本例中的解法二）；二是不能化為完全平方的形

式，也不能進行因式分解時，可直接將三項式加括號變?yōu)槎検?，套用通項公式展開后對其中的二項式再

利用通項展開并進行分析求解，但要結(jié)合要求解的問題進行合理的變形，以利于求解

題型1排列組合問題

1．（2025·天津紅橋·二模）隨著我國經(jīng)濟發(fā)展越來越好，外出旅游的人越來越多，現(xiàn)有兩位游客慕名來天

津旅游，他們分別從“天津之眼摩天輪、五大道風(fēng)景區(qū)、古文化街、意式風(fēng)情街、海河觀光游船、盤山風(fēng)景

區(qū)”這6個景點中隨機選擇1個景點游玩，記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪”，事件B

為“兩位游客選擇的景點不同”，則P(A)，P(B∣A).

1110

【答案】

3611

P(AB)

【分析】根據(jù)古典概型概率公式求出P(A),P(AB)，再由條件概率公式P(B∣A)求解即可.

P(A)

【詳解】由題意，兩位游客從6個景點中隨機選擇1個景點游玩，每人都有6種不同的選法，故共有

6636(種)不同的選法.

兩人都不選擇天津之眼摩天輪的方法有5525(種)，

故兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪的方法共有362511(種)，

11

所以故兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪的概率P(A).

36

AB表示兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪，且兩位游客選擇的景點不同，即一人選擇天津之眼摩

11

天輪，另一人選擇其它景點，共有A2A510(種)選法，

105

故P(AB)，

3618

5

P(AB)1810

所以P(B∣A).

P(A)1111

36

1110

故答案為：；.

3611

2．（2025·天津·一模）某教師一天上3個班級的課，每班上1節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4

節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有

種.

【答案】474

【分析】利用間接法即可求解.

3

【詳解】首先求得不受限制時，從9節(jié)課中任意安排3節(jié)課，有A9504種排法，

33

其中上午連排3節(jié)課的有3A318種，下午連排3節(jié)課的有2A312種，

則這位教師一天的課表的所有不同排法有5041812474種.

故答案為：474.

3．（2025·天津和平·三模）清明節(jié)前夕，某校團委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時代英雄”主題演講比賽，

經(jīng)過初賽，共7人進入決賽，其中高一年級2人，高二年級3人，高三年級2人，現(xiàn)采取抽簽方式?jīng)Q定演

講順序，設(shè)事件A為“高二年級3人相鄰”，事件A的排法為種；在事件A“高二年級3人相鄰”

的前提下，事件B“高一年級2人不相鄰”的概率PBA為．

3

【答案】720/0.6

5

【分析】利用捆綁法求解事件A的排法；再使用捆綁法和插空法求出事件AB的排法，利用條件概率公式

得到PBA

3

【詳解】將高二年級3人進行全排列，有A3種排法，再將高二年級3人看作一個整體，和其他年級4人進

535

行全排列，有A5種排法，所以事件A的排法有A3A5=720種；

3

事件AB的排法：將高二年級3人進行全排列，有A3種排法，再將高二年級3人看作一個整體，和高三

32

年級的2人進行全排列，有A3種排法，排好后，將高一年級的2人進行插空，有A4種排法，所以事件AB

332

共有A3A3A4=432種排法，

nAB4323

則PBA

nA7205

3

故答案為：720，

5

4．（2025·天津河?xùn)|·一模）某工程隊有5項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，

工程丙必須在工程乙完成后立即進行那么安排這5項工程的不同排法種數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【答案】12

【分析】根據(jù)定序與相鄰問題確定排列數(shù).

4

A4

【詳解】由題意得乙丙相鄰，甲與乙丙定順序，所以安排這5項工程的不同排法種數(shù)是212.

A2

5．（2024·天津河?xùn)|·二模）一共有5名同學(xué)參加《我的中國夢》演講比賽，3名女生和2名男生，如果男生

不排第一個演講，同時兩名男生不能相鄰演講，則排序方式有種．（用數(shù)字作答）

【答案】36

【分析】根據(jù)題意，分2步完成：①將三名女生全排列，②排好后，除去第一個空位，有3個空位可用，

在這三個空位中任選2個，安排2名男生，由分步計數(shù)原理計算可得答案．

【詳解】根據(jù)題意，滿足條件的排序方式都可分為兩步完成，第一步將三名女生全排列，第二步按要求排

男生，

3

其中步驟一，將三名女生全排列，有A36種順序，

因為女生排好后排好后，有4個空位，男生不排第一個演講，除去第一個空位，有3個空位可用，

2

所以步驟二按要求排男生有A36種情況，

由分步乘法計數(shù)原理可得共有6×6=36種符合題意的排序方式.

