4.3.1

等比數(shù)列的概念

及通項公式

(第1課時)情境導入

我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)”,類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運算的角度出發(fā)，你

覺得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的?請看下面幾個問題中的數(shù)列.情境1:兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數(shù)列：9,92,93,…,910;①100,1002,1003,…,10010;

②5,52,53,…,510.③情境2:

《莊子·

天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”,那么從第一天開始，各天得到的“棰”的新知

探

索長度依次是

是

2

,

4

,

8

,

1

6

,

3

2

,

6

4

,

…

.

⑤情境4:某人存入銀行a元，存期為5年，年利率為r,那么按照復利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)?,a(1+r)?

.復利是指把前一期的利息和本金加在

一起算作本金，再計算下一期的利息.情境3:在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20min

就通過分裂繁殖一代，每一個細菌都分裂成兩個，那么一

個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個數(shù)依次新

知探

索問題1:類比等差數(shù)列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律?你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?我們可以通過除法運算探究以上數(shù)列的取值規(guī)律.如果用{an}表示數(shù)列①,那么有

這表明，數(shù)列①有這樣的規(guī)律：從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于9.其余幾個數(shù)列也有這樣的取值規(guī)律，請你寫出相應的規(guī)律.新

知

探

索一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，

這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常會思考1:類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎?與等差中項類似，如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.此時，G2=ab.新知探索表示(顯然q≠0

).用字母問題2:你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導出它的通項公式嗎?設一個等比數(shù)列{an}的公比為q.根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得：an+1=an

·q.所以

a?=a?qa?=a?q=(a?9)q=a?q2,a?=a?q=(a?q2)q=a?q3,由此可得，an=a?qn-1(n≥2).又a?=a?q?=a?q1-1,

這就是說，當n=1時上式也成立.因此，首項為a?,

公比為q的等比數(shù)列{an}的通項公式為：an=a?qn-1.新

知探

索所以

所以，(n-1)

個由此可得，an=a?qn-1.問題3:你能用其他的方法推導出等比數(shù)列的通項公式嗎?設一個等比數(shù)列{an}的公比為q.根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得：新

知探

索累

乘

法類比于等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系，由可知，當q>0

且q≠1

時，等比數(shù)列{an}的第n項是函數(shù)(x∈R)

當x=n

時的函數(shù)值，即an=f(n)

(如圖所示).反之，任給函數(shù)f(x)=ka×(k,a為常數(shù)，k≠0,a>0,

且a≠1),則f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…構(gòu)成一個等比數(shù)列{kan},其首項為ka,公比為a.f(x)rw)=3

·

(5,a?)(4,a/(3,a?)(2,a?)(1,中，)o新知

探

索a4a3a50<q<1q>1q=1指數(shù)函數(shù)y=q×的單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增等比數(shù)列an=q"的單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞增不變等比數(shù)列an=a?qn-1的

單調(diào)性a?

>0單調(diào)遞減單調(diào)遞增不變a?

<0單調(diào)遞增單調(diào)遞減不變問題4:類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，說說公比q>0

的等比數(shù)列的單調(diào)性.新知探索辨析1.判斷正誤.(1)等比數(shù)列中至少含有三項.

()(2)等比數(shù)列每相鄰兩項的比都相同.

(

)(3)等比數(shù)列的首項不能為0,但公比可以為0.

(

)(4)任意兩個數(shù)都有等比中項.

()(5)若G2=ab,

則G

一定是a,b

的等比中項

.

()(6)等比數(shù)列{an}的首項為1,公比為2,則an=2n-1.()(7)數(shù)列a,a3,a?

,a?

,…

的通項公式為an=a2n-1.

()答案：

√

,

√

,×,×,×,√

,×

.新

知

探

索辨析2.2+

√

3與2-

√

3的等比中項為(

).A.1B.-1

C.±1

D.2答

案

：C.辨析3.在等比數(shù)列{an}

中，a?=2,a?=16,則數(shù)列

{an}的公比是().A.-2B.√2C.2D.4答

案

：C.新知探索例1.若等比數(shù)列{an}的第4項和第6項分別為48和12,求{an}的第5項.解法一：由

得②的兩邊分別除以①的兩邊，得

.

解得

或把

,

得a?=384.此時，,

得a?

=-

384.

此時，因此，{an}的第5項是24或-24.例

析把例1.若等比數(shù)列{an}的第4項和第6項分別為48和12,求{an}的第5項.解法二：因為a?是a?

