高三●數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))★開封前注意保密肇慶市2026屆高中畢業(yè)班第一學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)本試題共4頁(yè),考試時(shí)間120分鐘,滿分150分注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處。2.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效。3.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆,保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀?？荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試題及答題卡交回。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若i,則Z=2.已知集合A={x∈Zx2-x-6<0},則集合A的子集的個(gè)數(shù)為3.已知雙曲線,b>0)的離心率為2,則其漸近線方程為4.從分別標(biāo)有數(shù)字-2,-1,0,1,2的5張卡片中隨機(jī)一次性抽取2張,則抽到的2張卡片中數(shù)字乘積為非負(fù)數(shù)的概率為A.B.C.D.5.已知直線l:y=x+m與圓O:x2+y2=1交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)△OAB的面積最大時(shí),點(diǎn)O到直線l的距離為A.B.C.D.\26.已知圓臺(tái)的上、下底面的面積分別為9π和36π,側(cè)面積為45π,則該圓臺(tái)的體積為高三●數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))7.函數(shù)f●cosx在[-,]上的圖象大致為A.B.C.8.在三棱錐PABC中,PA=PB=PC,AB=BC=CA=2,平面PAB與平面CAB夾角的余弦值為\則三棱錐PABC外接球的表面積為3,二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則A.P(X≤μ-2)+P(X≤μ+2)=1B.μ越大,隨機(jī)變量X的方差越大C.隨機(jī)變量X的分布越集中,σ的值越小D.X的取值在(-∞,μ-3σ]內(nèi)是小概率事件10.函數(shù)f(x)=Asin(wx+φ)(A>0,w>0,φ<的部分圖象如圖所示,則π3B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=-π3π3C.f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)=3cosπ3 2D.若方程f(x)=在(0,m)上有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根,則這6個(gè)實(shí)數(shù)根的和為10π211.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),分別過A,B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為C,D,M是CD的中點(diǎn),則 ,B3A.AB的最小值為4B.若AF=4則點(diǎn)B ,B3C.2MF=CDD.若M(-1,1),則直線AB的斜率為2高三.數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè))三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.的展開式的常數(shù)項(xiàng)為.n,Tn分別為等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和,若,則.14.已知關(guān)于x的不等式x-a恒成立,則a的取值范圍是.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.(13分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為5n,且an.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=log2an.log2an+1,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,證明:Tn<1. 16.(15分)已知a,b,C分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且\3aSinC+CCoSA-C=0.(1)求角A的值.→→(2)若△ABC的面積為4\,BD=2DC,求線段→→高三●數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè))17.(15分)已知橢圓C:的焦距為2\,點(diǎn)M(2,1)在C上.(1)求C的方程.(2)直線l與C交于A,B兩點(diǎn).(i)若線段AB的中點(diǎn)為T,求直線AB的方程;(ii)在(i)的條件下,P是橢圓上任意一點(diǎn),求△ABP面積的最大值.18.