2026屆安徽省合肥一中、安慶一中等六校教育研究會數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開口越小 B.越小，雙曲線開口越大C.越大，雙曲線開口越大 D.越小，雙曲線開口越大2．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意，都有成立，若，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C D.3．在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）4．對任意實(shí)數(shù)，在以下命題中，正確的個數(shù)有（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A. B.C. D.5．曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（）A. B.C. D.16．考試停課復(fù)習(xí)期間，小王同學(xué)計(jì)劃將一天中的7節(jié)課全部用來復(fù)習(xí)4門不同的考試科目，每門科目復(fù)習(xí)1或2節(jié)課，則不同的復(fù)習(xí)安排方法有（）種A.360 B.630C.2520 D.151207．已知橢圓的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（）A. B.C. D.8．若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.29．甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個氫原子之間的距離（H-H鍵長）相等，碳原子到四個氫原子的距離（C-H鍵長）均相等，任意兩個H-C-H鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為（）A. B.C. D.10．過拋物線C：的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若在軸上存在定點(diǎn)，使得恒成立，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.11．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點(diǎn)在棱上，且，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.12．在的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，則含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A.-20 B.-15C.-6 D.15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線與曲線有相同的切線，則________14．已知點(diǎn)，，，則外接圓的圓心坐標(biāo)為________15．年月我國成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，這顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心（地球的中心）為一個焦點(diǎn)的橢圓.已知衛(wèi)星的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）距地面的高度約為，遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面的高度約為，且地心、近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為，則衛(wèi)星運(yùn)行軌道是上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為___________16．某次國際會議為了搞好對外宣傳工作，會務(wù)組選聘了50名記者擔(dān)任對外翻譯工作，在如表“性別與會外語”的列聯(lián)表中，______.會外語不會外語合計(jì)男ab20女6d合計(jì)1850三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA?PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．求證：（1）EF//平面PCD；（2）平面PAB?平面PCD18．（12分）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩中隱含著一個有趣的“將軍飲馬”問題，這是一個數(shù)學(xué)問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即為回到軍營.軍營所在區(qū)域可表示為.（1）求“將軍飲馬”的最短總路程；（2）因軍情緊急，將軍來不及飲馬，直接從A點(diǎn)沿傾斜角為45°的直線路徑火速回營，已知回營路徑與軍營邊界的交點(diǎn)為M，N，軍營中心與M，N連線的斜率分別為，，試求的值.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）已知橢圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，且橢圓C過點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點(diǎn)A，B，且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由21．（12分）已知圓，直線過定點(diǎn).（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于兩點(diǎn)，且，求此時直線的方程.22．（10分）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為5.（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且N為線段的中點(diǎn)，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結(jié)合離心率對雙曲線開口大小的影響即可得解.【詳解】解：對于A，越大，雙曲線開口越大，故A錯誤；對于B，越小，雙曲線開口越小，故B錯誤；對于C，由，越大，則越大，雙曲線開口越大，故C正確；對于D，越小，則越小，雙曲線開口越小，故D錯誤.故選：C.2、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】對任意，都有成立，即令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增不等式即，即因?yàn)?，所以所以，，解得，所以不等式的解集為故選：C.3、C【解析】利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量坐標(biāo)，即可求解.【詳解】設(shè)，，，所以，，，解得：，，，即.故選：C4、B【解析】直接利用不等式的基本性質(zhì)判斷.【詳解】①因?yàn)?，則，根據(jù)不等式性質(zhì)得，故正確；②當(dāng)時，，而，故錯誤；③因?yàn)?，所以，即，故正確；④當(dāng)時，，故錯誤；故選：B5、B【解析】先求與平行且與相切的切線切點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得結(jié)果.【詳解】設(shè)與平行的直線與相切，則切線斜率k=1，∵∴，由，得當(dāng)時,即切點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,0)，則點(diǎn)(1,0)到直線的距離就是線上的點(diǎn)到直線的最短距離，∴點(diǎn)(1,0)到直線的距離為：，∴曲線上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為.故選：B6、C【解析】，先安排復(fù)習(xí)節(jié)的科目，然后安排其余科目，由此計(jì)算出不同的復(fù)習(xí)安排方法數(shù).【詳解】第步，門科目選門，安排節(jié)課，方法數(shù)有種，第步，安排其余科目，每門科目節(jié)課，方法數(shù)有種，所以不同的復(fù)習(xí)安排方法有種.故選：C7、B【解析】根據(jù)題意得到得到答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，故.故選：B.8、A【解析】先求出漸近線方程，進(jìn)而將點(diǎn)代入直線方程得到a,b關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，而一條漸近線過點(diǎn)，則，.故選：A.9、A【解析】利用余弦定理求得，計(jì)算出正四面體的高，從而計(jì)算出正四面體的體積.【詳解】設(shè)，則由余弦定理知：，解得，故該正四面體的棱長均為由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑，高故該正四面體的體積為故選：A10、D【解析】設(shè)切點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立直線的方程和拋物線C的準(zhǔn)線方程可得，將問題轉(zhuǎn)化為對任意點(diǎn)恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設(shè)切點(diǎn)，點(diǎn)由題意，拋物線C的準(zhǔn)線，且由，得，則直線的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對任意點(diǎn)恒成立，也就是對任意點(diǎn)恒成立因?yàn)椋?