2025—2026學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二級(jí)數(shù)學(xué)科試題本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回，試卷考生自己保管.一、單項(xiàng)選擇題：本題共有8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合和集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)值為（）A.1 B. C.0 D.23.下列函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（）A B. C. D.4.直線圓相交于，兩點(diǎn)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件5.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.6.拋物線與余弦型曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.57.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.8.康托（Cantor）是十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)立的集合論奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；……如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使“康托三分集”的各區(qū)間長(zhǎng)度之和小于，則需要操作的次數(shù)的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.5 B.6 C.7 D.8二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.圓和圓的交點(diǎn)為，，則（）A.圓的半徑為2B.兩圓圓心距C.公共弦所在直線的方程為D.公共弦的垂直平分線的方程為10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則（）A.的最小正周期為 B.C.在上單調(diào)遞減 D.在上有6個(gè)零點(diǎn)11.已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，.經(jīng)過(guò)的直線與的左右兩支分別交于，，且為等邊三角形，則（）A.雙曲線的方程為B.的面積為C.以為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓內(nèi)切D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡相應(yīng)橫線上.12已知函數(shù)，則_________.13.若橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距依次成等差數(shù)列，則稱(chēng)其為“等差橢圓”，則“等差橢圓”的離心率為_(kāi)_____．14.如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，若側(cè)面（包含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足（，），則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度是________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.溫馨提示：考生請(qǐng)注意在答題卡規(guī)定區(qū)域內(nèi)用黑色筆作答，超出指定區(qū)域答題不給分.15.數(shù)學(xué)期末考試中有8道單項(xiàng)選擇題，滿分40分，每道題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：答對(duì)得5分，不答或者答錯(cuò)得0分.考生甲每道單項(xiàng)選擇題都選出了一個(gè)答案，能確定其中有5道題的答案是正確的，而其余3題中，有一道題可以排除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，另外兩個(gè)選項(xiàng)選擇的可能性都相等；剩余兩道題都能排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，另外三個(gè)選項(xiàng)選擇的可能性都相等.各道單項(xiàng)選擇題答對(duì)答錯(cuò)彼此互不影響.（1）求甲得滿分40分的概率；（2）判斷甲單項(xiàng)選擇題得多少分的可能性最大，并說(shuō)明理由.16.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和.17.如圖，在三棱錐中，平面，，是的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.（1）證明：平面；（2）若平面，證明：為的中點(diǎn)；（3）若二面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.18.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若且.（1）求角的大??；（2）求的最大面積；（3）如圖，若，點(diǎn)，分別在邊，上，將沿著線段對(duì)折，頂點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求重疊部分的面積.19.已知橢圓（）的短軸長(zhǎng)為，橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離是1，設(shè)過(guò)點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求的方程；（2）若軸，①求證：直線平分.②若點(diǎn)是直線與的交點(diǎn)，證明：.2025—2026學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二級(jí)數(shù)學(xué)科試題本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回，試卷考生自己保管.一、單項(xiàng)選擇題：本題共有8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合和集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再利用交集的概念和運(yùn)算法則計(jì)算求解．【詳解】，函數(shù)的定義域?yàn)?，解得，，y，，即，故A正確．故選：A．2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1 B. C.0 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念，可得答案.【詳解】由題意可得，解得.故選：C.3.