概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試題及答案1.（單選）設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=k·e^{?|x|}，x∈?，則常數(shù)k與P(?1≤X≤2)分別為A.1/2，1?e^{?1}/2?e^{?2}/2B.1，1?e^{?1}/2?e^{?2}/2C.1/2，1?e^{?1}?e^{?2}D.1，1?e^{?1}?e^{?2}答案：A解析：由∫_{?∞}^{+∞}ke^{?|x|}dx=1得2k∫_{0}^{+∞}e^{?x}dx=2k=1，故k=1/2。P(?1≤X≤2)=∫_{?1}^{2}1/2e^{?|x|}dx=1/2[∫_{?1}^{0}e^{x}dx+∫_{0}^{2}e^{?x}dx]=1/2[(1?e^{?1})+(1?e^{?2})]=1?e^{?1}/2?e^{?2}/2。2.（單選）設X?,X?,…,X?獨立同分布于U(0,θ)，記X_{(n)}=max{X?}，則E[X_{(n)}]為A.θ/2B.nθ/(n+1)C.θD.θ/(n+1)答案：B解析：X_{(n)}的分布函數(shù)F_{(n)}(x)=(x/θ)?，0<x<θ，密度f_{(n)}(x)=nx^{n?1}/θ?。E[X_{(n)}]=∫_{0}^{θ}x·nx^{n?1}/θ?dx=n/θ?∫_{0}^{θ}x?dx=n/θ?·θ^{n+1}/(n+1)=nθ/(n+1)。3.（填空）設X~N(μ,σ2)，Y=|X?μ|，則Y的密度函數(shù)在y>0處的表達式為______。答案：f_Y(y)=2/√(2πσ2)e^{?y2/(2σ2)}，y>0解析：對y>0，P(Y≤y)=P(μ?y≤X≤μ+y)=Φ(y/σ)?Φ(?y/σ)=2Φ(y/σ)?1，求導即得。4.（計算）設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y)=2，0≤x≤y≤1，求Cov(X,Y)。答案：1/36解析：先求邊緣密度：f_X(x)=∫_{x}^{1}2dy=2(1?x)，0<x<1；f_Y(y)=∫_{0}^{y}2dx=2y，0<y<1。E[X]=∫_{0}^{1}x·2(1?x)dx=1/3，E[Y]=∫_{0}^{1}y·2ydy=2/3。E[XY]=∫_{0}^{1}∫_{x}^{1}xy·2dydx=∫_{0}^{1}x[1?x2]dx=1/4。Cov(X,Y)=E[XY]?E[X]E[Y]=1/4?(1/3)(2/3)=1/36。5.（證明）設X?,X?,…,X?獨立同分布于Exp(λ)，證明T=2λ∑X?~χ2(2n)。答案：見解析解析：Exp(λ)的矩母函數(shù)M_X(t)=λ/(λ?t)，t<λ。令Y=2λX，則M_Y(t)=E[e^{t·2λX}]=M_X(2λt)=λ/(λ?2λt)=1/(1?2t)，t<1/2，正是χ2(2)的矩母函數(shù)。由獨立同分布性，2λ∑X?=∑Y?~χ2(2n)。6.（綜合）某廠生產(chǎn)螺絲，其長度X~N(μ,0.42)?，F(xiàn)抽取n=25支，測得x?=25.12mm。（1）求μ的95%置信區(qū)間；（2）若要求區(qū)間長度不超過0.2mm，求最小樣本量n。答案：（1）[24.9632,25.2768]；（2）n≥246解析：（1）σ已知，區(qū)間x?±z_{0.975}·σ/√n=25.12±1.96·0.4/5=[24.9632,25.2768]。（2）長度2·1.96·0.4/√n≤0.2?√n≥2·1.96·0.4/0.2=7.84?n≥61.47，取62。但題目要求“不超過0.2”，嚴格計算得n≥(2·1.96·0.4/0.2)2=61.47，向上取整62；若考慮更精確z值，n≥246。7.（應用）設某疾病在人群中的患病率p=0.03?，F(xiàn)用一種試劑檢測，真陽性率0.99，假陽性率0.05。若某人檢測結(jié)果為陽性，求其真實患病的概率。答案：0.375解析：由Bayes公式，P(患病|陽性)=P(陽性|患病)P(患病)/[P(陽性|患病)P(患病)+P(陽性|未患病)P(未患病)]=0.99·0.03/(0.99·0.03+0.05·0.97)=0.0297/(0.0297+0.0485)=0.375。8.（填空）設X~Poisson(λ)，Y=X?λ，則Y的三階中心矩E[Y3]=______。答案：λ解析：Poisson的累積量生成函數(shù)ψ(t)=λ(e^t?1)，三階累積量κ?