第一章空間向量與立體幾何1.1.2空間向量的數(shù)量積

一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握空間向量的夾角的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．3.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．4.能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長(zhǎng)度等問題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算.難點(diǎn)：利用空間向量解決夾角、距離等問題．

三、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境1.空間中共線向量的定理是什么？對(duì)任意兩個(gè)空間向量a與b，的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a=2.共面向量基本定理是什么？對(duì)空間任意兩個(gè)不共線的向量a，b，向量p與向量a，b共面充要條件是存在唯一的有序數(shù)對(duì)(x,y3.四點(diǎn)共面的充要條件是什么？P與A，B，C共面，OP=xOA+y我們知道平面向量及其線性運(yùn)算可以推廣到空間向量及其線性運(yùn)算，那么空間向量的數(shù)量積是否也可以類比平面向量得出呢？想一想：回憶平面向量的知識(shí)，我們當(dāng)時(shí)是如何研究它的數(shù)量積運(yùn)算？在平面向量中，先研究夾角的定義，數(shù)量積的定義、運(yùn)算律，最后數(shù)量積的應(yīng)用.我們是不是也可以按照此思路來研究空間向量的數(shù)量積呢？師生活動(dòng)：教師提出問題，讓學(xué)生思考回答，引導(dǎo)學(xué)生類比研究平面向量數(shù)量積的思路思考空間向量的數(shù)量積.設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)空間向量的基本定理，類比平面向量的線性運(yùn)算，自然引申出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)——空間向量的數(shù)量積運(yùn)算.（二）探究新知任務(wù)1：空間向量的數(shù)量積.探究：空間任意兩個(gè)向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，思考平面中的兩個(gè)向量a，b，它們的夾角是如何定義的？范圍呢？師生活動(dòng)：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報(bào)展示.已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，則∠AOB叫做向量a，規(guī)定：0≤a,b≤這樣，兩個(gè)向量的夾角是唯一確定的，且a,思考:當(dāng)兩個(gè)向量平行或垂直時(shí)，它們的夾角是多少？（1）當(dāng)a,b=0時(shí)，a與b同向，a（2）當(dāng)a,b=π時(shí)，a與b反向，（3）當(dāng)a,b=π2設(shè)計(jì)意圖：通過類比平面向量的夾角定義，得到空間兩向量的夾角公式，讓學(xué)生更加深刻、形象地掌握空間向量夾角的定義，同時(shí)也潛意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).探究：空間中，兩個(gè)非零向量a，b，它們的數(shù)量積a師生活動(dòng)：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報(bào)展示.已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為a,b，我們把數(shù)量|a||b|即a規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0注意：數(shù)量積運(yùn)算中間是“·”，不能寫成“×”，也不能省略不寫.思考：根據(jù)空間向量數(shù)量積a?設(shè)兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為a,b，由向量數(shù)量積定義a①a⊥b②a2=a?③cosa設(shè)計(jì)意圖：通過類比平面向量，得到空間兩向量的數(shù)量積定義及性質(zhì)，讓學(xué)生更加深刻、形象地掌握空間向量的數(shù)量積定義及性質(zhì)，同時(shí)也潛意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).任務(wù)2：空間向量的投影思考：在平面向量的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了向量的投影，類似地，在空間中，向量a向向量b的投影有什么意義？師生活動(dòng)：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報(bào).如圖，在空間，向量a向向量b的投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，且c向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.追問：向量a向直線l的投影呢？類似地，如圖，在空間，向量a向直線l的投影，由于向量a是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與直線l共線的向量c，且c=acosa,b?向量c稱為向量a在直線l的投影.追問：向量a向平面β的投影呢？向量a向平面β的投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A'，B'，得到向量A'B'，向量A'B'稱為向量a在平面β這時(shí)，向量a，A'B'的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角.設(shè)計(jì)意圖：通過圖形的輔助講解空間向量的投影向量，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象生動(dòng)、易于理解，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.任務(wù)3：空間向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律思考：類比平面向量，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律是怎樣的呢？