(17分)如圖,在四棱錐PABCD中,PA=PB=5,底面ABCD是矩形,AB=6,BC=4.(1)設(shè)平面PAB與平面PCD的交線為l,證明:lⅡCD.(2)證明:PC=PD.(3)當(dāng)四棱錐PABCD的體積最大時(shí),四棱錐PABCD是否存在內(nèi)切球,若存在,求內(nèi)切球的半徑,若不存在,請(qǐng)說明理由.19.(17分)學(xué)校社團(tuán)準(zhǔn)備了編號(hào)1到n的n個(gè)盲盒,不同的編號(hào)對(duì)應(yīng)不同的獎(jiǎng)品(編號(hào)越大,獎(jiǎng)品越好).規(guī)則如下:參與者有放回地抽取盲盒r(r>0)次,一次抽取一個(gè)盲盒,抽到的編號(hào)最小的盲盒對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)品即為最終獎(jiǎng)品,設(shè)獲得的獎(jiǎng)品對(duì)應(yīng)的盲盒編號(hào)為X.(1)當(dāng)n=3,r=2時(shí),求最終拿到編號(hào)1的獎(jiǎng)品的概率和拿到編號(hào)2的獎(jiǎng)品的概率.(2)若n=4,r=m.①求最終拿到編號(hào)不小于k(1≤k≤4)的獎(jiǎng)品的概率;②用k表示出期望E(X).(3)當(dāng)n=r時(shí),證明:期望E肇慶市2026屆高中畢業(yè)班第一學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(參考)數(shù)學(xué)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號(hào)12345678答案CBDCDCAB二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.題號(hào)9答案ACDABDACD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.)四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.解得a1=2.………………1分當(dāng)n≥2時(shí)an一1,……………2分=2an一1,…………3分所以{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,…………4分所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.……………………5分(2)因?yàn)閍n=2n,222n=n,…………………6分所以Tn…………………8分高三.數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(參考)第1頁(yè)(共8頁(yè))高三.數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(參考)第2頁(yè)(共8頁(yè))因?yàn)镃∈(0,π),所以sinC≠0, 所以…………3分即2所以A一=,A=.………………7分因?yàn)?<A<π,所以一<所以A一=,A=.………………7分(2)由(1)得A=,(2)由(1)得A=,3因?yàn)椤鰽BC的面積為4\,即bcsin………8分因?yàn)锽D=2DC,因?yàn)锽D=2DC,所以A=1A+2A………………所以A2=A+A2=A2+iA2+iAUAcosA………………11分2c=2b時(shí),等號(hào)成立,……所以線段AD長(zhǎng)度的最小值為4.……………………15分高三.數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(參考)第3頁(yè)(共8頁(yè))17.【詳解】(1)方法一:由題意知,2c=2\,即c=\,…………1分設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,則F1(-\,0),F2(\,0).因?yàn)镸F1+MF2=2a,所以\(2+\3)2+1+\(2-\3)2+1=2a,解得a=\………………2分所以b2=3.………………3分所以橢圓C的方程為………4分方法二:由題意知,2c=2\,即c=\,…………1分因?yàn)辄c(diǎn)M(2,1)在橢圓C上,所以a2=b2+3,…………2分所以,即4b2+b2+3=b4+3b2,化簡(jiǎn)得b2=3或b2=-1(舍去),………3分所以橢圓C的方程為x2+y2=1……………………(2)(i)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為T(-,,所以x1+x2=-,y1+y2=,………5分kOT………………………6分因?yàn)锳,B兩點(diǎn)在橢圓上,所以所以…………………7分所以高三●數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(參考)第4頁(yè)(共8頁(yè))所以kAB……………………8分所以直線AB的方程為x—y+1=0.……………………9分(ii)方法一:直線AB的方程為x—y+1=0,聯(lián)立2=,……………10分,…………………13分當(dāng)sin(θ—φ)=1時(shí),d取最大值,此時(shí)dmax=2\,………………14分所以△ABP面積的最大值為AB●dmax……15分方法二:直線AB的方程為x—y+1=0,設(shè)與直線AB平行,且與橢圓C相切的直線的方程為x—y+t=0,聯(lián)立Δ=0,解得t=±3,……………………10分當(dāng)t=3時(shí),直線xy+1=0與直線xy+t=0的距離更大,此時(shí),切點(diǎn)就是橢圓上到直線AB距離最大的點(diǎn),………………11分點(diǎn)P到直線AB的距離d的最大值就是平行線間的距離,高三.