上半年廣東省初級統(tǒng)計(jì)師統(tǒng)計(jì)分布的概念考試試題及答案1.【單選】在統(tǒng)計(jì)推斷中，若總體服從N(μ,σ2)，σ2未知，樣本容量n=16，則樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)化變量服從A.N(0,1)?B.t(15)?C.χ2(15)?D.F(1,15)答案：B解析：σ2未知且樣本來自正態(tài)總體，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替σ，統(tǒng)計(jì)量T=(X?-μ)/(S/√n)服從自由度為n-1=15的t分布。2.【單選】設(shè)隨機(jī)變量X~Exp(λ)，則其變異系數(shù)為A.1?B.λ?C.1/λ?D.λ2答案：A解析：指數(shù)分布期望E(X)=1/λ，標(biāo)準(zhǔn)差σ=1/λ，變異系數(shù)CV=σ/μ=1。3.【單選】若X~Bin(10,0.3)，Y~Bin(10,0.7)，且X與Y獨(dú)立，則P(X+Y=10)=A.0?B.0.31??C.0.71??D.1答案：D解析：X+Y=10意味著X取k則Y必取10-k，但Y的試驗(yàn)次數(shù)也是10，故k+(10-k)=10恒成立，概率為1。4.【單選】對正態(tài)總體N(μ,σ2)進(jìn)行容量為n的抽樣，若σ2已知，則μ的1-α置信區(qū)間長度為A.2σz_{α/2}/√n?B.σz_{α/2}/√n?C.2σt_{α/2}(n-1)/√n?D.2σz_{α}/√n答案：A解析：區(qū)間長度=2×臨界值×標(biāo)準(zhǔn)誤，σ已知用z，故為2σz_{α/2}/√n。5.【單選】設(shè)X~Poisson(λ)，則E(X2)=A.λ?B.λ+λ2?C.λ2?D.λ-λ2答案：B解析：泊松分布Var(X)=λ，E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=λ+λ2。6.【單選】若F~F(m,n)，則1/F服從A.F(n,m)?B.F(m,n)?C.χ2(n)?D.t(n)答案：A解析：F分布倒數(shù)性質(zhì)：若F~F(m,n)，則1/F~F(n,m)。7.【單選】設(shè)X~N(0,1)，Y~N(0,1)且獨(dú)立，則Z=X/√(Y2/1)服從A.t(1)?B.t(2)?C.F(1,1)?D.χ2(1)答案：A解析：Z為單個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)與√(χ2(1)/1)之比，即自由度為1的t分布。8.【單選】對0-1總體進(jìn)行不放回抽樣，容量n=50，總體比例P=0.2，則樣本比例的方差為A.0.2×0.8/50?B.0.2×0.8/50×(N-50)/(N-1)?C.0.2×0.8/49?D.0.2/50答案：B解析：有限總體修正，方差=P(1-P)/n×(N-n)/(N-1)。9.【單選】若X~U(a,b)，則其中位數(shù)為A.(a+b)/2?B.a?C.b?D.(b-a)/2答案：A解析：均勻分布對稱，中位數(shù)=均值=(a+b)/2。10.【單選】設(shè)X~N(μ,1)，檢驗(yàn)H?:μ=0vsH?:μ=1，取拒絕域X?>0.5，n=4，則檢驗(yàn)的勢為A.Φ(1)?B.1-Φ(0)?C.1-Φ(-1)?D.Φ(0.5)答案：C解析：勢=P(拒絕H?|H?真)=P(X?>0.5|μ=1)=P(Z>(0.5-1)/(1/√4))=P(Z>-1)=1-Φ(-1)。11.【單選】若X~Gamma(α,β)，則其矩母函數(shù)為A.(1-βt)^{-α}?B.(1-βt)^{α}?C.e^{βt}?D.e^{αt}答案：A解析：Gamma矩母函數(shù)M(t)=(1-βt)^{-α},t<1/β。12.【單選】設(shè)X~N(10,4)，則P(X>12)=A.