第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年上海市普陀區(qū)曹楊二中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋物線x2=8y的準(zhǔn)線方程為(

)A.y=?1 B.y=?2 C.x=?1 D.x=?22.設(shè)f(x)=3x，則limh→0A.?13 B.0 C.133.設(shè)Ω為平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)集，從Ω中的任意一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為M，N，記點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的最大值與最小值之差為x(Ω)，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的最大值與最小值之差為y(Ω).若Ω是邊長為1的正方形，給出下列三個(gè)結(jié)論：

①x(Ω)的最大值為2；

②x(Ω)+y(Ω)的取值范圍是[2,22]；

③x(Ω)?y(Ω)恒等于0．

A.① B.②③ C.①② D.①②③4.已知{an}是嚴(yán)格增數(shù)列，且滿足：對任意正整數(shù)t，數(shù)列{an}中不大于t的項(xiàng)的個(gè)數(shù)恰為2t.若存在正整數(shù)n，使得i=1A.13 B.14 C.15 D.16二、填空題：本題共12小題，共54分。5.函數(shù)y=x2?1的駐點(diǎn)是

6.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+17.某質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，位移y(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系y=(2t+1)2，則該質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度為

m/s．8.若θ是函數(shù)f(x)=3sinx+2cosx的極值點(diǎn)，則tanθ=

．9.設(shè){an}為等差數(shù)列，若a2+a410.圓錐SO的底面圓半徑OA=1，側(cè)面的平面展開圖的面積為2π.則此圓錐的體積為

．11.已知直線l1：mx+y?1=0，l2：(m+2)x+my?2=0，若l1與l2平行，則實(shí)數(shù)m的值為

12.已知{an}為無窮等比數(shù)列.若a2=?4,i=1+∞a13.設(shè)k∈R，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=kn?n2.若{14.設(shè)a>0，已知A(?a,0)、B(a,0).若對圓(x?4)2+(y?3)2=1上任意一點(diǎn)M，∠AMB均為銳角，則a15.已知k為常數(shù)，若關(guān)于x的不等式(x?k)2exk≤1e對任意的x∈(0,+∞)都成立，則實(shí)數(shù)16.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線Γ：x2a2?y21?a2=1(0<a<1)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若在Γ三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

設(shè)f(x)=x2?7x+3lnx．

(1)求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；

(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[18.(本小題15分)

設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列.已知a1=1，且a1，a2，a6成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{bn19.(本小題15分)

如圖，三棱柱ABC?A1B1C1的底面是等邊三角形，側(cè)面BCC1B1是菱形，且∠B1BC=60°.已知M為棱AA1的中點(diǎn)，平面BCC1B1⊥平面ABC．20.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Γ：x2a2+y22=1(a>2)，過點(diǎn)A(1,0)的直線l與Γ交于P、Q兩點(diǎn)．

(1)若Γ的右焦點(diǎn)為F(2,0)，求Γ的離心率；

(2)若Q為Γ的下頂點(diǎn)，且△OAQ的面積是△OAP的面積的兩倍，求a的值；

(3)設(shè)a=2，直線l不與坐標(biāo)軸垂直.設(shè)T是x軸負(fù)半軸上的定點(diǎn)，記直線TP、TQ21.(本小題17分)

已知y=f(x)是定義在R上的函數(shù)，集合Mf={(k,b)|對任意給定的x∈R，都有f(x)≥kx+b}.當(dāng)(k,b)∈Mf時(shí)，若函數(shù)y=f(x)?(kx+b)存在最小值m，則稱m為直線l：y=kx+b的“f?距離”．

(1)設(shè)f(x)=cosx，直接寫出相應(yīng)的集合Mf；

(2)設(shè)f(x)=ex，證明：“b≤0”是“存在實(shí)數(shù)k，使得l：y=kx+b的f?距離不小于1”的充要條件；

(3)設(shè)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)在(?∞,+∞)上嚴(yán)格增.若對任意(k,b)∈Mf，均有(?k,b)∈Mf，且直線l1：y=kx+b參考答案1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】0

6.【答案】2

7.【答案】12

8.【答案】329.【答案】4

10.【答案】311.【答案】?1

12.【答案】?113.【答案】(?∞,3)

14.【答案】{a|0<a<4}

15.【答案】[?116.【答案】12或2?217.解：(1)函數(shù)f(x)定義域?yàn)?0,+∞)，f′(x)=2x?7+3x，

f′(1)=?2，f(1)=?6，

∴曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為：y?(?6)=?2(x?1)，

即y=?2x?4；

(2)f′(x)=2x?7+3x=2x2?7x+3x=(2x?1)(x?3)x，

令f′(x)=0，解得x=12或x=3，

∴當(dāng)15≤x<12時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在[15,12)上單調(diào)遞增，

當(dāng)12≤x≤3時(shí)，f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在[12,3]上單調(diào)遞減，

當(dāng)3<x≤5時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(3,5]上單調(diào)遞增，

