初中2024-2025學(xué)年廣東省深圳市寶安中學(xué)初中部九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把答案按要求填涂到答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）已知4a＝3b（b≠0），則下列比例式成立的是（）A．a(chǎn)4=b3 B．a(chǎn)3=2．（3分）如圖為一個(gè)樂高積木示意圖，這個(gè)幾何體的左視圖為（）A． B． C． D．3．（3分）黃金分割廣泛存在于藝術(shù)、自然、建筑等領(lǐng)域，樹葉的葉脈也蘊(yùn)含著黃金分割（黃金比為5?12≈0.618)，如圖，B為AC的黃金分割點(diǎn)（AB＞BC），AC的長(zhǎng)為5cmA．1.9cm B．2.5cm C．3.1cm D．3.3cm4．（3分）在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，能讓燈泡L1發(fā)光的概率是（）A．12 B．13 C．145．（3分）如圖是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如右側(cè)圖所示，此時(shí)液面AB的寬度為（）A．3cm B．2.5cm C．3.2cm D．2.8cm6．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AC和BD是對(duì)角線，依據(jù)圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)，下列四邊形不一定為菱形的是（）A． B． C． D．7．（3分）小亮與小明在解一道一元二次方程時(shí)都發(fā)生了小錯(cuò)誤，小亮在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根是4和1；小敏在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根是1和2．則原來的方程是（）A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝08．（3分）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，若點(diǎn)F為BG的中點(diǎn)，DG＝6，BC＝10，則EF的長(zhǎng)為（）A．6 B．34 C．8 D．38二、填空題（每小題3分，共15分，請(qǐng)把答案填到答題卡相應(yīng)位置上）9．（3分）請(qǐng)寫出有一個(gè)根為2的一元二次方程：（寫出一個(gè)即可）．10．（3分）在一個(gè)不透明的袋子中放有a個(gè)球，其中有4個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．若每次把球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸出一球記下顏色后再放回袋子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則a的值約為．11．（3分）如圖，兩張寬度均為2cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為30°，則重疊部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長(zhǎng)為cm．12．（3分）如圖，△AOB與△ACD關(guān)于點(diǎn)A位似，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），若△AOB與△ACD的面積比為4：1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．13．（3分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°，CD=22，連接BD、AC，若∠ABD＝60°，AC=10，則BC的長(zhǎng)為三、解答題（本題共7小題，其中第14題8分，第15題7分，第16題8分，第17題8分，第18題8分，第19題10分，第20題12分，共61分）14．（8分）解方程：（1）x2+6x﹣16＝0；（2）x2﹣2x＝3（x﹣2）．15．（7分）為普及節(jié)氣知識(shí)、弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，也為倡導(dǎo)人們珍惜寶貴時(shí)光，中國(guó)人民銀行發(fā)行了二十四節(jié)氣（光陰的故事）金銀幣一套．其中包含金幣4枚，分別選取了代表春、夏、秋、冬四季特點(diǎn)的動(dòng)物、景物等，將它們糅合在一起，呈現(xiàn)出四季的獨(dú)特韻味．如圖，小亮爸爸購買了一套金幣，若金幣的形狀、大小、質(zhì)地均相同，且背面也完全相同，他將四枚金幣正面朝下放在桌面上．（1）小亮從中隨機(jī)抽取一枚，抽出的金幣恰好是“秋”的概率是；（2）若將刻有“春”、“夏”、“秋”、“冬”四種不同圖案的金幣分別用A，B，C，D表示，小亮從中隨機(jī)抽取一枚后放回，再從中隨機(jī)抽取一枚，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求出小亮抽出的兩枚金幣恰好是同一季節(jié)的概率．16．（8分）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中畫圖，保留作圖痕跡．