Φ(1)?B.1-Φ(1)?C.Φ(2)?D.1-Φ(2)答案：B解析：Z=(12-10)/2=1，P(X>12)=1-Φ(1)。13.【單選】對正態(tài)總體均值進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)，顯著性水平α=0.05，若n→∞，則拒絕域臨界值趨于A.1.96?B.1.645?C.0?D.∞答案：A解析：大樣本下樣本均值分布趨近正態(tài)，雙側(cè)α=0.05對應(yīng)z=1.96。14.【單選】若X~Bernoulli(p)，則其峰度為A.(1-6p(1-p))/[p(1-p)]?B.3?C.0?D.(1-2p)/√[p(1-p)]答案：A解析：伯努利峰度=[1-6p(1-p)]/[p(1-p)]，與p有關(guān)。15.【單選】設(shè)X~N(0,1)，則E|X|=A.√(2/π)?B.1?C.0?D.√π答案：A解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)半正態(tài)分布期望=√(2/π)。16.【單選】若X~χ2(k)，則其期望與方差分別為A.k,2k?B.k,k?C.2k,k?D.k,4k答案：A解析：χ2(k)期望=k，方差=2k。17.【單選】設(shè)X~N(μ,σ2)，則P(|X-μ|<σ)=A.Φ(1)-Φ(-1)?B.2Φ(1)-1?C.1-2Φ(-1)?D.以上都對答案：D解析：P(|X-μ|<σ)=P(-1<Z<1)=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1=1-2Φ(-1)。18.【單選】若X~Geo(p)，則其無記憶性表現(xiàn)為A.P(X>m+n|X>m)=P(X>n)?B.P(X=m+n)=P(X=m)P(X=n)?C.E(X+m)=E(X)+m?D.Var(X+n)=Var(X)答案：A解析：幾何分布唯一具有無記憶性的離散分布，A正確。19.【單選】設(shè)X~N(μ,1)，Y=X2，則Y的分布為A.χ2(1,μ2)?B.χ2(1)?C.N(μ2,1)?D.Exp(1)答案：A解析：非中心卡方，自由度1，非中心參數(shù)μ2。20.【單選】若X~Beta(a,b)，則其眾數(shù)為A.(a-1)/(a+b-2)?B.a/(a+b)?C.1/2?D.(a+1)/(a+b+2)答案：A解析：Beta眾數(shù)=(a-1)/(a+b-2)，當(dāng)a,b>1。21.【多選】下列哪些分布屬于指數(shù)族A.正態(tài)?B.二項(xiàng)?C.泊松?D.均勻?E.卡方答案：A,B,C,E解析：均勻分布無法寫成指數(shù)族標(biāo)準(zhǔn)形式。22.【多選】若X~N(0,1)，Y~N(0,1)獨(dú)立，則A.X+Y~N(0,2)?B.X-Y~N(0,2)?C.X2+Y2~χ2(2)?D.X/Y~Cauchy?E.X2/Y2~F(1,1)答案：A,B,C,D,E解析：獨(dú)立正態(tài)線性組合仍正態(tài)；卡方可加；柯西與F定義。23.【多選】關(guān)于t分布，正確的是A.對稱?B.峰度>3?C.隨自由度增大趨于N(0,1)?D.期望恒為0?E.方差恒為1答案：A,C,D解析：t峰度>3僅當(dāng)自由度>4；方差=df/(df-2),df>2。24.【多選】下列哪些統(tǒng)計(jì)量可用于檢驗(yàn)正態(tài)性A.Shapiro-Wilk?B.Kolmogorov-Smirnov?C.Jarque-Bera?D.Anderson-Darling?E.χ2擬合優(yōu)度答案：A,B,C,D,E解析：均為經(jīng)典正態(tài)性檢驗(yàn)。25.【多選】若X~Poisson(λ)，則A.期望=方差?B.可加性成立?C.矩母函數(shù)存在?D.眾數(shù)=?λ??E.峰度=3+1/λ答案：A,B,C,D,E解析：泊松全部性質(zhì)。