∴f(x)極大=f(12)=14?72+3ln12=?134?3ln2，

f(5)=25?35+3ln5=?10+3ln5，

∵?134?3ln2<?10+3ln5，

∴函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[15,5]上的最大值為?10+3ln5．

18.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，

因?yàn)閍1=1，且a1，a2，a6成等比數(shù)列，所以a22=a1a6，

所以(a1+d)2=a1(a1+5d)，即(1+d)2=1×(1+5d)，

整理得19.解；(1)證明：在三棱柱ABC?A1B1C1中，分別延長B1M，BA，交于點(diǎn)E，連接CE，

如圖所示，則CE即為平面ABC與平面B1CM的交線l，

因?yàn)镸為棱AA1的中點(diǎn)，AA1/?/BB1，所以A是BE的中點(diǎn)，

又在正△ABC中，AB=AC，所以AC=12BE，所以CE⊥BC，

取BC中點(diǎn)O，連接OB1，

因?yàn)閭?cè)面BCC1B1是菱形，且∠B1BC=60°，

所以△BCB1為正三角形，所以O(shè)B1⊥BC，

又平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC=BC，OB1?平面BCC1B1，

所以O(shè)B1⊥平面ABC．

因?yàn)镋C?平面ABC，所以O(shè)B1⊥EC．

因?yàn)镺B1∩BC=O，OB1，BC?平面BCC1B1，

所以EC⊥平面BCC1B1，

即l⊥平面BCC1B1．

(2)取B1C1的中點(diǎn)G，則易知GC⊥BC，由(1)知EC⊥平面BCC1B1，

所以CB，CE，CG兩兩垂直，

分別以CB，CE，CG所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)BC=2，因?yàn)閭?cè)面B20.解：(1)由題可得c=2，所以a=b2+c2=2+4=6，

所以e=ca=26=63；

(2)由題可得Q(0,?2)，又A(1,0)，如圖，

則S△OAQ=12×1×|?2|=22，又△OAQ的面積是△OAP的面積的兩倍，

所以△OAP的面積為24，

即S△OAP=12×1×|yP|=24，所以|yP|=22，

所以直線l：x1?y2=1，即y=2(x?1)，

與橢圓方程x2a2+y22=1聯(lián)立消元y得(1a2+1)x2?2x=0，

解得x=0(點(diǎn)Q橫坐標(biāo))或x=2a2a221.解：(1)因?yàn)閒(x)=cosx，則f(x)∈[?1,1]，

若k>0，由kx+b>1可得x>1?bk，可知當(dāng)x>1?bk時(shí)，f(x)<kx+b，不合乎題意；

若k<0，由kx+b>1可得x<1?bk，可知當(dāng)x<1?bk時(shí)，f(x)<kx+b，不合乎題意．

故k=0，由b≤f(x)可得b≤?1，故Mf={(k,b)|k=0，b≤?1}．

(2)證明：必要性：要求直線l的“f?距離”，則求g(x)=ex?kx?b的最小值，分以下兩種情況討論：

①當(dāng)k≤0時(shí)，g′(x)=ex?k>0對任意的x∈R恒成立，

所以g(x)在R上嚴(yán)格增，無最小值；

②當(dāng)k>0時(shí)，g′(x)=ex?k，由g′(x)<0得x<lnk，由g′(x)>0得x>lnk，

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(?∞,lnk)上嚴(yán)格減，在區(qū)間(lnk,+∞)上嚴(yán)格增，

故g(x)min=g(lnk)=elnk?klnk?b=k?klnk?b≥1，所以b≤k?klnk?1，

令h(k)=k?klnk?1，其中k>0，則h′(k)=?lnk，

由h′(k)<0得k>1，由h′(k)>0得0<k<1，

所以函數(shù)h(k)在區(qū)間(0,1)上嚴(yán)格增，在區(qū)間(1,+∞)上嚴(yán)格減，

由題意知b≤h(k)max=h(1)=0，故實(shí)數(shù)b的取值范圍是(?∞,0].故必要性成立，

充分性：當(dāng)b≤0時(shí)，g(x)=ex?kx?b≥ex?kx，

令φ(x)=ex?kx

①當(dāng)k≤0時(shí)，φ′(x)=ex?k>0對任意的x∈R恒成立，

所以φ(x)在R上嚴(yán)格增，無最小值；

②當(dāng)k>0時(shí)，φ′(x)=ex?k，由φ′(x)<0得x<lnk，由φ′(x)>0得x>lnk，

所以函數(shù)φ(x)在區(qū)間(?∞,lnk)上嚴(yán)格減，在區(qū)間(lnk,+∞)上嚴(yán)格增，

故φ(x)min=φ(lnk)=elnk?klnk=k?klnk=k(1?lnk)，

由k(1?lnk)≥1，得0<k≤1，故充分性成立，

故“b≤0”是“存在實(shí)數(shù)k，使得l：y=kx+b的f?距離不小于1”的充要條件；

(3)證明：先說明Mf≠?，設(shè)點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)f(x