（1）在圖1中，利用格點(diǎn)作圖，在線段AB上作點(diǎn)M，使得AM＝3BM；（2）在圖2中，利用格點(diǎn)作圖，在線段AB上作點(diǎn)M，使得AMBM（3）在圖3中，利用格點(diǎn)作圖，在AB上找一點(diǎn)E，連接CE，DE，使得△CAE∽△DBE．17．（8分）深圳某特產(chǎn)專賣店銷售某種特產(chǎn)，其進(jìn)價(jià)為每千克12元，按每千克20元出售，平均每天可售出200千克，后經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，平均每天的銷售量可增加100千克．（1）若每天的銷售量為450千克，則每千克特產(chǎn)的售價(jià)為元；（2）專賣店銷售這種特產(chǎn)若想要平均每天獲利1750元，且銷售量盡可能大，則每千克特產(chǎn)應(yīng)售價(jià)為多少元？18．（8分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．∠CAM為△ABC的一個(gè)外角，CE∥AD交射線AN于點(diǎn)E．給出以下三個(gè)信息：①AB＝AC；②AN平分∠CAM；③四邊形ADCE為矩形．（1）請(qǐng)從上述三個(gè)信息中選擇兩個(gè)信息作為條件，余下的一個(gè)信息作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并證明．你選擇的條件是，結(jié)論是．（填寫序號(hào)）（2）在（1）的條件和結(jié)論下，連接BE，交AC邊于點(diǎn)G，AD＝5，DC＝2．求EG的長(zhǎng)．19．（10分）某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)完一元二次方程后，發(fā)現(xiàn)一元二次方程根的判別式除了可以判斷一元二次方程根的情況，還可以解決其他問題．下面是該學(xué)習(xí)小組收集的素材，請(qǐng)根據(jù)素材幫助他們完成相應(yīng)任務(wù)：關(guān)于根的判別式的探究素材對(duì)于一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0），利用根的判別式可以求該多項(xiàng)式的最值．比如：求x2+2x+3最小值，令y＝x2+2x+3，則x2+2x+3﹣y＝0，則b2﹣4ac＝4﹣4（3﹣y）＝﹣8+4y≥0，可解得y≥2，從而確定x2+2x+3的最小值為2．這種利用判別式求二次三項(xiàng)式最值的方法稱為判別式法.問題解決任務(wù)1感受新知：用判別式法求3x2+4x﹣2的最小值.任務(wù)2探索新知：若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2﹣ax+3（a為常數(shù)）的最小值為﹣1，求a的值；任務(wù)3應(yīng)用新知：利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，求證：周長(zhǎng)為a的矩形中，正方形的面積最大.20．（12分）已知：如圖1，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝8，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)Q，連接DQ，將△DPQ沿PQ折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D′．（1）求證：AP＝CQ；（2）當(dāng)點(diǎn)D′在直線AD與直線BC之間時(shí)，如圖2，延長(zhǎng)PD′，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接MO．①求證：MO⊥PQ；②設(shè)AP的長(zhǎng)為x，MQ的長(zhǎng)度為y，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y．（3）如圖3，若D′Q交BD于點(diǎn)H，若△OHQ與△D'QP相似，請(qǐng)直接寫出AP的長(zhǎng)．

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市寶安中學(xué)初中部九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案BCCBADCB一、選擇題（共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把答案按要求填涂到答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）已知4a＝3b（b≠0），則下列比例式成立的是（）A．a(chǎn)4=b3 B．a(chǎn)3=【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：A、∵a4∴3a＝4b，故A不符合題意；B、∵a3∴4a＝3b，故B符合題意；C、∵ab∴3a＝4b，故C不符合題意；D、∵a4∴ab＝12，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（3分）如圖為一個(gè)樂高積木示意圖，這個(gè)幾何體的左視圖為（）A． B． C． D．【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在左視圖中．【解答】解：從左面看，可得選項(xiàng)C的圖形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，熟練掌握簡(jiǎn)單組合體的三視圖是解題的關(guān)鍵．3．