26.【判斷】對任意隨機(jī)變量X，E(X2)≥[E(X)]2。答案：正確解析：方差非負(fù)，Var(X)=E(X2)-[E(X)]2≥0。27.【判斷】若X~N(μ,σ2)，則樣本均值X?與樣本方差S2獨(dú)立。答案：正確解析：正態(tài)總體下樣本均值與樣本方差獨(dú)立。28.【判斷】F分布與t分布之間不存在任何函數(shù)關(guān)系。答案：錯(cuò)誤解析：t2(df)~F(1,df)。29.【判斷】均勻分布U(a,b)的熵與(b-a)成正比。答案：正確解析：熵=ln(b-a)，與區(qū)間長度對數(shù)成正比。30.【判斷】對于二項(xiàng)分布Bin(n,p)，當(dāng)n→∞,p→0,np=λ，則趨近泊松(λ)。答案：正確解析：泊松定理。31.【填空】若X~N(3,4)，則P(X2-6X+9≤1)=______。答案：0.6826解析：X2-6X+9=(X-3)2≤1?|X-3|≤1?P(|Z|≤0.5)=2Φ(0.5)-1≈0.3829×2=0.6826。32.【填空】設(shè)X~Exp(λ)，則其中位數(shù)為______。答案：ln2/λ解析：解e^{-λm}=0.5?m=ln2/λ。33.【填空】若X~χ2(10)，則P(X>18.307)=______。答案：0.05解析：查表χ2?.??(10)=18.307，故右尾0.05。34.【填空】對正態(tài)總體σ=2，n=25，X?=15，則μ的95%置信區(qū)間上限為______。答案：15+1.96×2/5=15.784解析：σ已知用z，區(qū)間半寬=1.96×σ/√n=0.784。35.【填空】若X~Bin(100,0.5)，用正態(tài)近似求P(X=50)的修正結(jié)果為______。答案：P(49.5<X<50.5)≈Φ(0.1)-Φ(-0.1)=0.0796解析：連續(xù)性修正，σ=√25=5，z=(50.5-50)/5=0.1。36.【綜合】設(shè)某生產(chǎn)線袋裝鹽重量X~N(μ,σ2)，歷史σ=5g?，F(xiàn)抽取n=16袋，得x?=498g。(1)求μ的95%置信區(qū)間；(2)若要求估計(jì)誤差≤1g，求所需最小樣本量；(3)若新樣本n=25，x?=497g，s=6g，檢驗(yàn)H?:μ=500vsH?:μ<500(α=0.05)。答案與解析：(1)σ已知，區(qū)間=x?±z?.???σ/√n=498±1.96×5/4=498±2.45，即(495.55,500.45)g。(2)誤差E=zα/2σ/√n≤1?√n≥1.96×5/1=9.8?n≥97，取98。(3)σ未知用t，t=(497-500)/(6/5)=-2.5，臨界值-t?.??(24)=-1.711，-2.5<-1.711，拒絕H?，認(rèn)為均值顯著低于500g。37.【綜合】設(shè)X~Poisson(λ)，觀測值x=0出現(xiàn)20次，x=1出現(xiàn)15次，x=2出現(xiàn)10次，x≥3出現(xiàn)5次，共50個(gè)觀測。(1)求λ的矩估計(jì)；(2)求λ的極大似然估計(jì)；(3)用χ2檢驗(yàn)擬合優(yōu)度(α=0.05)。答案與解析：(1)樣本均值=(0×20+1×15+2×10+3×5)/50=0.9，矩估計(jì)λ?=0.9。(2)似然函數(shù)L∝e^{-50λ}λ^{45}，求導(dǎo)得λ?=45/50=0.9。(3)期望頻數(shù)：e?=50e^{-0.9}=20.48，e?=50×0.9e^{-0.9}=18.43，e?=50×0.92e^{-0.9}/2=8.30，e??=50-以上=2.79。合并末組，χ2=(20-20.48)2/20.48+…≈1.92，df=4-1-1=2，臨界值5.99，1.92<5.99，不拒絕，模型合適。38.【綜合】設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)，E(X)=E(Y)=0，Var(X)=Var(Y)=1，ρ=0.5。