吉林省長春市一五0中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.2．函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值等于（）A.2 B.3C.5 D.63．如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是面對角線與的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.4．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為（）A.1 B.C. D.5．已知直線：和直線：，拋物線上一動點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值是（）A. B.C. D.6．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.7．《米老鼠和唐老鴨》這部動畫給我們的童年帶來了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個圓構(gòu)成米奇的簡筆畫形象.已知3個圓方程分別為：圓圓，圓若過原點(diǎn)的直線與圓、均相切，則截圓所得的弦長為（）A B.C. D.8．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對任意，C.對任意， D.對任意，9．已知點(diǎn)，，直線：與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.10．若，則（）A B.C. D.11．方程化簡的結(jié)果是（）A. B.C. D.12．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個數(shù)為（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），_________14．已知，，則___________.15．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則______16．將一枚質(zhì)地均勻的骰子，先后拋擲次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為的概率是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓）過點(diǎn)A（0，），且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上異于A的兩點(diǎn)，且滿足，試判斷直線MN是否過定點(diǎn)，并說明理由18．（12分）從①，②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并作答：已知等差數(shù)列公差大于零，且前n項和為，，______，，求數(shù)列的前n項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，那么按照第一個解答計分）19．（12分）已知點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，且（1）求圓Q的方程；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O任作一直線交圓Q于C，D兩點(diǎn)，求證：為定值20．（12分）已知橢圓C：的長軸長為4，離心率e是方程的一根（1）求橢圓C的方程；（2）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)，已知直線l與橢圓C相交于點(diǎn)A，B，求面積的最大值21．（12分）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重疾病．而今年出現(xiàn)的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株．人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等．在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡．應(yīng)國務(wù)院要求，黑龍江某醫(yī)院選派醫(yī)生參加援鄂醫(yī)療，該院呼吸內(nèi)科有3名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，其中李亮（男）為科室主任；該院病毒感染科有2名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生，其中張雅（女）為科室主任，現(xiàn)在院方?jīng)Q定從兩科室中共選4人參加援鄂醫(yī)療（最后結(jié)果用數(shù)字表達(dá)）（1）若至多有1名主任參加，有多少種派法？（2）若呼吸內(nèi)科至少2名醫(yī)生參加，有多少種派法？（3）若至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加，有多少種派法？22．（10分）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，.（1）求B的大?。?）若，，求b.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】依題意，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A2、B【解析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，得到在[1，+∞）上，恒成立，從而解得a≤3，故a的最大值為3【詳解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)∴在[1，+∞）上恒成立即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）時，3x2≥3恒成立，∴a≤3，∴a的最大值是3故選：B3、D【解析】由空間向量運(yùn)算法則得,利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，分別是面對角線與的中點(diǎn)，，，，所以故選:D.4、A【解析】設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為，根據(jù)等體積法求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫鍭BC，所以,因?yàn)?，，所以又，，所?所以,設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為，則,即,，故選：A5、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，可得點(diǎn)P到直線和直線的距離之和，當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，最小，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解【詳解】∵拋物線，∴拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離PA等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離PF，即，∴點(diǎn)P到直線和直線的距離之和，∴當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時，最小，∵，∴，∴點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值為故選：A6、B【解析】這是中點(diǎn)弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關(guān)系.