（3分）黃金分割廣泛存在于藝術(shù)、自然、建筑等領(lǐng)域，樹葉的葉脈也蘊(yùn)含著黃金分割（黃金比為5?12≈0.618)，如圖，B為AC的黃金分割點(diǎn)（AB＞BC），AC的長(zhǎng)為5cmA．1.9cm B．2.5cm C．3.1cm D．3.3cm【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵B為AC的黃金分割點(diǎn)（AB＞BC），AC的長(zhǎng)為5cm，∴AB≈0.618AC＝0.618×5＝3.09（cm），∴AB的長(zhǎng)約為3.1cm，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．4．（3分）在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，能讓燈泡L1發(fā)光的概率是（）A．12 B．13 C．14【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能讓燈泡L1發(fā)光的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，能讓燈泡L1發(fā)光的有2種情況，∴能讓燈泡L1發(fā)光的概率為26故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法、樹狀圖法求概率，畫出樹狀圖得出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況是正確解答的關(guān)鍵．5．（3分）如圖是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如右側(cè)圖所示，此時(shí)液面AB的寬度為（）A．3cm B．2.5cm C．3.2cm D．2.8cm【分析】過點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F，延長(zhǎng)OF交CD于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得：OE＝8cm，OF＝4cm，CD＝6cm，AB∥CD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，從而可得△OAB∽△OCD，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：如圖：過點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F，延長(zhǎng)OF交CD于點(diǎn)E，由題意得：OE＝15﹣7＝8（cm），OF＝11﹣7＝4（cm），CD＝6cm，AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，∴△OAB∽△OCD，∴OFOE∴4解得：AB＝3cm，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AC和BD是對(duì)角線，依據(jù)圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)，下列四邊形不一定為菱形的是（）A． B． C． D．【分析】AC與BD交于點(diǎn)O，由OC＝OA＝3，OB＝OD＝4，可證明四邊形ABCD是平行四邊形，由OB2+OC2＝BC2＝25，證明∠BOC＝90°，則四邊形ABCD是菱形，可判斷A不符合題意；由AB＝AD＝CB＝CD＝5，可證明四邊形ABCD是菱形，可判斷B不符合題意；由AD∥BC，AD＝BC＝5，證明四邊形ABCD是平行四邊形，由∠ADB＝∠ABD＝30°，得AB＝AD，則四邊形ABCD是菱形，可判斷C不符合題意；若AB∥CD，則四邊形ABCD是菱形；C′D與AB不平行，則四邊形ABC′D不是菱形，可判斷D符合題意，于是得到問題的答案．【解答】解：如圖1，AC與BD交于點(diǎn)O，∵OC＝OA＝3，OB＝OD＝4，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵BC＝5，∴OB2+OC2＝42+32＝25，BC2＝52＝25，∴OB2+OC2＝BC2，∴△BOC是直角三角形，且∠BOC＝90°，∴AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故A不符合題意；如圖2，∵AB＝AD＝CB＝CD＝5，∴四邊形ABCD是菱形，故B不符合題意；如圖3，∵∠ADB＝∠CBD＝30°，∴AD∥BC，∵AD＝BC＝5，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ADB＝∠ABD＝30°，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形，故C不符合題意；若AB∥CD，∵AB＝CD＝5，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形；若C′D＝AB＝5，但C′D與AB不平行，則四邊形ABC′D不是菱形，∴四邊形ABCD不一定是菱形，故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查菱形的定義及判定定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定定理等知識(shí)，根據(jù)已知條件證明四邊形ABCD是菱形或舉“反例”證明四邊形ABCD不一定是菱形是解題的關(guān)鍵．7．