第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年廣東省廣州市仲元中學(xué)高三（上）1月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)全集U={x∈Z|(x+4)(x?3)<0}，集合A={0,1,2}，則集合?UA為(

)A.{?4,?3,?2,?1} B.{?3,?2,?1}

C.{?3,?2,?1,3} D.?2.已知向量a=(1,0)，b=(2,3)，c=(1,?1)，若(λa+A.?5 B.?1 C.1 D.53.設(shè)z=32?i3，則其共軛復(fù)數(shù)zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，a2=6，A.?9 B.14 C.21 D.265.中國載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個國家能夠獨(dú)立開展載人航天活動.從神話“嫦娥奔月”到古代“萬戶飛天”，從詩詞“九天攬?jiān)隆钡奖诋嫛笆伺w天”……千百年來，中國人以不同的方式表達(dá)著對未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個容器，其內(nèi)部可以看成由一個圓錐和一個圓柱組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2，圓柱的高為6，圓錐的高為4.若將其內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7，則該容器中液體的體積為(

)A.325π12

B.76π3

C.215π96.已知直線l：mx+y?m?1=0與圓O：x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|為整數(shù)，則這樣的直線lA.2 B.3 C.4 D.57.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)在區(qū)間(π12,7π12)單調(diào)遞減，且(5πA.12 B.?12 C.?8.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=2|x?1|?1,0<x≤212f(x?2),x>2，則函數(shù)g(x)=xf(x)?1A.?32 B.32 C.16 D.8二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是(

)A.若α//β，m?α，n?β，則m//n B.若m⊥α，m//n，n⊥β，則α//β

C.若α⊥β，m⊥α，則m//β D.若m⊥α，m//n，n//β，則α⊥β10.為研究光照時長x(小時)和種子發(fā)芽數(shù)量y(顆)之間的關(guān)系，某課題研究小組采集了10組數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖如圖所示，并進(jìn)行線性回歸分析，若去掉點(diǎn)P后，下列說法正確的是(

)A.相關(guān)系數(shù)r變小

B.經(jīng)驗(yàn)回歸方程斜率變大

C.殘差平方和變小

D.決定系數(shù)R211.已知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，其中n∈N?，0<p<1，記X為奇數(shù)的概率為a，X為偶數(shù)的概率為b，則下列說法中正確的有(

)A.a+b=1 B.p=12時，a=b

C.0<p<12時，a隨著n的增大而增大 D.12三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知(3x+ax)(2x?1x)7的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為4，則實(shí)數(shù)a13.設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為C的左頂點(diǎn)，P，14.已知函數(shù)f(t)=(1t?1+m)lnt，當(dāng)t∈(1,2]時，f(t)≤2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=2，點(diǎn)D，E分別是棱PB，PC的中點(diǎn)．

(1)證明：PC⊥平面ABE；

(2)若二面角B?AE?D的余弦值為63，求AB16.(本小題15分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，2(b?c)sinA+C2cosπ?B2=asinA?csinC．

(1)若a=2，求△ABC面積的最大值；

(2)若B=π3，在△ABC邊AC的外側(cè)取一點(diǎn)D(點(diǎn)D在△ABC外部)，使得DC=1，17.(本小題15分)

為研究一種新藥的耐受性，要對白鼠進(jìn)行連續(xù)給藥后觀察是否出現(xiàn)F癥狀的試驗(yàn)，該試驗(yàn)的設(shè)計(jì)為：對參加試驗(yàn)的每只白鼠每天給藥一次，連續(xù)給藥四天為一個給藥周期，試驗(yàn)共進(jìn)行三個周期.假設(shè)每只白鼠給藥后當(dāng)天出現(xiàn)F癥狀的概率均為13，且每次給藥后是否出現(xiàn)F癥狀與上次給藥無關(guān)．

(1)從試驗(yàn)開始，若某只白鼠連續(xù)出現(xiàn)2次F癥狀即對其終止試驗(yàn)，求一只白鼠至少能參加一個給藥周期的概率；

(2)若在一個給藥周期中某只白鼠至少出現(xiàn)3次F癥狀，則在這個給藥周期后，對其終止試驗(yàn)，設(shè)一只白鼠參加的給藥周期數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．18.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)P(2,2)，短軸長為4．