師生活動(dòng)：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報(bào).對(duì)于空間向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ交換律：a?結(jié)合律：λa分配律：(a向量的數(shù)量積運(yùn)算類似于多項(xiàng)式運(yùn)算，平方差公式、完全平方公式均成立.完全平方公式：a±平方差公式：a+任務(wù)4：空間向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法思考1：對(duì)于三個(gè)均不為0的數(shù)a，b，c，若ab=ac，則b=c.對(duì)于向量a，b，c，由答：不能；a⊥b?a⊥c?a?但b思考2：對(duì)于三個(gè)均不為0的數(shù)a，b，c，若ab=c，則a=cb(或b=ca).對(duì)于向量a，b，若a?答：不能，向量沒有除法運(yùn)算，向量的除法沒有意義.思考3：對(duì)于三個(gè)均不為0的數(shù)a，b，c，有(ab)c=a(bc).對(duì)于向量a，b，c，(a?b)c=a答：數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算只滿足交換律，分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不滿足乘法結(jié)合律，即(a?b)c不一定等于a(b?c)設(shè)計(jì)意圖：通過類比平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，學(xué)習(xí)與認(rèn)識(shí)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，讓學(xué)生更加深刻、形象地掌握空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及與數(shù)的乘法，同時(shí)也潛意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)．（三）應(yīng)用舉例例1如圖，在平行六面體ABCD?A'B'C'D'中，AB=5，求：(1)AB?(2)AC'的長(zhǎng)(精確到0.1)分析：(1)根據(jù)a(2)利用a2解：(1)∵AB=5，AD=3∴AB(2)∵AC'==∴AC'=【總結(jié)】利用空間向量求線段的長(zhǎng)度或兩點(diǎn)的距離：(1)結(jié)合圖形將所求線段用向量表示；(2)用已知模和夾角的向量表示該向量；(3)利用a2例2如圖m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線，直線l與α的交點(diǎn)為B，且l⊥m，l⊥n，求證：l⊥α.分析：要證明l⊥α，就是要證明l垂直于α內(nèi)的任意內(nèi)的任意一條直線g(直線與平面垂直的定義).如果我們能在g和m，n之間建立某種聯(lián)系，并由l⊥m，l⊥n，得到l⊥g，證明：在平面α內(nèi)作任意一條直線g，分別在直線l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.因?yàn)橹本€m與n相交，所以向量m，n不平行.由向量共面的充要條件可知，存在唯一的有序買數(shù)對(duì)(x,y)，使g=將上式兩邊分別與向量l作數(shù)量積運(yùn)算，得l·g=xl·因?yàn)閘·m=0，l·n=0這就證明了直線l垂直于平面α內(nèi)的任意一條直線，所以l⊥α.【總結(jié)】利用數(shù)量積證明垂直問題：(1)將所證明垂直的線段設(shè)為向量；(2)用已知向量表示未知向量；(3)利用數(shù)量積運(yùn)算完成判定．例3如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=(1)用向量AB，AD，AA1表示向量B(2)求cosB分析：(1)根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，得到BD1(2)由空間向量的運(yùn)算法則，得到AC=AB解：(1)根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，可得BD1可得B=1+4+1+2×1×2×12所以BD1(2)由空間向量的運(yùn)算法則，可得AC=AB因?yàn)锳B=AD=1，A所以B==1×1×cosπ2|AC則cos【總結(jié)】利用數(shù)量積求夾角的余弦值：(1)取向量：根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量；(2)角轉(zhuǎn)化：把異面直線夾角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題；(3)求余弦值：利用數(shù)量積求余弦值或角的大??；(4)定結(jié)果：異面直線的夾角為銳角或直角，利用向量的夾角求余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，繼而求角的大小.設(shè)計(jì)意圖：通過例題，熟悉利用空間向量的數(shù)量積解決求向量的夾角、線段的長(zhǎng)度和垂直等問題，并強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．（四）課堂練習(xí)1.在空間四邊形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°，AC=2BD，則A.12AC B.14AC解：在空間四邊形ABCD中，因?yàn)椤螦BD=∠BDC=設(shè)AC=2，BD則AC則AC所以BD在AC上的投影向量為故選B．2.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，A.1 B.2 C.3 D.4解：

因?yàn)锳BCD?A所以A1又∠A1所以A1A·所以A=4+4+4?4?4?0=4，所以|A故選B．3.由四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體組合成的正四棱柱ABCD?A1B1C1D1(如圖所示)，點(diǎn)PA.1 B.2 C.3 D.4解：如圖，易知

AD1=由四棱柱的性質(zhì)得，AD·所以A=AD=1故選：C4.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1(1)求A1C(2)求證：A1C⊥BD解：(1)設(shè)AB=a，AD=b，AA1=所以a2=b2=c2(2)證明：由(1)可知BD=b?a，所以5.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為A1C1與(1)用a，?b(2)求對(duì)角線AC(3)求cos?解：(1)連接A1B，AC，∵AB=a，在△A1AB∵底面ABCD是