故答案為：36.

6．（2026·天津·模擬預(yù)測）世界第三屆無人駕駛智能大賽在天津召開，現(xiàn)在要從小張?小趙?小李

?小羅?小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯?安保?禮儀?服務(wù)四項不同工作，若小張和小趙只能從事前

兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（）種.

A．120B．60C．24D．36

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，小張和小趙只能從事前兩項工作，由此分為2種情況討論，結(jié)合排列組合，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意可分為2種情況討論：

113

（i）若小張或小趙只有一人入選，則有C2C2A324種不同的選派方案；

22

（ii）若小張，小趙都入選則有A2A312種不同的選派方案，

綜上可得，共有241236種不同的選派方案.

故選：D

7．（2026·天津東麗·開學(xué)考試）某校團委舉辦《在青春的賽道上，我們都是追光者》主題演講比賽，經(jīng)過

初賽，共7人進入決賽，其中高一年級2人，高二年級3人，高三年級2人，現(xiàn)采取抽簽方式?jīng)Q定演講順

序，設(shè)事件A為“高一年級2人不相鄰”，事件B為“高二年級3人相鄰”，則PBA.

3

【答案】/0.12

25

【分析】利用插空法求出事件A的排法，再使用捆綁法和插空法求出事件AB的排法，利用條件概率公式

計算得到PBA.

52

【詳解】由題意，先將高二和高三年級的5個人全排列，有A5種排法，將高一年級2人進行插空，有A6種

排法，

52

所以事件A“高一年級2人不相鄰”的排法有nAA5A63600種排法.

3

將高二年級3人進行全排列，有A3種排法，再將高二年級3人看作一個整體，和高三年級的2人進行全排

3

列，有A3種排法，

2332

排好后，將高一年級的2人進行插空，有A4種排法，所以事件AB共有A3A3A4432種排法.

nAB4323

所以，PBA.

nA360025

3

故答案為：.

25

題型2二項式定理問題

4

8．（2025·天津南開·模擬預(yù)測）在2xx1的展開式中，x2的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）

【答案】8

4r4r223

【分析】先找到(x1)的展開式通項為C4x，再由乘法分配律得展開式中x的系數(shù)為2C4C4，即可得解.

444

【詳解】2xx12x1xx1,

4r4r

因為(x1)的展開式通項為C4x，

令4r2或4r1，解得：r2或r3，

223

所以x的系數(shù)為：2C4C41248.

故答案為：8.

9．（2025·天津·二模）在(3x2x)6的展開式中，x6的系數(shù)為．

【答案】135

【分析】由二項式定理寫出通項，根據(jù)題意，利用賦值，結(jié)合組合數(shù)，可得答案.

63

6rrr12r

【詳解】由3x2x的展開式的通項為r2r6r2，

Tr1C63xxC631x

34

令12r6，解得r4，則x6的系數(shù)為C4321135.

26

故答案為：135.

1

10．（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測）在(2x2)5的二項展開式中，x的系數(shù)為．

5x

8

【答案】/0.32

25

25

11．（2025·天津河西·模擬預(yù)測）xx1的展開式中x3的系數(shù)為.

x

【答案】20

5

【分析】借助二項式的展開式的通項公式計算可得x1的展開式中x2項與x4項的系數(shù)，則可得

25

xx1的展開式中x3的系數(shù).

x

5r5rr

【詳解】對x1有Tr1C5x1，

5233

則x1展開式中x項的系數(shù)為C5110，

41

展開式中x項的系數(shù)為C515，

則展開式中x3的系數(shù)為1102520.

故答案為：-20.

6

215

12．（2025·天津·一模）在2x的展開式中，x的系數(shù)為．

3x

【答案】160

【分析】根據(jù)題意，求得二項展開式的通項，確定r的值，代入即可求解.

67r

1112

【詳解】由二項式2的展開式的通項為r26rrr6rr3，其中

2xTr1C6(2x)()(1)2C6x

3x3x

r0,1,2,,6，

7r333

令125，可得r3，所以x5的系數(shù)(1)2C160.

36

故答案為：160.

3

13．（2025·天津·二模）在(x4)5的展開式中，常數(shù)項為.

x

【答案】405

【分析】利用二項式定理直接列式求解.