（3分）小亮與小明在解一道一元二次方程時(shí)都發(fā)生了小錯(cuò)誤，小亮在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，因而得到方程的兩個(gè)根是4和1；小敏在化簡(jiǎn)過程中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，因而得到方程的兩個(gè)根是1和2．則原來的方程是（）A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0【分析】根據(jù)兩位同學(xué)的錯(cuò)法，再結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問題．【解答】解：令這個(gè)方程為ax2+bx+c＝0（a≠0），因?yàn)樾×猎诨?jiǎn)過程中寫錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，得到方程的兩個(gè)根是4和1，所以?b則b＝﹣5a．因?yàn)樾∶粼诨?jiǎn)過程中寫錯(cuò)了一次項(xiàng)的系數(shù)，得到方程的兩個(gè)根是1和2，所以ca則c＝2a，所以ax2﹣5ax+2a＝0，整理得，x2﹣5x+2＝0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的一般形式，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（3分）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，若點(diǎn)F為BG的中點(diǎn)，DG＝6，BC＝10，則EF的長(zhǎng)為（）A．6 B．34 C．8 D．38【分析】取CG的中點(diǎn)H，連接EH，則GH=12CG，而GF=12BG，所以FH＝GF+GH=12BC＝5，因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以EH∥DG，EH=12DG【解答】解：取CG的中點(diǎn)H，連接EH，則GH＝CH=12∵點(diǎn)F為BG的中點(diǎn)，DG＝6，BC＝10，∴GF＝BF=12∴FH＝GF+GH=12（BG+CG）=∵E為CD的中點(diǎn)，H為CG的中點(diǎn)，∴EH∥DG，EH=12∵DG⊥BC于點(diǎn)G，∴∠FHE＝∠BGD＝90°，∴EF=F故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共15分，請(qǐng)把答案填到答題卡相應(yīng)位置上）9．（3分）請(qǐng)寫出有一個(gè)根為2的一元二次方程：x2＝4（答案不唯一）（寫出一個(gè)即可）．【分析】根據(jù)題意寫出一個(gè)符合題意的一元二次方程，即可求解．【解答】解：依題意，有一個(gè)根為2的一元二次方程可以是：x2＝4，故答案為：x2＝4（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程的解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．10．（3分）在一個(gè)不透明的袋子中放有a個(gè)球，其中有4個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．若每次把球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸出一球記下顏色后再放回袋子，通過大量重復(fù)試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則a的值約為20．【分析】根據(jù)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，即摸到白球的概率約為15，結(jié)合白球有4個(gè)可得a【解答】解：a的值約為4÷0.2＝20，故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，解題的關(guān)鍵是掌握在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．11．（3分）如圖，兩張寬度均為2cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為30°，則重疊部分構(gòu)成的四邊形ABCD的周長(zhǎng)為16cm．【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，易知四邊形ABCD為平行四邊形，AE＝AF＝2cm，∠ADF＝∠ABE＝30°，可證△ADF≌△ABE（AAS），得到AD＝AB，可證四邊形ABCD為菱形．在Rt△ADF中，AD＝4，因此四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：4×4＝16cm．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵兩張紙條寬度均為2cm，∴四邊形ABCD為平行四邊形，且AE＝AF＝2cm，∴∠ADF＝∠ABE＝60°，∴△ADF≌△ABE（AAS），∴AD＝AB，∴四邊形ABCD為菱形，在Rt△ADF中，∠ADF＝30°，AF＝2cm，∴AD＝4，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：4×4＝16（cm）．故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)．12．