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)H(m,0)且m≥2，若橢圓C上的點(diǎn)到H的距離的最小值是3，求實(shí)數(shù)m的值；

(3)橢圓C與y軸的交點(diǎn)為A、B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線l：y=kx+4與橢圓C19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=?cosx，g(x)=x22?1,x∈[0,+∞)．

(1)判斷g(x)≥f(x)是否成立，并給出理由；

(2)①證明：當(dāng)0<m<n<π2時，sinm?sinnm?n>cosn；

參考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.A

6.B

7.D

8.D

9.BD

10.BC

11.ABC

12.1

13.214.2ln215.解：(1)證明：在△PAC中，由PA=AC，E為PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC，

∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PA⊥AB，

又AB⊥AC，PA∩AC=A，且PA?平面PAC，AC?平面PAC，

∴AB⊥平面PAC，

∵PC?平面PAC，∴AB⊥PC，

又AB∩AE=A，且AB?平面ABE，AE?平面ABE，

∴PC⊥平面ABE．

(2)由題可知PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

以AB,AC,AP方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，

不妨設(shè)AB=2a(a>0)，則A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(a,0,1)，E(0,1,1)，

∴AD=(a,0,1)，AE=(0,1,1)，PC=(0,2,?2)，

設(shè)平面ADE的一個法向量為n1=(x1,y1,z1)，

則n1⊥ADn1⊥AE，則n1?AD=0n1?AE=0，∴ax1+0+z1=00+y1+z1=0，

令x1=1，則y1=a，z1=?a，∴n1=(1,a,?a)，

由(1)可知，平面ABE的一個法向量可取為PC=(0,2,?2)，

∵二面角B?AE?D的余弦值為63，

∴|cos<n1,PC>|=63，

即4a1+2a2×22=63，

解得a=1，

∴AB=2．

16.(1)解：由2(b?c)sinA+C2cosπ?B2=asinA?csinC，

因?yàn)锳+C=π?B，得2(b?c)sinπ?B2cos17.(1)設(shè)“一只白鼠至少能參加一個給藥周期”為事件M，則M的對立事件是一個給藥周期也沒有參加完，

設(shè)一次給藥出現(xiàn)F癥狀為事件A，則一個一個給藥周期也沒有參加完的概率為：

P(M?)=P(AA)+P(A?AA)=(13)2+23×(13)2=527．

∴一只白鼠至少能參加一個給藥周期的概率為：

P(M)=1?P(M?)=1?527=2227．

(2)設(shè)事件B為“在一個給藥周期中某只白鼠至少出現(xiàn)3

X

1

2

3

P

1

8

64E(X)=1×118.解：(1)由題意得橢圓過點(diǎn)P(2,2)，且短軸長為4，

所以4a2+2b2=12b=4，解得b=2a=22，

所以橢圓C的方程為x28+y24=1；

(2)設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0)為橢圓C上任一點(diǎn)，則x028+y024=1，所以y02=4?x022，

則點(diǎn)Q到H的距離為d=(x0?m)2+y02=12x02?2mx0+m2+4=12(x0?2m)2?m2+4，

由于Q(x0,y0)在橢圓上，所以x0∈[?22,22]，

令y=12(x0?2m)2?m2+4，其對稱軸為x0=2m，

由題知m≥2，此時函數(shù)y=12(x0?2m)2?m2+4在[?22,22]上單調(diào)遞減，

則當(dāng)x0=22時，函數(shù)取得最小值，

19.(1)解：g(x)≥f(x)成立，理由如下：

令h(x)=g(x)?f(x)=x22+cosx?1，h′(x)=x?sinx，

令k(x)=x?sinx，則k′(x)=1?cosx≥0，

所以k(x)=x?sinx在[0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以k(x)≥k(0)=0，即h′(x)≥0，所以h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以h(x)≥h(0)=0，所以g(x)≥f(x)成立．

(2)證明：①當(dāng)0<m<n<π2時，要證sinm?sinnm?n>cosn，

即證(m?n)cosn?sinm+sinn>0，

令r(x)=(x?n)cosn?sinx+sinn，其中