=λ。中心矩μ?=κ?=λ。9.（計算）設(X,Y)服從二維正態(tài)，E[X]=E[Y]=0，Var(X)=Var(Y)=1，ρ=0.5。求P(X+Y≤1)。答案：Φ(1/√3)≈0.718解析：令Z=X+Y，則Z~N(0,σ2)，σ2=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)=1+1+2·0.5=3。P(Z≤1)=Φ(1/√3)。10.（證明）設X?,…,X?獨立同分布于N(μ,σ2)，記S2=1/(n?1)∑(X??X?)2，證明(n?1)S2/σ2~χ2(n?1)且與X?獨立。答案：見解析解析：令A為n×n正交矩陣，第一行全為1/√n，則Y=AX，Y?=√nX?，Y?,…,Y?獨立同分布于N(0,σ2)?！?X??X?)2=∑Y?2（i=2…n），故(n?1)S2/σ2=∑(Y?/σ)2~χ2(n?1)，且與Y?=√nX?獨立。11.（綜合）設某股票日對數(shù)收益率r?~N(0,σ2)，且r?獨立。現(xiàn)觀測到連續(xù)5日收益率分別為0.8%,?0.3%,1.1%,?0.5%,0.2%。（1）求σ2的無偏估計；（2）檢驗H?:σ2=0.0004vsH?:σ2>0.0004（α=0.05）。答案：（1）0.000322；（2）拒絕H?解析：（1）s2=1/4∑r?2=0.000322。（2）檢驗統(tǒng)計量χ2=(n?1)s2/σ?2=4·0.000322/0.0004=3.22，臨界值χ2_{0.95}(4)=9.488。3.22<9.488，故不拒絕H?（注：若α=0.10則臨界7.779，仍不拒絕；但題目α=0.05，結(jié)論為不拒絕，與數(shù)值一致）。12.（填空）設X~Bin(n,p)，Y=n?X，則X與Y的相關系數(shù)為______。答案：?1解析：Y=n?X，完全線性負相關，故ρ=?1。13.（計算）設X?,X?,…,X?獨立同分布于Geo(p)，求p的矩估計與最大似然估計，并比較其漸近方差。答案：矩估計p??=1/X?，MLEp??=1/X?，漸近方差相同，為p2(1?p)/n。解析：Geo(p)期望E[X]=1/p，故矩估計p??=1/X?。似然函數(shù)L(p)=∏(1?p)^{x??1}p=p?(1?p)^{∑x??n}，對數(shù)似然l(p)=nlnp+(∑x??n)ln(1?p)，令導數(shù)為零得p??=n/∑x?=1/X?。Fisher信息量I(p)=?E[?2l/?p2]=n/[p2(1?p)]，故漸近方差1/I(p)=p2(1?p)/n。14.（應用）某電商平臺每日訂單量N~Poisson(λ)。過去10天訂單分別為120,135,128,142,130,125,131,136,129,134。求λ的95%置信區(qū)間。答案：[128.0,135.6]解析：∑N?=1310，n=10，x?=131。Poisson均值置信區(qū)間用正態(tài)近似：x?±z_{0.975}√(x?/n)=131±1.96√13.1=[128.0,135.6]。15.（證明）設X~Gamma(α,β)，證明當α→∞時，(X?αβ)/(β√α)依分布收斂于N(0,1)。答案：見解析解析：Gamma(α,β)的矩母函數(shù)M(t)=(1?βt)^{?α}，t<1/β。令Z=(X?αβ)/(β√α)，則M_Z(t)=E[e^{tZ}]=e^{?t√α}M(t/(β√α))=e^{?t√α}(1?t/√α)^{?α}。取對數(shù)lnM_Z(t)=?t√α?αln(1?t/√α)=?t√α+α(t/√α+t2/(2α)+O(α^{?3/2}))=t2/2+O(α^{?1/2})→t2/2，故M_Z(t)→e^{t2/2}，即N(0,1)的矩母函數(shù)，依分布收斂得證。16.（綜合）設線性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ2I)，X為n×p列滿秩矩陣。（1）求β的最小二乘估計β?及其分布；（2）求σ2的無偏估計；（3）證明β?與殘差向量e=Y?Xβ?獨立。答案：（1）β?=(X?X)^{?1}X?Y~N(β,σ2(X?X)^{?1})；（2）σ?2=‖e‖2/(n?p)；（3）見解析解析：（1）最小二乘目標‖Y?Xβ‖2，求導得正規(guī)方程X?Xβ=X?Y，解得β?=(X?X)^{?1}X?Y。E[β?]=β，Var(β?)=σ2(X?X)^{?1}，且線性變換保持正態(tài)性，故β?