專題07函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性、周期性【學(xué)問(wèn)點(diǎn)梳理】1、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間：假如對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是增函數(shù)．假如對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個(gè)自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間=1\*GB3①單調(diào)區(qū)間的定義：假如函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．=2\*GB3②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)．2、函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)假如對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱奇函數(shù)假如對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱推斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：假如或，則函數(shù)為偶函數(shù)；假如或，則函數(shù)為奇函數(shù)．留意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）．3、函數(shù)的對(duì)稱性（1）若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．（2）若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．（3）若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．（4）若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．4、函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)，假如存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期．（2）最小正周期：假如在周期函數(shù)的全部周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做的最小正周期．【方法技巧與總結(jié)】1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；②變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；③定號(hào)：推斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的推斷方法①定義法：依據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，依據(jù)“取值—變形—推斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行推斷．②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，依據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，推斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對(duì)我們所生疏的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2、奇偶性技巧（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．（8）常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．留意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且．5、對(duì)稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．【典型例題】例1．（2025·北京順義·高三統(tǒng)考期末）已知在上單調(diào)遞減，且，則下列結(jié)論中肯定成立的是（

）A． B．C． D．例2．（2025·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B．C． D．例3．（2025·四川南充·統(tǒng)考模擬猜測(cè)）函數(shù)在上是減函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．例4．（2025·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例5．（2025·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減例6．（2025·北京西城·高三北師大試驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足：在單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例7．（2025·全國(guó)·高三期末）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則等于（

）A． B． C． D．或例8．（2025·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間的最大值是M，最小值是m，則的值等于(

)A．0 B．10 C． D．例9．（2025·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知為奇函數(shù)，則（

）A． B．2 C．1 D．例10．（2025·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）已知是奇函數(shù)，則（

）A．－1 B．1 C．－2 D．2例11．（2025·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．是周期函數(shù)，且2是其一個(gè)周期C．D．例12．（2025·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有且則（

）A． B． C．1 D．0例13．（2025·陜西咸陽(yáng)·咸陽(yáng)市試驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┖瘮?shù)為偶函數(shù)，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，則．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2025·河南·高三專題練習(xí)）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2025·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則（

）.A． B．C． D．3．（2025·北京·高三北京市第三十五中學(xué)?？计谀┫铝泻瘮?shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．4．（2025·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．C． D．5．（2025·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．6．（2025·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬猜測(cè)）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，則使得的的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2025·遼寧朝陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2025·全國(guó)·模擬猜測(cè)）若函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．（2025·江蘇徐州·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．10．（2025·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．（2025·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)校考期末）已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．（2025·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谀┮阎獮槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則（

）A． B． C． D．13．（2025·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．14．（2025·廣東茂名·統(tǒng)考一模）函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C．0 D．215．（2025·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則（

）A． B． C．2 D．416．（2025·全國(guó)·模擬猜測(cè)）己知函數(shù)的定義域?yàn)槿?，則（

）A． B． C． D．17．（2025·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，，且，則（

）A． B． C．0 D．18．（2025·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知是上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．3 B． C．255 D．19．（2025·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？计谀┮阎x在上的函數(shù)，滿足，，若，則（

）A．2 B． C． D．20．（2025·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榕己瘮?shù)，，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．C． D．21．（2025·山東·高三山東省試驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．二、多選題22．（2025·新疆烏魯木齊·高三烏市八中校考階段練習(xí)）若函數(shù)的最小值為，則的值為（

）A． B．C． D．23．（2025·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意實(shí)數(shù)，滿足：．且，當(dāng)時(shí)，．則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為上的減函數(shù)24．（2025·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小正周期為4 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在內(nèi)至少有5個(gè)零點(diǎn)25．（2025·海南·校聯(lián)考模擬猜測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，為偶函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C． D．26．（2025·山東泰安·高三?？茧A段練習(xí)）已知是定義在R上的函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．對(duì)，恒成立C．函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D．27．（2025·全國(guó)·模擬猜測(cè)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足不恒為零，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．在[0，10]上有6個(gè)零點(diǎn)三、填空題28．（2025·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知，求.29．（2025·貴州·校聯(lián)考模擬猜測(cè)）已知函數(shù)，則的最大值是.30．（2025·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.31．（2025·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則.32．（2025·四川內(nèi)江·高三校考階段練習(xí)）已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式．33．（2025·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，．34．（2025·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高三?？计谀┮阎瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則35．（2025·陜西西安·西安一中校考模擬猜測(cè)）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足當(dāng)時(shí)，，且是奇函數(shù)，則.36．（2025·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則的值為．37．（2025·浙江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則.38．（2025·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值為.39．（2025·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谀┰谏蠞M足，且在上是遞減函數(shù)，若，則的取值范圍是.40．（2025·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減，且，則不等式的解集為.41．（2025·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)滿足對(duì)任意的，都有，若在區(qū)間[－2017，2017]上的最大值和最小值分別為M，m，則.42．（2025·甘肅武威·高三統(tǒng)考期末）奇函數(shù)滿足，則.43．（2025·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，則.44．（2025·山東·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考期末）函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．45．（2