湖南長沙市一中2026屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)，為雙曲線的上，下兩個焦點，過的直線l交該雙曲線的下支于A，B兩點，且滿足，，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．設(shè)α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，下列命題中為真命題的是（）A如果，，n∥β，那么B.如果，，，那么α∥βC.如果m∥n，，，那么α∥βD.如果m∥n，，，那么3．若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A. B.C.3 D.45．若實數(shù)x，y滿足不等式組，則的最小值為（）A. B.0C. D.26．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上點到焦點的距離為3，則焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.7．若函數(shù)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.8．如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．10．已知數(shù)列滿足，則滿足的的最大取值為（）A.6 B.7C.8 D.911．函數(shù)，則的值為（）A B.C. D.12．已知集合，從集合A中任取一點P，則點P滿足約束條件的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點．若是該橢圓上的一個動點，則的最大值為_____14．如圖，在平行六面體中，設(shè)，N是的中點，則向量_________．（用表示）15．萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運會之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運會開幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為________cm.16．若曲線在處的切線平行于x軸，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若分別是橢圓的左、右焦點，是該橢圓上的一個動點，且（1）求橢圓的方程（2）是否存在過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，使（其中為坐標(biāo)原點）？若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由18．（12分）已知拋物線過點，O為坐標(biāo)原點（1）求焦點的坐標(biāo)及其準(zhǔn)線方程；（2）拋物線C在點A處的切線記為l，過點A作與切線l垂直的直線，與拋物線C的另一個交點記為B，求的面積19．（12分）函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.20．（12分）甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5題，選擇題（1）甲、乙兩人中有一個抽到選擇題（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題21．（12分）在等差數(shù)列中，已知且（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項和22．（10分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足，，求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)，表示出，由勾股定理列式計算得，然后在，再由勾股定理列式，計算離心率.【詳解】由題意得，，且，如圖所示，設(shè)，由雙曲線的定義可得，，因為，所以，得，所以，在中，，即.故選：A【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)2、C【解析】AB.利用兩平面的位置關(guān)系判斷；CD.利用面面平行的判定定理判斷；【詳解】A.如果，，n∥β，那么α，β相交或平行；故錯誤；B.如果，，，那么α，β垂直，故錯誤；C.如果m∥n，，則，又，那么α∥β，故C正確；D錯誤，故選:C3、A【解析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A4、C【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)，再由，可求出的關(guān)系式，然后求【詳解】由，得，因為，所以，所以，故選：C5、A【解析】畫出可行域，令，則，結(jié)合圖形求出最小值，即可得解；【詳解】解：畫出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由，解得，即，令，則．結(jié)合圖形可知當(dāng)過點時，取得最小值，且，即故選：A6、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線C的焦點、準(zhǔn)線，再利用拋物線的定義求出a值計算作答.【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線，依題意，由拋物線定義得，解得，所以拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為.故選：D7、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知其導(dǎo)數(shù)在R上恒成立，分離參數(shù)，即可求得答案.【詳解】由題意可知單調(diào)遞增，則在R上恒成立，可得恒成立，當(dāng)時，取最小值-1，故，故選：D8、A【解析】根據(jù)圓錐和球的體積公式以及半球的體積等于圓錐的體積，即可列式解出【詳解】由題意可得，，解得．故選：A9、D【解析】由題可知：，，，故選；D10、B【解析】首先地推公式變形，得，，求得數(shù)列的通項公式后，再解不等式.【詳解】因為，兩邊取倒數(shù)，得，整理為：，，所以數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，，，因為，即，得，解得：，,所以的最大值是7.故選：B11、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B12、C【解析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合兩條直線的位置關(guān)系、幾何概型計算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線互相垂直，且交點為，由圓的性質(zhì)可知：點P滿足約束條件的概率為，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】設(shè)，寫出、的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有，根據(jù)橢圓的有界性即可求的最大值.【詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當(dāng)時，.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及橢圓的有界性求最值.14、【解析】根據(jù)向量的加減法運算法則及數(shù)乘運算求解即可.【詳解】由向量的減法及加法運算可得，，故答案為：15、20【解析】求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長軸長【詳解】在大橢圓中，，，則，.因為兩橢圓扁平程度相同，所以離心率相等，所以在小橢圓中，，結(jié)合，得，所以小橢圓的長軸長為20.故填：20.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，對橢圓相似則離心率相等這一基礎(chǔ)知識的考查16、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)在時的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值為0求得a的值【詳解】由，得，則，∵曲線在點處的切線平行于x軸，∴，即.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在；【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用列方程，化簡求得直線的斜率.【小問1詳解】依題意，得橢圓的方程為【小問2詳解】存在．理由如下：顯然當(dāng)直線的斜率不存在，即時，不滿足條件故由題意可設(shè)的方程為．由是直線與橢圓的兩個不同的交點，設(shè)，由消去y，并整理，得，則，解得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，即存在斜率的直線與橢圓交于不同的兩點，使18、（1）焦點，準(zhǔn)線方程；（2）12.【解析】(1)將點A坐標(biāo)代入求出，寫出拋物線方程即可作答.(2)由(1)的結(jié)論求出切線l的斜率，進(jìn)而求得直線AB方程，聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程，求出弦AB長及點O到直線AB距離計算作答.【小問1詳解】依題意，，解得，則拋物線的方程為：，所以拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為.【小問2詳解】顯然切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程為：，由消去x并整理得：，依題意得，解得，因直線，則直線AB的斜率為-1，方程為：，即，由消去x并整理得：，解得，因此有，而，則，而點到直線AB：的距離，則，所以的面積是12.19、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)，原不等式等價于，分類討論即可得出結(jié)論；（2）不等式對任意恒成立，即，即可求實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，原不等式等價于，當(dāng)時，，解得，即；當(dāng)時，恒成立，即；當(dāng)時，，解得，即；綜上，不等式的解集為；（2），，即或，解得，∴a取值范圍是.20、（1）（2）【解析】首先用列舉法，求得甲、乙兩人各抽一題的所有可能情況.（1）根據(jù)上述分析，分別求得“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題（2）根據(jù)上述分析，求得“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率，根據(jù)對立事件概率計算公司求得“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題【詳解】把3個選擇題因此基本事件的總數(shù)為.（1）記“甲抽到選擇題（2）記“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題【點睛】本小題主要考查互斥事件概率計算，考查對立事件，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）【解