（3分）如圖，△AOB與△ACD關(guān)于點(diǎn)A位似，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），若△AOB與△ACD的面積比為4：1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，83）【分析】過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，可得△AOE∽△COF，則AE：CF＝OE：OF＝OA：OC．根據(jù)位似的性質(zhì)可得OA：AC＝2：1，進(jìn)而可得AE：CF＝OE：OF＝OA：OC＝2：3．由題意可得OF＝3，CF＝4，即可得AE=83，【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE∽△COF，∴AE：CF＝OE：OF＝OA：OC．∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），∴OF＝3，CF＝4．∵△AOB與△ACD關(guān)于點(diǎn)A位似，△AOB與△ACD的面積比為4：1，∴OA：AC＝2：1，∴OA：OC＝2：3．∴AE：CF＝OE：OF＝2：3，∴AE=83，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，83故答案為：（2，83【點(diǎn)評(píng)】本題考查位似變換、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握位似的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．13．（3分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝45°，CD=22，連接BD、AC，若∠ABD＝60°，AC=10，則BC的長(zhǎng)為4【分析】過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AE⊥AC交HD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE．可證明△ABC∽△ADE，可得ADAB=AEAC=DEBC，求出AE，根據(jù)勾股定理求出CE，CH，HE【解答】解：過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AE⊥AC交HD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE．∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝60°，∴∠ADB＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠BDH，∠ABC＝∠ABD+∠DBH，∴∠ADE＝180°﹣30°﹣∠BDH＝150°﹣∠BDH，∠ABC＝60°+90°﹣∠BDH＝150°﹣∠BDH，∴∠ADE＝∠ABC，∴△ABC∽△ADE，∴ADAB∵ADAB=tan∠ABD＝tan60°=3∴3=∴AE=3在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理，得CE=A∵∠CHD＝90°，∠BCD＝45°，∴△CHD是等腰直角三角形，即CH＝DH，∵CD=22∴根據(jù)勾股定理，得CH2+DH2＝CD2，又CH＝DH，∴2CH2＝CD2，即CH2=12CD∴CH=CD∴CH＝DH＝2，在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理，得HE=C∴DE＝HE﹣DH＝DE＝6﹣2＝4，∵DEBC=ADAB，∴BC=4故答案為：43【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，能夠作出輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共7小題，其中第14題8分，第15題7分，第16題8分，第17題8分，第18題8分，第19題10分，第20題12分，共61分）14．（8分）解方程：（1）x2+6x﹣16＝0；（2）x2﹣2x＝3（x﹣2）．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）∵x2+6x﹣16＝0，∴（x+8）（x﹣2）＝0，則x+8＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣8，x2＝2；（2）∵x2﹣2x＝3（x﹣2），∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，則（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．15．（7分）為普及節(jié)氣知識(shí)、弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，也為倡導(dǎo)人們珍惜寶貴時(shí)光，中國(guó)人民銀行發(fā)行了二十四節(jié)氣（光陰的故事）金銀幣一套．其中包含金幣4枚，分別選取了代表春、夏、秋、冬四季特點(diǎn)的動(dòng)物、景物等，將它們糅合在一起，呈現(xiàn)出四季的獨(dú)特韻味．如圖，小亮爸爸購買了一套金幣，若金幣的形狀、大小、質(zhì)地均相同，且背面也完全相同，他將四枚金幣正面朝下放在桌面上．（1）小亮從中隨機(jī)抽取一枚，抽出的金幣恰好是“秋”的概率是14（2）若將刻有“春”、“夏”、“秋”、“冬”四種不同圖案的金幣分別用A，B，C，D表示，小亮從中隨機(jī)抽取一枚后放回，再從中隨機(jī)抽取一枚，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求出小亮抽出的兩枚金幣恰好是同一季節(jié)的概率．