33

【詳解】(x4)5的展開式常數(shù)項為C4x4()4405.

x5x

故答案為：405

6

1215

14．（2025·天津和平·三模）若二項式xa0的展開式中，x的系數(shù)為，則a．

ax16

【答案】4

【分析】求解二項式展開式的通項，確定x2的系數(shù)列方程即可得a的值.

6r

【詳解】二項式1的展開式的通項為：r6r1rr62r，

xa0Tr1C6xC6ax,r0,1,2,,6

axax

2221521

當r2可得x的系數(shù)為C6a，所以a，

1616

因為a0，所以a4.

故答案為：4.

8

1

15．（2025·天津濱海新·三模）在二項式2x的展開式中常數(shù)項為．

3x

【答案】112

【分析】由二項式定理即可求解.

86

2

【詳解】1的展開式中常數(shù)項為61

2xC82x284112.

3x3x

故答案為：112.

6

61

16．（2025·天津南開·二模）在x的展開式中，x1的系數(shù)為．

3x

【答案】15

1

【分析】寫出展開式通項公式，得到T315x，得到答案.

616r1r1

1r1r

【詳解】6展開式通項公式為r63r2，

xTr1C6xxC61x

3x

1

令1r1，解得r4，

2

44111

T5C61x15x，故x的系數(shù)為15.

故答案為：15

n

1

17．（2025·天津河西·二模）在3x的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為128，則常數(shù)項為.

3x

【答案】252

【分析】首先根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求n，再根據(jù)通項公式，即可求解.

【詳解】由條件可知，2n1128，則n8，

r4

8r18r

二項展開式的通項公式rr8r3，

Tr1C83xC83x

3x

4

令8r0，得r6，

3

62

所以常數(shù)項為C83252.

故答案為：252

考點二離散型隨機變量

1．（2025·天津·高考真題，13，5分）小桐操場跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈

的概率均為0．5，若第一次跑5圈，則第二次跑5圈的概率為0．4，6圈的概率為0．6；若第一次跑6圈，

則第二次跑5圈的概率為0．6，6圈的概率為0．4．小桐一周跑11圈的概率為；若一周至少跑11

圈為運動量達標，則連續(xù)跑4周，記合格周數(shù)為X，則期望EX

【答案】0.63.2

【分析】先根據(jù)全概率公式計算求解空一，再求出概率根據(jù)二項分布數(shù)學(xué)期望公式計算求解.

【詳解】設(shè)小桐一周跑11圈為事件A，設(shè)第一次跑5圈為事件B，設(shè)第二次跑5圈為事件C，

則PAPBPC|BPBPC|B0.50.60.50.60.6；

設(shè)運動量達標為事件D，PDPAPBPC|B0.60.50.40.8，

所以XB4,0.8，EX40.83.2；

故答案為：0.6；3.2

2．（2025·天津·高考真題，5，5分）下列說法中錯誤的是（）

A．若XN,2，則P(X)P(X)

B．若XN1,22，YN2,22，則P(X1)P(Y2)

C．r越接近1，相關(guān)性越強

D．r越接近0，相關(guān)性越弱

【答案】B

【分析】根據(jù)正態(tài)分布以及相關(guān)系數(shù)的概念直接判斷即可.

【詳解】對于A，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，PXPX，A說法正確；

對于B，根據(jù)正態(tài)分布對稱性可知，PX1PY20.5，B說法錯誤；

對于C和D，相關(guān)系數(shù)r越接近0，相關(guān)性越弱，越接近1，相關(guān)性越強，故C和D說法正確.

故選：B

3．（2024·天津·高考真題，13，5分）某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比

賽共5個項目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個項

目.假設(shè)每人參加每個項目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項目的概率為；已知乙同學(xué)參加

的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為．

3

【答案】1

52

【分析】結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求解第一空；采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.

【詳解】解法一：列舉法

給這5個項目分別編號為A,B,C,D,E,從五個活動中選三個的情況有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種情況，

其中甲選到A有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，

63

則甲參加“整地做畦”的概率為：P；

105

乙選A活動有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE，

其中再選擇D有3種可能性：ABD,ACD,ADE，

31

故乙參加的3個項目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項目的概率為=.