數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(參考)第5頁(yè)(共8頁(yè))max………………12分聯(lián)立化簡(jiǎn)得3x2+4x-4=0,所以AB=\x1-x2=\\/(x1+x2)2-4x1x23,3,所以△ABP面積的最大值為1.AB.d=16………………18.【詳解】(1)證明:因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,所以ABⅡCD,……………1分因?yàn)镃D丈平面PAB,ABC平面PAB,所以CDⅡ平面PAB,……………………2分因?yàn)槠矫鍼AB∩平面PCD=l,CDC平面PCD,所以lⅡCD.………………4分(2)證明:如圖1,分別取AB,CD的中點(diǎn)E,F,連接PE,EF,PF.……………5分因?yàn)镻A=PB,E是AB的中點(diǎn),所以PE丄AB,……………6分又因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),所以EF丄AB,……………7分因?yàn)锳BⅡCD,所以PE丄CD,EF丄CD,………8分因?yàn)镻E∩EF=E,PE,EFC平面PEF,CD丈平面PEF,所以CD丄平面PEF,…………9分因?yàn)镻FC平面PEF,所以CD丄PF,因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)所以PC=PD.……………10分(3)假設(shè)四棱錐PABCD存在內(nèi)切球,設(shè)點(diǎn)P到平面ABCD的距離為h,則h≤PE,PE=\/PA2-AE2=4,當(dāng)PE丄平面ABCD時(shí),h取最大值,此時(shí)四棱錐PABCD的體積最大,…………11分高三●數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(參考)第6頁(yè)(共8頁(yè))方法一:因?yàn)镻E丄平面ABCD,所以平面PAB丄平面ABCD,因?yàn)槠矫鍼AB∩平面ABCD=AB,AD丄AB,所以AD丄平面PAB,即AD丄PA.所以PD2=AD2+AP2=41,S正方形ABCD=AD●AB=24.V四棱錐PABCD●PE●S正方形ABCD=32,…………………12分所以內(nèi)切球半徑r………13分設(shè)內(nèi)切球球心為O,PF中點(diǎn)為M.因?yàn)镺到平面PAD與平面PBC距離相等,所以由對(duì)稱性可知,點(diǎn)O在平面PEF上,……………14分又因?yàn)辄c(diǎn)O到平面PAB與平面ABCD距離相等,且二面角P2,,如圖2所示,因?yàn)镋M=2\2,ABC的大小為2,,如圖2所示,因?yàn)镋M=2\2,所以2\2-\2r=r,解得r=4-2\2,……16分因?yàn)閮蓚€(gè)r的值不同,所以不存在內(nèi)切球.………………17分方法二:因?yàn)镻E丄平面ABCD,PEC平面PAB,所以平面PAB丄平面ABCD,因?yàn)镋F丄AB,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以EF丄平面PAB,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EB,EF,EP所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系.則P(0,0,4),A(-3,0,0),B(3,0,0),C(3,4,0),D(-3,4,0).………………12分平面PAB的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0),→→則PC=(3,4,-4),PD=(-3,4,-4),設(shè)平面PCD的法向量為n2=(x,y→→高三.數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(參考)第7頁(yè)(共8頁(yè))→→所以化簡(jiǎn)得,,令n2=(0,1,1),設(shè)內(nèi)切球球心。(a,b,c),易知,a,b,c>0.同理可求,平面ABCD法向量為n3=(0,0,1),平面PAD法向量為n4=(4,0,-3),→PE.n1PE=(a,b,c-4),平面PBC法向量為n5=(-4,0,-3),…→PE.n1PE=(a,b,c-4),n1n1→PE.n2b+c-4點(diǎn)。到平面PCD的距離d2→PE.n2b+c-4易知點(diǎn)。到平面ABCD的距離d3=c,→PE.n44a-3c→PE.n44a-3c+12n45,→n55點(diǎn)。到平面PAC的距離d5=PE.n5=-4a-3c+12,………15→n554=d5,解得a=0, 2,=d4, 2,,d1≠d2,矛盾,所以這樣的內(nèi)切球不存在.……………17分…………………………3分19.【詳解】(1)P(X=1)………………………………3分44m,,,,(2)①P(X≥k)=(4-k+1)m=(5-k)mk=1234.……………44m,,,,高三.