【分析】（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中抽出的金幣恰好是“秋”的結(jié)果有1種，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小亮抽出的兩枚金幣恰好是同一季節(jié)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中抽出的金幣恰好是“秋”的結(jié)果有1種，∴小亮從中隨機(jī)抽取一枚，抽出的金幣恰好是“秋”的概率是14故答案為：14（1）列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16種等可能的結(jié)果，其中小亮抽出的兩枚金幣恰好是同一季節(jié)的結(jié)果有4種，∴小亮抽出的兩枚金幣恰好是同一季節(jié)的概率為416【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．16．（8分）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中畫圖，保留作圖痕跡．（1）在圖1中，利用格點(diǎn)作圖，在線段AB上作點(diǎn)M，使得AM＝3BM；（2）在圖2中，利用格點(diǎn)作圖，在線段AB上作點(diǎn)M，使得AMBM（3）在圖3中，利用格點(diǎn)作圖，在AB上找一點(diǎn)E，連接CE，DE，使得△CAE∽△DBE．【分析】（1）取格點(diǎn)P，Q，連接PQ交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求；（2）取格點(diǎn)P，Q，連接PQ交AB于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求；（3）作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接DC′交AB于點(diǎn)E，連接CE，點(diǎn)E即為所求．【解答】解：（1）如圖1中，點(diǎn)M即為所求；（2）如圖2中，點(diǎn)M即為所求；（3）如圖3中，點(diǎn)E即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．17．（8分）深圳某特產(chǎn)專賣店銷售某種特產(chǎn)，其進(jìn)價(jià)為每千克12元，按每千克20元出售，平均每天可售出200千克，后經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，平均每天的銷售量可增加100千克．（1）若每天的銷售量為450千克，則每千克特產(chǎn)的售價(jià)為15元；（2）專賣店銷售這種特產(chǎn)若想要平均每天獲利1750元，且銷售量盡可能大，則每千克特產(chǎn)應(yīng)售價(jià)為多少元？【分析】（1）設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元，則每千克特產(chǎn)的售價(jià)為（20﹣x）元，平均每天的銷售量為（200+50x）千克，根據(jù)每天的銷售量為450千克，列出一元一次方程，解方程即可；（2）設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元，則每千克特產(chǎn)的售價(jià)為（20﹣x）元，平均每天的銷售量為（200+50x）千克，根據(jù)專賣店銷售這種特產(chǎn)若想要平均每天獲利1750元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【解答】解：（1）設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元，則每千克特產(chǎn)的售價(jià)為（20﹣x）元，平均每天的銷售量為（200+x2×由題意得：200+50x＝450，解得：x＝5，∴20﹣x＝15，故答案為：15；（2）設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元，則每千克特產(chǎn)的售價(jià)為（20﹣x）元，平均每天的銷售量為（200+x2×由題意得：（20﹣x﹣12）（200+50x）＝1750，整理得：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝1（不符合題意，舍去），∴20﹣x＝17，答：每千克特產(chǎn)應(yīng)定售價(jià)為17元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．18．（8分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．∠CAM為△ABC的一個(gè)外角，CE∥AD交射線AN于點(diǎn)E．給出以下三個(gè)信息：①AB＝AC；②AN平分∠CAM；③四邊形ADCE為矩形．（1）請(qǐng)從上述三個(gè)信息中選擇兩個(gè)信息作為條件，余下的一個(gè)信息作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并證明．你選擇的條件是①②，結(jié)論是③（答案不唯一）．（填寫序號(hào)）（2）在（1）的條件和結(jié)論下，連接BE，交AC邊于點(diǎn)G，AD＝5，DC＝2．求EG的長(zhǎng)．