下列函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)于，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，不是，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以是奇函?shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故正確；對(duì)于，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋皇?，故錯(cuò)誤.故選：.4.直線圓相交于，兩點(diǎn)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和垂徑定理得到方程，求出，從而得到答案.【詳解】圓心到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，由垂徑定理得，即，解得，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A5.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令和的夾角為，根據(jù)投影向量的定義直接求解即可.【詳解】令和的夾角為，則，則向量在向量上的投影向量為.故選：C6.拋物線與余弦型曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由圖像可知，主要確定和時(shí)，比較拋物線的縱坐標(biāo)和余弦型函數(shù)的最大最小值的大小即可.【詳解】由圖得有1個(gè)交點(diǎn)；在沒(méi)有交點(diǎn)；將代入拋物線得：，，所以在有2個(gè)交點(diǎn)；將代入拋物線得：，，所以在沒(méi)有交點(diǎn).因此共有3個(gè)交點(diǎn).故選：B.7.已知向量，，若，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，及二倍角公式計(jì)算即可.【詳解】易知，所以，則，即.故選：D8.康托（Cantor）是十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)立的集合論奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；……如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使“康托三分集”的各區(qū)間長(zhǎng)度之和小于，則需要操作的次數(shù)的最小值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】先由題設(shè)得到前幾次操作去掉的區(qū)間的長(zhǎng)度，接著歸納出第次操作去掉的區(qū)間的長(zhǎng)度和為，把次操作中去掉的區(qū)間的長(zhǎng)度之和轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，求出前項(xiàng)和，再求解不等式即可．【詳解】第一次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度為；第二次操作去掉兩個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度和為；第三次操作去掉四個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度和為；，第次操作去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度和為，于是進(jìn)行了次操作后，所有去掉的區(qū)間長(zhǎng)度之和為：，由題意知：，即，則，解得又為整數(shù)，可得的最小值為7.故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.圓和圓的交點(diǎn)為，，則（）A.圓的半徑為2B.兩圓圓心距C.公共弦所在直線的方程為D.公共弦的垂直平分線的方程為【答案】BC【解析】【分析】利用圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可求圓心與半徑，可判定A，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式可判定B，利用兩圓位置關(guān)系可計(jì)算公共弦方程判定C，根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性及兩圓圓心坐標(biāo)計(jì)算可判定D.【詳解】由題意可知，，所以?xún)蓤A圓心分別為，圓的半徑為，，故A錯(cuò)誤，B正確；兩圓方程作差得，則公共弦所在直線的方程為，故C正確；由圓的對(duì)稱(chēng)性可知公共弦的垂直平分線為直線,由上易知直線方程為，整理得，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則（）A.的最小正周期為 B.C.在上單調(diào)遞減 D.在上有6個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】先求出的解析式，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的最小正周期，對(duì)應(yīng)值，單調(diào)區(qū)間及零點(diǎn)情況．【詳解】間距為，結(jié)合圖象可知，故，，，，代入點(diǎn)得，，，取，得，，選項(xiàng)A：最小正周期為，故A正確；選項(xiàng)B：，，，故B正確；選項(xiàng)C：的單調(diào)遞減區(qū)間為，解得，當(dāng)時(shí)，遞減區(qū)間為，包含遞增區(qū)間，不滿足單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：的零點(diǎn)滿足，解得，在內(nèi)，時(shí)共6個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選：ABD．11.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，.經(jīng)過(guò)的直線與的左右兩支分別交于，，且為等邊三角形，則（）A.雙曲線的方程為B.的面積為C.以為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓內(nèi)切D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的概念、等邊三角形的性質(zhì)以及余弦定理，求出，根據(jù)焦距求得，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷A；根據(jù)正弦定理三角形面積公式，判斷B；根據(jù)兩圓內(nèi)切時(shí)圓心距離和半徑之間的關(guān)系，判斷C；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出向量坐標(biāo)，進(jìn)而判斷D.【詳解】如圖所示，根據(jù)雙曲線的概念可得，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，兩式相加可得，即，則，即，解得在中，，由余弦定理可知，解得，則，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以A錯(cuò)誤；在中，，，所以，所以B正確；如圖所示，作線段中點(diǎn)，連接，在中，分別為中點(diǎn)，所以，以為直徑的圓圓心為，半徑為，以實(shí)軸為直徑的圓圓心為，半徑為，則，所以?xún)蓤A內(nèi)切，所以C正確；設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，則，可知，即，代入上式得，當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)椋獾?