一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)z滿足（其中i）A.的實(shí)部是2B.的虛部是C.D.【答案】D【解析】ABC斷D.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以.因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部是1，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閺?fù)數(shù)的虛部是2，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閺?fù)數(shù)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閺?fù)數(shù)，故D正確.故選：D2.已知l，m，n表示不同的直線，α，β，γ表示不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若l∥α，且m∥α，則l⊥mB.若α⊥β，m∥α，n⊥β，則m∥nC.若m∥l，且m⊥α，則l⊥αD.若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥β【答案】C【解析】【詳解】若l∥α，且m∥α，則l，m可能平行、相交或異面，并不一定垂直，故A錯(cuò)誤；若α⊥β，m∥α，n⊥βmnBm∥lm⊥α性質(zhì)可得l⊥αCm⊥nm⊥α不能得到n⊥αn∥βα⊥βD錯(cuò)誤．故選C.第1頁(yè)/共22頁(yè)

3.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由得到，再由向量夾角公式即可求解.【詳解】設(shè)與的夾角為，∵，∴，∴，∴，又，∴，∵，∴．故選：D．4.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用與的關(guān)系，可得數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式以及通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，第2頁(yè)/共22頁(yè)

兩式作差可得：，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，故選：C與項(xiàng)和的公式，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)是奇函數(shù)，則（）A.B.C.5D.10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換以及奇函數(shù)性質(zhì)，可得函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，得到，進(jìn)而求得即可得答案.【詳解】由的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，即該函數(shù)圖象關(guān)于中心對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，所以，因此，，，第3頁(yè)/共22頁(yè)

所以，故選：A.6.在正方體中，棱長(zhǎng)為為棱上靠近的三等分點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合平面基本事實(shí)作出截面，再利用截面的幾何特征求其面積.【詳解】在正方體中，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，如圖，由平面平面，平面平面，平面平面，得，又，且，因此四邊形是等腰梯形，且為平面截正方體的截面.在等腰梯形中，過(guò)作，，所以截面面積.故選：C7.的圓臺(tái)形水桶（軸截面如圖所示）來(lái)測(cè)量降水量，若在一次降雨過(guò)程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，第4頁(yè)/共22頁(yè)

則本次降雨的降水量為（精確到）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)梯形性質(zhì)得到水面直徑和水深，利用圓臺(tái)公式得到降水體積，再由降水量是降水體積與上口面積之比得到降水量.【詳解】水深為，水面直徑，根據(jù)圓臺(tái)體積公式得降水體積，則降水量為.故選：D.8.平面，是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡是（）A.B.C.D.第5頁(yè)/共22頁(yè)

【答案】A【解析】【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，由題證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，取，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，利用長(zhǎng)度相等推得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程即可逐一判斷．【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，因平面平面，由可得，因平面平面，平面，故平面，易得，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，不妨取，則，則，．由點(diǎn)在平面內(nèi)，可設(shè)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得：，故點(diǎn)CDBA正確．故選：A.二、多選題：本題共3小題，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.下列命題正確的是（）A.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體為棱臺(tái)B.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)C.棱錐是由一個(gè)底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體D.球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面【答案】CD【解析】【分析】第6頁(yè)/共22頁(yè)

根據(jù)空間幾何體的定義，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷正誤即可．A各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交與一點(diǎn)，錯(cuò)誤；對(duì)于B，用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不一定為棱臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC截面與底面平行，錯(cuò)誤；對(duì)于C，由棱錐的定義知由一個(gè)底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體是棱錐，正確；對(duì)于D，球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，正確；故選：CD.10.菱形ABCD中，，，將沿對(duì)角線BD翻折到位置，連結(jié)PC，得到三棱錐，則（）A.B.存在某個(gè)位置，使C.三棱錐的體積最大值為3D.存在某個(gè)位置，使平面【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)線面垂直，轉(zhuǎn)化證明線線垂直，即可證明AB；根據(jù)面面的位置關(guān)系，即可求解體積的最大值，即可判斷C；根據(jù)反證法，即可判斷D.【詳解】A.如圖，連結(jié)對(duì)角線，交于點(diǎn)，，沿翻折后得到如圖三棱錐，則，，且，平面，平面，則平面，平面，所以故A正確；B.當(dāng)時(shí)，此時(shí)三棱錐為正四面體，取的中點(diǎn)，連結(jié)，所以，，且，所以平面，平面，所以第7頁(yè)/共22頁(yè)