【分析】（1）當(dāng)選擇的條件是①②，結(jié)論是③時(shí)，根據(jù)AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，則∠MAC＝2∠ABC，再根據(jù)AN平分∠CAM得∠MAN＝∠ABC，則AN∥BC，由此可得出四邊形ADCE為矩形；當(dāng)選擇的條件是①③，結(jié)論是②時(shí)，根據(jù)AB＝AC得∠ABC＝∠ACB，則∠MAC＝2∠ABC，再根據(jù)四邊形ADCE為矩形得AN∥BC，則∠MAN＝∠ABC，由此可得出AN平分∠CAM；當(dāng)選擇條件是②③，結(jié)論是①時(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得AN∥BC，則∠MAN＝∠ABC，∠NAC＝∠ACB，再根據(jù)AN平分∠CAM得∠MAN＝∠NAC，由此可得出AB＝AC；（2）依題意得BD＝CD＝2，AE＝CD＝2，CE＝AD＝5，AN∥BC，先由勾股定理求出BE=41，再證明△AEG和△CBG相似得EG：BG＝1：2，則EG：BE＝1：3，由此可得出EG【解答】解：（1）當(dāng)選擇的條件是①②，結(jié)論是③時(shí)，命題是真命題，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠MAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，∵AN平分∠CAM，∴∠MAN=12∠CAM＝∠∴AN∥BC，∵AD⊥BC，∴AD⊥AN，又∵CE∥AD，∴CE⊥AN，∴∠ADC＝∠NAD＝∠CEA＝90°，∴四邊形ADCE為矩形；當(dāng)選擇的條件是①③，結(jié)論是②時(shí)，命題是真命題，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠MAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，∵四邊形ADCE為矩形，∴AN∥BC，∴∠MAN＝∠ABC，∴∠NAC＝∠MAC﹣∠MAN＝2∠ABC﹣∠ABC＝∠ABC，∴AN平分∠CAM；當(dāng)選擇條件是②③，結(jié)論是①時(shí)，命題是真命題，理由如下：∵四邊形ADCE為矩形，∴AN∥BC，∴∠MAN＝∠ABC，∠NAC＝∠ACB，∵AN平分∠CAM；∴∠MAN＝∠NAC，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；故答案為：①②；③（答案不唯一）；（2）∵AD＝5，DC＝2，且在（1）的條件下，∴AB＝AC，四邊形ADCE是矩形，∴BD＝CD＝2，AE＝CD＝2，CE＝AD＝5，AN∥BC，∴BC＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=B∵AN∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴EG：BG＝AE：BC＝1：2，∴EG：BE＝1：3，∴EG=13BE【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，命題與定理，理解矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理四解決問題的關(guān)鍵．19．（10分）某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)完一元二次方程后，發(fā)現(xiàn)一元二次方程根的判別式除了可以判斷一元二次方程根的情況，還可以解決其他問題．下面是該學(xué)習(xí)小組收集的素材，請(qǐng)根據(jù)素材幫助他們完成相應(yīng)任務(wù)：關(guān)于根的判別式的探究素材對(duì)于一個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠0），利用根的判別式可以求該多項(xiàng)式的最值．比如：求x2+2x+3最小值，令y＝x2+2x+3，則x2+2x+3﹣y＝0，則b2﹣4ac＝4﹣4（3﹣y）＝﹣8+4y≥0，可解得y≥2，從而確定x2+2x+3的最小值為2．這種利用判別式求二次三項(xiàng)式最值的方法稱為判別式法.問題解決任務(wù)1感受新知：用判別式法求3x2+4x﹣2的最小值.任務(wù)2探索新知：若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2﹣ax+3（a為常數(shù)）的最小值為﹣1，求a的值；任務(wù)3應(yīng)用新知：利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，求證：周長(zhǎng)為a的矩形中，正方形的面積最大.【分析】任務(wù)1：依據(jù)題意，令y＝3x2+4x﹣2，從而3x2+4x﹣2﹣y＝0，再由判別式可以判斷得解；任務(wù)2：依據(jù)題意，令y＝x2﹣ax+3，故x2﹣ax+3﹣y＝0，再由判別式Δ＝a2﹣4×（3﹣y）≥0，進(jìn)而可以判斷得解；任務(wù)3：依據(jù)題意，設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，則寬為a2?x，面積為S，從而S＝x（a2?x）＝﹣x2+a2x，可得Δ=a24?【解答】任務(wù)1：解：由題意，令y＝3x2+4x﹣2，∴3x2+4x﹣2﹣y＝0．∴Δ＝16﹣4×3×（﹣2﹣y）≥0．∴y≥?10∴3x2+4x﹣2的最小值為?10任務(wù)2：解：由題意，令y＝x2﹣ax+3，∴x2﹣ax+3﹣y＝0．∴Δ＝a2﹣4×（3﹣y）≥0．∴y≥?a又∵y最小值為﹣1，∴?a∴a＝±4．任務(wù)