，可知僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)，解得，不妨取，此時(shí)，滿足條件，所以，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡相應(yīng)橫線上.12.已知函數(shù)，則_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式代入求值即可.【詳解】根據(jù)分段函數(shù)解析式，知，，所以.故答案為：.13.若橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距依次成等差數(shù)列，則稱(chēng)其為“等差橢圓”，則“等差橢圓”的離心率為_(kāi)_____．【答案】##0.6【解析】【分析】設(shè)橢圓的半焦距為，利用條件得到，結(jié)合消去，計(jì)算即得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，離心率為，因?yàn)殚L(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距成等差數(shù)列，所以，又，所以，則，兩邊同時(shí)除以，得，解得（舍去）．所以“等差橢圓”的離心率為．故答案為：.14.如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，若側(cè)面（包含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足（，），則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度是________.【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明，得到四點(diǎn)共面，結(jié)合題設(shè)條件和平面平面，可得點(diǎn)的軌跡為線段，求其長(zhǎng)度即可.【詳解】如圖，分別取中點(diǎn)，連接.易得，則四邊形為平行四邊形，.又，可得，則，故，即四點(diǎn)共面.又平面平面，側(cè)面（包含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足（，），由共面向量基本定理可知點(diǎn)既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，故點(diǎn)軌跡即線段，其長(zhǎng)度為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.溫馨提示：考生請(qǐng)注意在答題卡規(guī)定區(qū)域內(nèi)用黑色筆作答，超出指定區(qū)域答題不給分.15.數(shù)學(xué)期末考試中有8道單項(xiàng)選擇題，滿分40分，每道題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：答對(duì)得5分，不答或者答錯(cuò)得0分.考生甲每道單項(xiàng)選擇題都選出了一個(gè)答案，能確定其中有5道題的答案是正確的，而其余3題中，有一道題可以排除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，另外兩個(gè)選項(xiàng)選擇的可能性都相等；剩余兩道題都能排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，另外三個(gè)選項(xiàng)選擇的可能性都相等.各道單項(xiàng)選擇題答對(duì)答錯(cuò)彼此互不影響.（1）求甲得滿分40分的概率；（2）判斷甲單項(xiàng)選擇題得多少分的可能性最大，并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）甲得30分的概率最大，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式求甲得滿分40分的概率，即可得結(jié)果．（2）由甲總得分的取值有25、30、35、40，再應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式及互厷事件加法公式求各對(duì)應(yīng)得分的概率并比較大小，即可得答案．【小問(wèn)1詳解】由題意可知，在其余3道題中，三道題答對(duì)的概率分別為，，，設(shè)表示甲考試總得分，所以甲得40分的概率為.【小問(wèn)2詳解】甲得25分的概率；甲得30分的概率；甲得35分的概率.而甲得40分的概率為，故甲得30分的概率最大.16.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，求解出和，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)和求出其通項(xiàng)公式，再結(jié)合求出的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)的通項(xiàng)公式求出其前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得或，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以，，故；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，，等比?shù)列前項(xiàng)和：；等差數(shù)列前項(xiàng)和：；因此.17.如圖，在三棱錐中，平面，，是的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.（1）證明：平面；（2）若平面，證明：為的中點(diǎn)；（3）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析.（3）【解析】【分析】（1）由平面，證明，結(jié)合等腰三角形中線性質(zhì)和線面垂直的判定定理可得平面.（2）根據(jù)線面平行性質(zhì)定理可證明.（3）首先建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)線面角可求的坐標(biāo)，用空間向量的線面角公式求出直線與平面所成角的正弦值，最后二次函數(shù)解出其最大值.【小問(wèn)1詳解】已知：平面，平面，故，，是中點(diǎn)，故，又，且平面，由線面垂直判定定理，得平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，由線面平行性質(zhì)定理得，在中，是中點(diǎn)，且，由三角形中位線定理，得是中點(diǎn).【小問(wèn)3詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，垂直于平面為軸，如圖：，，，由，因?yàn)?，，所以二面角為，因此，又是的中點(diǎn)，故，設(shè)，，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由(1)知平面，，可取，設(shè)直線與平面所成角為，則，，，，代入得，，令，，，.直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18.