，則，即對任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，即，所以，故選：D【點(diǎn)睛】一般表示拋物線的切線方程時可將拋物線方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，再代入計(jì)算.11、C【解析】取AC的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M作，且使得，進(jìn)而證明平面，然后判斷出是與平面所成的角，最后求出答案.【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)M，因?yàn)椋瑒t，過點(diǎn)M作，且使得，則四邊形BDNM是平行四邊形，所以.由題意，平面ABC，則平面ABC，而平面ABC，所以，又，所以平面，而所以平面，連接DA,NA，則是與平面所成的角.而，于是，.故選：.12、C【解析】先由只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求出n=6；再由展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，用賦值法求出,用通項(xiàng)公式求出的項(xiàng)的系數(shù).【詳解】∵在的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴在的展開式有7項(xiàng)，即n=6；而展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，令x=1，代入，即，所以.∴是展開式的通項(xiàng)公式為：，要求含的項(xiàng)，只需，解得，所以系數(shù)為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】設(shè)切點(diǎn)分別為，．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，則．由，，計(jì)算可得，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)代入方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)切點(diǎn)分別為，由題意可得，則，即因?yàn)?，，所以，即，解得，所以，則，解得故答案為：014、【解析】求得的垂直平分線的方程，在求得垂直平分線的交點(diǎn)，則問題得解.【詳解】線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段斜率為，所以線段垂直平分線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即.由.所以外接圓的圓心坐標(biāo)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的求解，直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.15、【解析】根據(jù)題意由a-c=439+6371，a+c=2384+6371，求得2a即可.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為a，半焦距為c，由題意得：a-c=439+6371，a+c=2384+6371,兩式相加得：2a=15565，因?yàn)闄E圓上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為長軸長2a,所以衛(wèi)星運(yùn)行軌道是上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為，故答案為：1556516、24【解析】根據(jù)題意列方程組求解即可【詳解】由題意得所以，，.故答案為：24三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）取BC中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，推導(dǎo)出，，從而平面平面，由此能得出結(jié)論；（2）推導(dǎo)出，從而平面PAD，即得，結(jié)合得出平面PCD，由此能證明結(jié)論成立.【詳解】（1）取BC中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，∵E，F(xiàn)分別是AD，PB的中點(diǎn)，∴，，∴面，面，∵，∴平面平面，∵平面，∴平面.（2）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD因?yàn)槠矫鍼AD，所以.又因?yàn)?，，所以平面PCD因?yàn)槠矫鍼AB，所以平面平面PCD【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直、線面平行、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意作出圖形，然后求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圓的性質(zhì)求出到圓上的點(diǎn)的最短距離即可；（2）將直線方程代入圓的方程并化簡，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理求得答案.【小問1詳解】若軍營所在區(qū)域?yàn)椋瑘A：的圓心為原點(diǎn)，半徑為，作圖如下：設(shè)將軍飲馬點(diǎn)為，到達(dá)營區(qū)點(diǎn)為，設(shè)為A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)為，則，又，聯(lián)立解得：，即，所以總路程，要使得總路程最短，只需要最短，即點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離，即為.【小問2詳解】過點(diǎn)A傾斜角為45°的直線方程為：，設(shè)兩個交點(diǎn)，聯(lián)立，消去y得.由韋達(dá)定理，，.19、（1）極大值；極小值（2）【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)來求得的極大值和極小值.（2）由不等式分離常數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，，令，可得或2所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.故當(dāng)時．函數(shù)有極大值，故當(dāng)時，函數(shù)有極小值；【小問2詳解】由，有，可化為，令，有，令，有，令，可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，有，可知，有函數(shù)為減函數(shù)，有，故當(dāng)時，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【點(diǎn)睛】求解不等式恒成立問題，可利用分離常數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值來求解.在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的過程中，如果一階導(dǎo)數(shù)無法解決，可考慮利用二階導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解.20、（1）；（2）存在，.【解析】(1)與焦點(diǎn)相同可求出c，將代入方程結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求a和b；(2)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立AB方程與橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系；由得，結(jié)合韋達(dá)定理得k與m的關(guān)系；再由圓與直線相切，即可求其半徑；最后再驗(yàn)證AB斜率不存在時的情況即可.【小問1詳解】，由題可知，解得點(diǎn)，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)，設(shè)，代入，整理得，由得，即，由韋達(dá)定理化簡得，即，設(shè)存在圓與直線相切，則，解得，所以圓的方程為，又若軸時，檢驗(yàn)知滿足條件，故存在圓心在原點(diǎn)的圓符合題意21、（1）或；（2）或.【解析】（1）由圓的方程可得圓心和半徑，當(dāng)直線斜率不存在時，知與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得，由此可得方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，知與圓相切，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，利用垂徑定理可構(gòu)造方程求得，由此可得方程.【小問1詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；當(dāng)直線斜率不存在，即時，與圓相切