與a?的等比中項，所以a?2=a?a?=48×12=576.所以，a?=±√576=±24.因此，{an}的第5項是24或-24.例

析an=a?qn-1.

②②的兩邊分別除以①的兩邊，所以，an=amqn-m.例2.已知等比數(shù)列{an}的公比為q,

試用{an}的第m

項am

表示an.解：由題意，得

①等比數(shù)列的任意一項都可以由該數(shù)列

的某一項和公比表示.例

析例3.數(shù)列{an}共有5項，前三項成等比數(shù)列，后三項成等差數(shù)列，第3項等于80,第2項與第4項的和等于136,第1項與第5項的和等于132.求這個數(shù)列.解：設前三項的公比為q,后三項的公差為d,則數(shù)列的各項依次為80+d,80+2d.

于是得：解

所以這個數(shù)列是20,40,80,96,112或180,120,80,16,-48

.例

析題型一：等比數(shù)列的通項公式例1.在等比數(shù)列{an}中，(1)a?=2,a?

=8,

求an;解(1):設首項為a?,

公比為q.[法一]∵由

,

從

而q=4,[法二]∵a?=a?q3,∴q3=4,q=3√4.練

習而a?q3=2,∴

即2n-6=1=2?,∴n=6.例1.在等比數(shù)列{an}中，(2)a?+a?=18,a?+a?=9,an=1,

求n.解(2):[法一由a?9+a?q?=18,

知a?=32.由an=a?qn-1=1,

知n=6.練

習[法二]∵

a?+a?=9=q(a?+a?),∴得從而a?=32,由等比數(shù)列通項公式的求法1.根據(jù)已知條件，建立關于a?,q

的方程組，求出a?,q

后再求出an,

這是常規(guī)方法.2.充分利用各項之間的關系，直接求出q后，再求a?

,

最后求an,

這種方法帶有一

定的技巧性，能簡化運算.練習方法技巧：變1.已知{an}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，則log?a2022=

答案：2021.解：∵a?=1,q=3,∴an=a?qn-1=3n-1,∴a2022=32021,即log?a2022

=log?32021=2021.練

習題型二：等比中項例2.等比數(shù)列{an}的前三項之和為168,a?-a?=42,

求的等比中項.解：設等比數(shù)列{an}首項為a?

,

公比為q.∵a?-a5=42,∴q≠1,由已知得

練

習即G=±3.∴a?與a?

的等比中項是±3.例2.等比數(shù)列{an}的前三項之和為168,a?-a?=42,求a?

與a?

的等比中項.練

習設G是a?,a?

的等比中項，方法技巧：1.由等比中項的定義可知G2=ab→G=±

√ab,所以只有a,b

同號時，a,b的等比中項有兩個，異號時，沒有等比中項.2.在一個等比數(shù)列中，從第二項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項

和后一項的等比中項.3.a,G,b

成等比數(shù)列等價于G2=ab(ab>0).練

習變2.如果-1,a,b,c,-9成等比數(shù)列，那么(

).

A.b=3,ac=9

B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9

D.b=-3,ac=-9答案：B.解：∵b2=ac=(-1)×(-9)=9,且b與首項-1同號，∴b=-3,

且a,c

必同號.∴ac=b2=9.練

習題型三：等比數(shù)列的判定與證明例3.在數(shù)列{an}中，若an>0,

且an+1=2an+3(n∈N*).證明：數(shù)列{an+3}

是等比數(shù)列.證明：[定義法]∵

an>0,∴an+3>0.又∵an+1=2an+3,∴數(shù)列{an+3}

是首項為a?+3,

公比為2等比數(shù)列.練

習例3.在數(shù)列{an}中，若an>0,

且an+1=2an+3(n∈N*).

證明：數(shù)列{an+3}

是等比數(shù)列.證明：[等比中項法]∵

an>0,∴an+3>0.又∵an+1=2an+3,∴an+2=4an+9.∴(an+2+3)(an+3)=(4an+12)(a?+3)=(2an+6)2=(an+1+3)2

.即an+3,an+1+3,an+2+3成等比數(shù)列，∴數(shù)列{an+3}

是等比數(shù)列.練

習方法技巧：證明數(shù)列是等比數(shù)列的常用的方法1.定義法：

常數(shù)且q≠0)(q

為常數(shù)且q≠0,n≥2)

→

{an}

為等比數(shù)列.2.

等比中項法：an+12=an·an+2(an≠0,n∈N*)?{an}

為等比數(shù)列.練

習變3.已知數(shù)