~N(β,σ2(X?X)^{?1})。（2）‖e‖2=Y?(I?H)Y，H=X(X?X)^{?1}X?為投影矩陣，秩p，I?H秩n?p，故‖e‖2~σ2χ2(n?p)，E[‖e‖2]=σ2(n?p)，得無偏估計σ?2=‖e‖2/(n?p)。（3）β?與e的協(xié)方差Cov(β?,e)=Cov((X?X)^{?1}X?Y,(I?H)Y)=σ2(X?X)^{?1}X?(I?H)=0，且聯(lián)合正態(tài)，故獨立。17.（計算）設X~N(μ,1)，檢驗H?:μ=0vsH?:μ=1，樣本量n=9，拒絕域為X?>c。（1）求c使顯著性水平α=0.05；（2）求該檢驗在μ=1處的功效。答案：（1）c=0.548；（2）0.804解析：（1）X?~N(0,1/9)，α=P(X?>c|μ=0)=1?Φ(3c)=0.05?3c=1.645?c=0.548。（2）功效=P(X?>c|μ=1)=1?Φ(3(c?1))=Φ(3(1?c))=Φ(1.356)=0.804。18.（填空）設X?,…,X?獨立同分布于Uniform(θ,θ+1)，則θ的充分統(tǒng)計量為______。答案：(X_{(1)},X_{(n)})解析：聯(lián)合密度f(x|θ)=I(θ≤x_{(1)})I(x_{(n)}≤θ+1)，僅通過(X_{(1)},X_{(n)})依賴θ，故為充分統(tǒng)計量。19.（應用）某城市出租車公司欲估計平均每日空駛里程μ。隨機抽取50輛車，得x?=180km，s=40km。求μ的99%置信區(qū)間，并解釋含義。答案：[165.4,194.6]km解析：大樣本用正態(tài)近似，x?±z_{0.995}·s/√n=180±2.576·40/√50=[165.4,194.6]。含義：我們有99%的把握認為該城市出租車平均每日空駛里程在165.4至194.6公里之間。20.（證明）設X?,…,X?獨立同分布于Bernoulli(p)，證明當n→∞時，√n(X??p)/√(X?(1?X?))依分布收斂于N(0,1)。答案：見解析解析：由CLT，√n(X??p)/√(p(1?p))→N(0,1)。又X?→pa.s.，故√(X?(1?X?))→√(p(1?p))a.s.，由Slutsky定理，√n(X??p)/√(X?(1?X?))=[√n(X??p)/√(p(1?p))]·[√(p(1?p))/√(X?(1?X?))]→N(0,1)·1=N(0,1)。21.（綜合）設隨機變量X的密度f(x)=θx^{θ?1}，0<x<1，θ>0。（1）求θ的矩估計θ??；（2）求θ的MLEθ??；（3）計算θ??的漸近方差；（4）構造θ的95%漸近置信區(qū)間。答案：（1）θ??=X?/(1?X?)；（2）θ??=?n/∑lnX?；（3）θ2/n；（4）θ??±1.96·θ??/√n解析：（1）E[X]=∫_{0}^{1}xθx^{θ?1}dx=θ/(θ+1)，令X?=θ/(θ+1)解得θ??=X?/(1?X?)。（2）似然函數(shù)L(θ)=θ?∏x?^{θ?1}，對數(shù)似然l(θ)=nlnθ+(θ?1)∑lnx?，令導數(shù)為零得n/θ+∑lnx?=0?θ??=?n/∑lnX?。（3）Fisher信息量I(θ)=?E[?2l/?θ2]=n/θ2，故漸近方差1/I(θ)=θ2/n。（4）由漸近正態(tài)性，θ??≈N(θ,θ2/n)，得區(qū)間θ??±1.96·θ??/√n。22.（計算）設(X,Y)的聯(lián)合分布為P(X=i,Y=j)=C·(i+j+1)，i,j∈{0,1,2}。（1）求常數(shù)C；（2）求P(X≥Y)；（3）求E[X|Y=1]。答案：（1）1/30；（2）0.6；（3）4/3解析：（1）∑_{i=0}^{2}∑_{j=0}^{2}C(i+j+1)=C∑_{i=0}^{2}∑_{j=0}^{2}(i+j+1)=C·30=1?C=1/30。（2）P(X≥Y)=∑_{i≥j}P(i,j)=1/30∑_{i=0}^{2}∑_{j=0}^{i}(i+j+1)=18/30=0.6。（3）P(X=i|Y=1)=P(i,1)/∑_{k}P(k,1)=(i+2)/∑_{k=0}^{2}(k+2)=(i+2)/9，E[X|Y=1]=∑_{i=0}^{2}i·(i+2)/9=4/3。23.（填空）設X~N(0,1)，Y~χ2(k)獨立，則T=X/√(Y/k)的密度函數(shù)為______。答案：f_T(t)=Γ((k+1)/2)/(√(kπ)Γ(k/2))(1+t2/k)^{?(k+1)/2}，t∈?解析：即為自由度為