北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊競賽試題(含答案)1.（填空，每空4分，共32分）（1）若實數(shù)x滿足x2－|x|－2=0，則x所有可能值的和為________。（2）已知正整數(shù)a,b滿足a2＋b2＋ab=2024，則a＋b的最小值為________。（3）在平面直角坐標系中，點A(1,2)、B(4,6)，點P在直線y=－x＋7上，則|PA－PB|的最大值為________。（4）若x,y為正實數(shù)且x＋y=1，則(x＋1/x)(y＋1/y)的最小值為________。（5）若整數(shù)n≥2，且n2＋n＋1整除n?＋n2＋1，則所有滿足條件的n之和為________。（6）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，D在BC上，使∠BAD=60°，則∠CAD=________°。（7）若正整數(shù)m使2?－1為完全平方數(shù)，則m所有可能值的乘積為________。（8）設(shè)a,b,c為互不相等的正整數(shù)，且a＋b＋c=abc，則a＋b＋c的最大值為________。2.（選擇，每題5分，共30分）（9）若x2＋y2=1，則x＋y的最大值是A.1??B.√2??C.2??D.不存在（10）已知a,b,c為正數(shù)，且a＋b＋c=3，則(a＋1/a)(b＋1/b)(c＋1/c)的最小值是A.8??B.27??C.64??D.125（11）設(shè)f(n)=n2＋n＋1，則f(1)f(2)…f(20)的末位數(shù)字是A.1??B.3??C.5??D.7（12）在1～100中，恰有3個正約數(shù)的整數(shù)個數(shù)為A.4??B.9??C.10??D.25（13）若x,y,z為正實數(shù)且x＋y＋z=6，則x2y＋y2z＋z2x的最大值為A.36??B.48??C.54??D.64（14）若整數(shù)a,b滿足a2＋b2=2025，則|a|＋|b|的最大值為A.45??B.63??C.75??D.903.（計算與證明，共38分）（15）（12分）已知x,y,z為正實數(shù)，且x＋y＋z=1，求證：(x＋1/x)(y＋1/y)(z＋1/z)≥(10/3)3，并指出等號成立條件。（16）（14分）設(shè)數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=a?＋1/(a?＋a?＋…＋a?)，求a????的整數(shù)部分。（17）（12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，以BC為邊向外作正△BCD，連接AD，求∠ADB。4.（綜合應(yīng)用，共50分）（18）（16分）某城市修建一條環(huán)形跑道，全長400m。甲、乙兩人同時從同一點出發(fā)，同向而行，甲速為vm/s，乙速為(v－1)m/s。若甲第一次追上乙時恰跑了整數(shù)圈，求v所有可能值的和。（19）（17分）設(shè)P為正整數(shù)，若P2＋1與(P＋1)2＋1的最大公約數(shù)大于1，求最小的這樣的P。（20）（17分）在平面直角坐標系中，給定拋物線y=x2與直線y=mx＋b，若它們交于A,B兩點，且△OAB的面積為定值S=6，求m,b滿足的關(guān)系，并求|m|的最小值?！敬鸢概c解析】1.（1）提示：分x≥0與x<0討論，得x=2或x=－1，和為1。（2）提示：配方得(a＋b)2－ab=2024，令s=a＋b，則ab=s2－2024，由ab≤(s/2)2解得s≥46，最小46。（3）提示：作A關(guān)于直線對稱點A′，則|PA－PB|≤A′B=5。（4）提示：令x=sin2θ，化簡得最小值25/4。（5）提示：n?＋n2＋1=(n2＋n＋1)(n2－n＋1)，故恒成立，n≥2，和為2＋3＋…＋20=209。（6）提示：作正△ABE，E在AC延長線上，得∠CAD=80°。（7）提示：2?－1=k2，m=1,2,3均驗，僅m=1,3滿足，乘積3。（8）提示：不妨設(shè)a<b<c，則abc=a＋b＋c<3c，得ab<3，枚舉得最大和為6。2.（9）B?（10）C?（11）A?（12）B?（13）C?（14）B解析略。3.（15）證：令f(t)=t＋1/t，下凸，由Jensen不等式及x＋y＋z=1得積≥(10/3)3，當x=y=z=1/3取等。（16）提示：記S?=∑??a?，則a???=a?＋1/S?，得S???=S?＋a?＋1/S?，遞推得S?≈√(2n)，故a????≈√(2·2024)－√(2·2023)≈0.499，整數(shù)部分0。（17）提示：旋轉(zhuǎn)△ABD使AB與AC重合，得等腰△AD′D，頂角20°，底角80°，故∠ADB=80°。4.（18）提示：相對速度1m/s，追上時間400ks，甲跑vk圈，則vk=v·400k/400=vk，需vk為整數(shù)，k=1,2,…,v?1，和為∑_{v=2}^{400}(v?1)=79800。（19）提示：gcd(P2＋1,(P＋1)2＋1)=gcd(P2＋1,2P＋1)=gcd(2P＋1,5)，故5|2P＋1，最小P=2。（20）提示：聯(lián)立得x2?mx?b=0，設(shè)根x?,x?，則S=|x??x?|·|mx?+b|/2=6，化簡得(b＋m2/4)