【詳解】如圖：依題意，假設(shè)斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，OP的斜率為，即，化簡得：，，，；故選：B.7、A【解析】設(shè)直線，利用直線與圓相切，求得斜率，再利用弦長公式求弦長【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線.由直線與圓、圓均相切，得解得(1).設(shè)點(diǎn)到直線的距離為則(2).又圓的半徑直線截圓所得弦長結(jié)合(1)(2)兩式，解得8、D【解析】根據(jù)特稱命題否定的方法求解，改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對任意，”.故選：D.9、A【解析】由可求出直線過定點(diǎn)，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點(diǎn)，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選：A.10、D【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【詳解】因?yàn)椋?，故選：D11、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進(jìn)而得到焦點(diǎn)和長軸長求解.【詳解】∵方程，表示平面內(nèi)到定點(diǎn)、的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡的結(jié)果故選：D12、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式計算后即可判斷【詳解】解：①，故錯誤；②，故正確；③，故錯誤；④，故錯誤.所以求導(dǎo)運(yùn)算正確的個數(shù)為1.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)拋物線焦半徑公式，所以.故答案為：3.14、5【解析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故答案為：15、－1【解析】由已知及等差數(shù)列通項公式、前n項和公式，列方程求基本量即可.【詳解】若公差為，則，可得.故答案為：.16、【解析】將向上的點(diǎn)數(shù)記作，先計算出所有的基本事件數(shù)，并列舉出事件“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】將骰子先后拋擲次，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作，則基本事件數(shù)為，向上的點(diǎn)數(shù)之和為這一事件記為，則事件所包含的基本事件有：、、，共個基本事件，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用古典概型的概率公式計算概率，解題時一般要列舉出相應(yīng)的基本事件，遵循不重不漏的基本原則，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）直線過定點(diǎn)；理由見解析【解析】（1）根據(jù)題意可求得，進(jìn)而求得橢圓方程；（2）考慮直線斜率是否存在，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后利用，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入化簡得到，結(jié)合直線方程,化簡可得結(jié)論.【小問1詳解】依題意，，所以，故橢圓方程為：【小問2詳解】當(dāng)直線MN的斜率不存在時，設(shè)M（），N（，），則，,此時M，N重合，不符合題意；當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)MN的方程為：，M（，），N（），與橢圓方程聯(lián)立可得：，即，∴，即，∴，∴，∴，當(dāng)時，,直線MN：，即，令，則，∴直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓相交時過定點(diǎn)的問題，解答時要注意解題思路的順暢，解答的難點(diǎn)在于運(yùn)算量較大且復(fù)雜，需要十分細(xì)心.18、；【解析】將條件①②③轉(zhuǎn)化為的形式，列方程組，并求解，寫出的通項公式，從而表示出，利用裂項相消法求和.【詳解】選①：設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以選②：設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以選③：設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心到直線的距離公式及的值求出半徑即可求得圓的方程.（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立圓和直線方程利用韋達(dá)定理來求解.【小問1詳解】解：點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)Q為由Q到直線的距離，所以所以圓的方程為【小問2詳解】當(dāng)直線CD斜率不存在時，，所以.當(dāng)直線CD斜率存在時，設(shè)為k，則直線為，記，聯(lián)立，得所以，綜上，為定值520、（1）；（2）.【解析】（1）待定系數(shù)法求橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，，，用“設(shè)而不求法”表示出三角形OAB的面積.令轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，利用函數(shù)求最值.【詳解】（1）依題意得：，∴.方程的根為或.∵橢圓的離心率，∴，∴∴∴橢圓方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，由，得，則，點(diǎn)到直線的距離為，.令，則..∵在單調(diào)遞增，∴時.有最小值3.此時有最大值.∴面積的最大值為.21、（1）105種（2）105種（3）87種【解析】（1）至多有1名主任參加，包括兩種情況：一種是無主任參加，另一種是只有1名主任參加，利用分類計數(shù)原理可得結(jié)果；（2）呼吸內(nèi)科至少2名醫(yī)生參加，分三種情況：第一種是呼吸內(nèi)科2名醫(yī)生參加，第二種呼吸內(nèi)科3名醫(yī)生參加，第三種呼吸內(nèi)科4名醫(yī)生參加，然后利用分類計數(shù)原理可得結(jié)果；（3）由于張雅既是主任，也是女醫(yī)生．屬于特殊元素，優(yōu)先考慮，分有張雅和無張雅兩種情況求解即可.【詳解】（1）直接法：若無主任，若只有1名主任，共105種，間接法：（2）直接法：，間接法：（3