，故B正確；C.當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)平面平面時(shí)，，則平面，，，此時(shí)正四面體的體積，故C錯(cuò)誤；D.若平面，則，因?yàn)椋耘c不可能垂直，所以不存在某個(gè)位置，使平面，故D錯(cuò)誤.故選：AB半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，若它的所有棱長(zhǎng)都為，則（）第8頁(yè)/共22頁(yè)

A.被截正方體的棱長(zhǎng)為2B.被截去的一個(gè)四面體的體積為C.該二十四等邊體體積為D.該二十四等邊體外接球的表面積為【答案】ACD【解析】【分析】由已知可推得，二十四等邊體各個(gè)頂點(diǎn)均為正方體各個(gè)棱的中點(diǎn)，即可得出A項(xiàng)；根據(jù)A項(xiàng)，可知四面體是三條側(cè)棱兩兩垂直，即可得出三棱錐的體積，判斷B項(xiàng)；根據(jù)B項(xiàng)的結(jié)果，以及正方體的體積公式，即可得出C項(xiàng)；設(shè)球心為，連結(jié)，取中點(diǎn)為，連結(jié)，構(gòu)造，根據(jù)勾股定理，即可求出，即外接球的半徑為，即可求出表面積得出D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可推得，二十四等邊體的各個(gè)頂點(diǎn)均為正方體各個(gè)棱的中點(diǎn)，如圖1，則，所以，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，如圖1，由A知，四面體是三條側(cè)棱兩兩垂直，且長(zhǎng)度為的三棱錐，所以第9頁(yè)/共22頁(yè)

，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，正方體的體積為，所以該二十四等邊體的體積為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，如圖2，設(shè)球心為，顯然是正方體的中心，連結(jié)，取中點(diǎn)為，連結(jié)，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.又，，所以，在中，有，所以，所以，該二十四等邊體外接球的半徑，表面積為，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.______.【答案】1【解析】【分析】應(yīng)用商數(shù)關(guān)系、和差角的正余弦公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.【詳解】方法一：原式=.第10頁(yè)/共22頁(yè)

方法二：令，即.，則，即，即，則.故答案為：113.已知正四面體的棱長(zhǎng)是1是棱是棱MN的長(zhǎng)是___________．【答案】##【解析】【分析】取空間向量的一個(gè)基底，表示出向量，再利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算律求解.【詳解】在正四面體中，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則，因此.故答案為：，第11頁(yè)/共22頁(yè)

14.在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且滿足．若A，B，C，D四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)D與點(diǎn)A位于直線BC的兩側(cè)．，，則AD=______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)余弦定理，結(jié)合不等式以及三角函數(shù)的有界性可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而由余弦定理即可求解.詳解】由，與相加可得，由于，所以,所以,由于,故，如圖可知：,，,在中，由余弦定理可得,解得或故答案為：第12頁(yè)/共22頁(yè)

四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列滿足，，設(shè).（1）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（12）【解析】1）將所給條件式子兩邊同時(shí)除以，即可由證明為常數(shù).（2）由（1）可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式和的通項(xiàng)公式，代入可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)法即可求得前n項(xiàng)和.1）數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列.由條件，將兩邊同時(shí)除以得，化簡(jiǎn)得，即，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，∴，第13頁(yè)/共22頁(yè)