數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(參考)第8頁(yè)(共8頁(yè))②因?yàn)槭录=K與事件X≥K+1互斥,所以P(X≥K)=P(X≥K+1)+P(x=K),即P=P-PK=1,2,3,4,…7分所以隨機(jī)變量X的期望E m.………9分 ……………10分隨機(jī)變量X的期望E=KK.Pn.……11分設(shè)f(x)=xn+(1-x)n,x∈(0,1),f’(x)=n[xn-1-(1-x)n-1],………………12分P(X=1)=1,E(X)=1×1=1,等號(hào)成立;…………13分E等號(hào)成立;………………14分當(dāng)n≥3時(shí),當(dāng)x時(shí),f’(x)<0;當(dāng)x時(shí),f’(x)>0,所以f=xn+n≥f………………15分設(shè)Mn,因?yàn)镸n,所以所以M………………16分綜上所述,E…………17分【詳解】Z=(1+i)(1-i)=2,Z=2.【詳解】因?yàn)閤2-x-6<0,所以-2<x<3.因?yàn)閤是整數(shù),所以A={-1,0,1,2},故集合A共有24=16個(gè)子集.所以該雙曲線的漸近線方程為y【詳解】從5張卡片中抽取2張,共有C=10種可能,抽到的2張卡片中數(shù)字乘積為負(fù)數(shù),即一正一負(fù),共C.C=4種可能,所以抽到的2張卡片中數(shù)字乘積為負(fù)數(shù)的概率P,則抽到的2張卡片中數(shù)字乘積為非負(fù)數(shù)的概率P因?yàn)镾△OABOA.OB.sin匕AOBsin匕AOB,2,,所以當(dāng)sin匕AOB=1,即匕AOB=π2,,此時(shí)△OAB是等腰直角三角形,點(diǎn)O到直線l的距離為方法二:設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d,則AB=2\,S△OAB=.AB.d=\,因?yàn)閘與圓O相交,且l不經(jīng)過點(diǎn)O,所以0<d<1,所以當(dāng)d2=時(shí),d2-d4取最大值,即S△OAB取最大值,高三.數(shù)學(xué)答案詳解(參考)第1頁(yè)(共5頁(yè))高三.數(shù)學(xué)答案詳解(參考)第2頁(yè)(共5頁(yè))即點(diǎn)O到直線l的距離為方法三:設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d,A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立,=-m,Δ=8-4m2>0→因?yàn)锳B=\.x1-x2=\.\/2-m2,所以S△OABAB.d\.\.=\,22-m4取最大值,即S△OAB取最大值,【詳解】依題意,記圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r1,r2,則{π,,解得{,,設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l,則π(r1+r2)l=45π,解得l=5,所以圓臺(tái)的高h(yuǎn)=\/52-(6-3)2=4,所以圓臺(tái)的體積V=×4×(9π+36π+\)=84π.【詳解】因?yàn)閒(x)==(ex-e-x)cosx,且f(-x)=(e-x-ex)cosx=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),排除選項(xiàng)B;2,,當(dāng)0≤x≤π時(shí)f(x)≥0排除選項(xiàng)C2,,因?yàn)閒'(x)=(ex+e-x)cosx-(ex-e-x)sinx,所以f'=\e-,排除選項(xiàng)D.【詳解】如圖,取AB的中點(diǎn)D,連接CD,PD,因?yàn)镻A=PB,BC=CA,所以PD丄AB,CD丄AB,所以匕PDC就是平面PAB與平面CAB的夾角,設(shè)PA=x,則PD=\/x2-1,高三.數(shù)學(xué)答案詳解(參考)第3頁(yè)(共5頁(yè))2PD.CD3,2PD.CD3,所以PA2+PB2=AB2,即PA丄PB,同理,PB丄PC,PA丄PC,所以三棱錐PABC外接球的直徑2R=\/PA2+PB2+PC2=\,所以三棱錐PABC外接球的表面積S=4πR2=6π.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X~N(μ,σ2),所以P(X≤μ-2)=P(X≥μ+2),所以P(X≤μ-2)+P(X≤μ+2)=P(X≥μ+2)+P(X≤μ+2)=1,故A正確;μ=E(X),故B錯(cuò)誤;隨機(jī)變量X的分布越集中,說明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小,方差越小,而σ2=D(X),則σ的值越小,故C正確;根據(jù)3σ原則,D正確.【詳解】由題圖可知,函數(shù)f(x)的最大值為3,即A==3sinsin」φ<,:φ=,:f(x)=3sin(wx+.由題圖可知,f(x)的最小正周期T滿足T>5π即2π>5π解得0<w:f(x)=3sin(2x+,A正確;-=-3,:f(x)的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱,B正確;函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到新函數(shù)方法一:π3即x=kπ或x=+kπ(k∈Zπ3高三.數(shù)學(xué)答案詳解(參考)