62

解法二：

設(shè)甲、乙選到A為事件M，乙選到D為事件N，

2

C43

則甲選到A的概率為PM3；

C55

1

C3

PMNC31

乙選了活動，他再選擇活動的概率為5

ADPNM2

PMC42

3

C5

3

故答案為：；1

52

4．（2023·天津·高考真題，13，5分）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空

箱子中，三個箱子中的球數(shù)之比為5:4:6．且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%．若從每個箱子中各隨

機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球

的概率為．

3

【答案】0.05/0.6

5

【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；

根據(jù)古典概型的概率公式可求出第二個空．

【詳解】設(shè)甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為5n,4n,6n，所以總數(shù)為15n，

所以甲盒中黑球個數(shù)為40%5n2n，白球個數(shù)為3n；

乙盒中黑球個數(shù)為25%4nn，白球個數(shù)為3n；

丙盒中黑球個數(shù)為50%6n3n，白球個數(shù)為3n；

記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件A，所以，

PA0.40.250.50.05；

記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件B，

黑球總共有2nn3n6n個，白球共有9n個，

9n3

所以，PB．

15n5

3

故答案為：0.05；．

5

5．（2007·天津·高考真題，16，15分）已知甲盒內(nèi)有大小相同的3個紅球和4個黑球，乙盒內(nèi)有大小相

同的5個紅球和4個黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球.

(1)求取出的4個球均為紅球的概率；

(2)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率.

516

【答案】(1)(2)

12663

【分析】（1）若“取出的4個球均為紅球”，則從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球均為紅球，結(jié)合獨立事件的

概率乘法公式運算求解；（2）若“取出的4個球中恰有1個紅球”，則有兩種可能：“甲盒內(nèi)任取2個球中有

1個紅球，乙盒內(nèi)任取2個球中沒有紅球”和“甲盒內(nèi)任取2個球中沒有紅球，乙盒內(nèi)任取2個球中有1個紅

球”，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式運算求解.

【詳解】（1）記“從甲盒內(nèi)任取2個球中有ii0,1,2個紅球”為事件Aii0,1,2，“從乙盒內(nèi)任取2個球

中有ii0,1,2個紅球”為事件Bii0,1,2，

i2ii2i

C3C4C5C4

則PAi2,i0,1,2，PBi2,i0,1,2，

C7C9

2020

C3C4C5C4155

故取出的4個球均為紅球的概率PPA2PB222.

C7C9718126

（2）取出的4個球中恰有1個紅球的概率

11020211

C3C4C5C4C3C4C5C421016

PPA1PB0PA0PB12222.

C7C9C7C9216363

6．（2022·天津·高考真題，13，5分）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A

的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為

11

【答案】

22117

【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽

到A的條件下，第二次抽到A的概率.

【詳解】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,

1

43141PBC1

則PBC,P(B),PC|B221.

52512215213PB117

13

11

故答案為：；.

22117

7．（2003·天津·高考真題，16，5分）有三種產(chǎn)品，合格率分別為0.90，0.95和0.95，各抽取一件進行

檢驗．

(1)求恰有一件不合格的概率；

(2)求至少有兩件不合格的概率．（精確到0.001）

【答案】(1)0.176；

(2)0.012.

【分析】(1)根據(jù)題意和獨立事件的概率公式依次計算即可求解；

(2)由(1)，根據(jù)對立事件的概率公式計算即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）由題意知，設(shè)恰好有一件產(chǎn)品不合格的概率為P1，則

P10.90.95(10.95)0.95(10.95)0.95(10.9)0.950.950.176，

所以恰好有一件產(chǎn)品不合格的概率為0.176；

（2）由題意知，設(shè)至少有兩件產(chǎn)品不合格的概率為P2，則

P21P10.900.950.950.012.

所以至少有兩件產(chǎn)品不合格的概率為0.012.

8．（2021·天津·高考真題，13，5分）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一

51

方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活

65

動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為，3次

活動中，甲至少獲勝2次的概率為．

220

【答案】

327

【分析】根據(jù)甲猜對乙沒有猜對可求出一次活動中，甲獲勝的概率；在3次活動中，甲至少獲勝2次分為

甲獲勝2次和3次都獲勝求解.

542

【詳解】由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為；

653

23

則在次活動中，甲至少獲勝次的概率為221220

32C3.

33327

220

故答案為：；.

327

知識1離散型隨機變量

離散型隨機變量

可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量，通常用大寫英文字母表示隨機

變量，用小寫英文字母表示隨機變量的取值.

隨機變量和函數(shù)的關(guān)系

隨機變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點ω相當于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當于函數(shù)

的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集．

離散型隨機變量的分布列

離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各值的概率之和

(1)離散型隨機變量的分布列

一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，

i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱為分布列．

(2)可以用表格來表示X的分布列，如下表

Xx1x2…xi…xn

Pp1p2…pi…pn

還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖．

離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)

(1)pi≥0，i＝1，2，…