∴，從而，故.【點(diǎn)睛】本題考查了由遞推公式證明等差數(shù)列的方法，裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用，屬于中檔題.16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的對(duì)稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間：（2）若銳角外接圓半徑為，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）對(duì)稱中心為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】1）先利用二倍角的三角函數(shù)和和差倍角的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對(duì)稱中心和遞增區(qū)間.（2值和長(zhǎng)的范圍.【小問(wèn)1詳解】，由，得，第14頁(yè)/共22頁(yè)

所以函數(shù)的對(duì)稱中心為，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋傻?，所以，又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，解得，又因?yàn)殇J角外接圓半徑為，所以，所以，所以，又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以周長(zhǎng)的取值范圍為．第15頁(yè)/共22頁(yè)

17.設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，試判斷在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；【答案】（1）；（2）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；【解析】1）根據(jù)題意，求得，得到，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）若，求得，設(shè)，求得函數(shù)為奇函數(shù)，以及和的區(qū)間，得出函數(shù)單調(diào)單調(diào)性，進(jìn)而得到答案.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)，可得，則，，故曲線在處的切線方程為.【小問(wèn)2詳解】若，則，則，設(shè)，則，可得，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，這時(shí)，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，綜上可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，第16頁(yè)/共22頁(yè)

又由，，故在上恒成立，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.18.已知雙曲線的焦距為，且的焦點(diǎn)到漸近線的距離為.（1）求的方程.（2的右頂點(diǎn)為與交于點(diǎn)（都異于點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn).（3）若動(dòng)直線過(guò)（2）中的定點(diǎn)，且與的左?右支分別交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】1）根據(jù)條件，利用點(diǎn)到直線的距離公式，得到，再利用間的關(guān)系，求出，即可求解；（2數(shù)間的關(guān)系得，再結(jié)合條件得，從而得或，即可求解；（3）分直線斜率為和不為兩種情況，直線斜率為時(shí)，直接求出坐標(biāo)，即可求解，當(dāng)斜率不為，直線為，聯(lián)立雙曲線方程，利用根與系數(shù)間的關(guān)系得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，即第17頁(yè)/共22頁(yè)

由題有，又，所以，所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由，消得，則，，因?yàn)椋?，所以，則，即，所以，整理得到，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線方程為，直線過(guò)點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，直線方程，直線過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)3詳解】由（2）知，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)，由，消得，第18頁(yè)/共22頁(yè)

則，且，所以，因?yàn)?，所以，?19.減去多面體在該點(diǎn)處所有面角之和；②多面體的總曲率等于多面體所有頂點(diǎn)的曲率之和，多面體各頂點(diǎn)的平均曲率等于它的總曲率與頂點(diǎn)數(shù)之商，其中多面體的面的內(nèi)角叫作多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為，故其各個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為．（11的底面ABCD為菱形，O為BD平面ABCD，．①求該四棱錐在頂點(diǎn)P處的曲率的余弦值；第19頁(yè)/共22頁(yè)

②求二面角的平面角的正弦值；（2）瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他對(duì)簡(jiǎn)單多面體進(jìn)行研究后，提出了著名的歐拉定理：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)VE與面數(shù)F滿足列問(wèn)題：碳60（）具有超導(dǎo)特性、抗化學(xué)腐蝕性、耐高壓以及強(qiáng)磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料．它的分子結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖2所示．已知碳（）的分子結(jié)構(gòu)是一個(gè)由60個(gè)C原子構(gòu)成的分子，這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，試求碳60（）各頂點(diǎn)的平均曲率．【答案】（1）①；②．（2）【解析】1ACABCDBDAC交于點(diǎn)O底面ABCD用余弦定理可求得，記四棱錐在點(diǎn)P處的曲率為，則，計(jì)算即可；②以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OA，OB，OP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，求得平面PAB的一個(gè)法向量，求得平面ABCD的一個(gè)法向量，利用向量法可求得二面角的平面角的正弦值；（2）設(shè)碳60（）共