(1)求條件期望E(Y|X=x)；(2)求P(X+Y≤1)；(3)設(shè)Z=X2+Y2，求E(Z)。答案與解析：(1)E(Y|X=x)=ρx=0.5x。(2)X+Y~N(0,1+1+2ρ)=N(0,3)，P(X+Y≤1)=Φ(1/√3)=Φ(0.577)=0.718。(3)E(Z)=E(X2)+E(Y2)=1+1=2。39.【綜合】設(shè)X~Gamma(2,θ)，密度f(x)=xe^{-x/θ}/θ2,x>0。(1)求θ的矩估計(jì)；(2)求θ的MLE；(3)求Fisher信息量I(θ)。答案與解析：(1)E(X)=αβ=2θ，令樣本均值=X?，矩估計(jì)θ?=X?/2。(2)對數(shù)似然l=-2nlnθ+Σlnx_i-Σx_i/θ，求導(dǎo)得θ?=X?/2。(3)二階導(dǎo)數(shù)?2l/?θ2=2n/θ2-2Σx_i/θ3，期望I(θ)=-E(?2l/?θ2)=2n/θ2。40.【綜合】某市調(diào)查月租金X(元)，假設(shè)X~LN(μ,σ2)，隨機(jī)抽取n=100，得Σlnx_i=690，Σ(lnx_i)2=4830。(1)求μ與σ2的MLE；(2)求P(X>2000)；(3)求μ的95%置信區(qū)間。答案與解析：(1)μ?=690/100=6.9，σ?2=4830/100-6.92=48.3-47.61=0.69。(2)P(X>2000)=P(lnX>ln2000=7.6009)=P(Z>(7.6009-6.9)/√0.69)=P(Z>0.843)=0.199。(3)σ?2/n=0.0069，區(qū)間=6.9±1.96×√0.0069=6.9±0.163，即(6.737,7.063)。41.【綜合】設(shè)X~Bin(8,p)，觀測x=6。(1)求p的MLE；(2)求p的漸近方差；(3)構(gòu)造Wald統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)H?:p=0.5vsH?:p≠0.5。答案與解析：(1)p?=6/8=0.75。(2)漸近方差=p(1-p)/n=0.75×0.25/8=0.0234。(3)W=(0.75-0.5)/√(0.5×0.5/8)=0.25/0.1768=1.414，|1.414|<1.96，不拒絕。42.【綜合】設(shè)X~N(μ,σ2)，n=20，x?=12，s2=9。(1)求σ2的90%置信區(qū)間；(2)檢驗(yàn)H?:σ2=16vsH?:σ2≠16(α=0.10)。答案與解析：(1)χ2?.??(19)=10.117，χ2?.??(19)=30.144，區(qū)間=[(n-1)s2/30.144,(n-1)s2/10.117]=[19×9/30.144,19×9/10.117]=[5.67,16.91]。(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2=(n-1)s2/16=19×9/16=10.6875，落在(10.117,30.144)內(nèi)，不拒絕。43.【綜合】設(shè)X~U(0,θ)，n=1，觀測x=5。(1)求θ的MLE；(2)求θ的95%置信區(qū)間(用樞軸量法)。答案與解析：(1)MLEθ?=5。(2)樞軸量U=X/θ~U(0,1)，P(U≤u)=u，取u?.???=0.025，u?.???=0.975，則P(0.025≤X/θ≤0.975)=0.95?θ∈[X/0.975,X/0.025]=[5.128,200]。44.【綜合】設(shè)X~N(0,1)，Y=X2，求Cov(X,Y)。答案：0解析：Cov(X,X2)=E(X3)-E(X)E(X2)=0-0×1=0，因標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)奇階矩為0。45.【綜合】設(shè)X~Poisson(