第頁(yè)人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《7.1.2兩直線垂直》同步練習(xí)題（含答案解析）類型一、垂直的有關(guān)定義及理解1．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）同一個(gè)平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)能作幾條直線與已知直線垂直（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條2．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）P為直線l上的一點(diǎn)，Q為l外一點(diǎn)，下列說法不正確的是（

）A．過P可畫直線垂直于l B．過Q可畫直線l的垂線C．連結(jié)PQ使PQ⊥l D．過Q只能畫1條直線與l垂直3．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知ON⊥a，OM⊥a，所以O(shè)M與ON在同一條直線上的理由是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線C．過一點(diǎn)只能作一條垂線D．垂線段最短4．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．相等的角是對(duì)頂角B．兩個(gè)角的和為180°，那個(gè)這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角C．過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線段，就是點(diǎn)到直線的距離D．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直類型二、利用垂直求角度5．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AB，若∠DOB=43°，則∠COE的度數(shù)是（

）

A．43° B．137° C．57° D．47°6．（23-24七年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）如圖，直線a、b相交于點(diǎn)O，射線c⊥a，垂足為點(diǎn)O，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)為（

）A．50° B．120° C．130° D．140°7．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOM=35°，則A．35° B．45° C．55° D．65°8．（24-25七年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期末）如圖，直線CD、EF相交于點(diǎn)O，OA⊥OB，若∠BOD=40°，∠COF=98°，求∠AOE的度數(shù)．類型三、垂線段最短9．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中畫有一段筆直的鐵路及道口A、B和村莊M、N．小強(qiáng)從道口A到公路BN，他選擇的路線為公路AN，其理由為（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．垂線段最短D．同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直10．（24-25七年級(jí)上·河南·期中）數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活．下列各選項(xiàng)中能用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A．測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī) B．木板上彈墨線 C．彎曲河道改直 D．兩釘子固定木條11．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，運(yùn)動(dòng)會(huì)上，兩名同學(xué)測(cè)得黎明的跳遠(yuǎn)成績(jī)分別為PA=2.13米，PH=1.96米，PB=2.23米，則黎明的跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該為米．類型四、點(diǎn)到直線的距離12．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是直線a外的一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足為點(diǎn)B，PA⊥PC，則下列正確的語(yǔ)句是（A．線段PC的長(zhǎng)是點(diǎn)P到直線a的距離 B．PA、PB、PC三條線段中，PB最短C．線段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線PC的距離 D．線段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線PA的距離13．（24-25九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在直線l上，點(diǎn)M在直線l外，MC⊥l，若MA=5cm,MB=4cm,A．2cm B．3cm C．4cm14．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）A為直線l外一點(diǎn)，B為直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線l的距離為3cm，則AB3cm（選填“≥”“＝”或“≤”），根據(jù)是15．（21-22七年級(jí)下·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，(1)點(diǎn)B到AC的距離是________cm；點(diǎn)A到BC的距離是_________cm．(2)畫出表示點(diǎn)C到AB的距離的線段，并求這個(gè)距離．類型五、垂線的有關(guān)問題16．（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖所示的正方形網(wǎng)格，所有小正方形的邊長(zhǎng)都為1，A、B、C都在格點(diǎn)上．(1)利用網(wǎng)格作圖：過點(diǎn)C畫直線AB的垂線CE，垂足為點(diǎn)E；(2)線段CE的長(zhǎng)度是點(diǎn)______到直線_______的距離；(3)比較大?。篊E______CB（填＞、＜或＝），理由：______．17．（24-25七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都叫格點(diǎn)，請(qǐng)利用網(wǎng)格特征，解答下列問題(1)過點(diǎn)C畫AB的垂線，并標(biāo)出垂線所經(jīng)過的格點(diǎn)E；(2)連接AC，BC，則△ABC的面積為______．18．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）根據(jù)下列要求畫圖：(1)連接AB，畫直線OA，畫射線OB；(2)在直線OA上找到一點(diǎn)C，使線段BC是點(diǎn)B與直線OA上各點(diǎn)的所有線段中長(zhǎng)度最短的線段．類型六、有關(guān)垂直的有關(guān)計(jì)算問題19．（22-23七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD．(1)如果∠COB=130°，那么根據(jù)________，可得∠AOD=________°；(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度數(shù)．20．（24-25七年級(jí)上·浙江溫州·期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC．

(1)當(dāng)∠COE=27°時(shí)，求∠AOD的度數(shù)；(2)若OF⊥OE，∠DOF=2∠BOC，求∠AOC的度數(shù)．類型七、利用角度關(guān)系證明兩直線垂直21．（22-23七年級(jí)上·河南開封·期末）如圖，直線AB與CD相交于O，OF，OD分別是∠AOE，∠BOE的平分線．(1)寫出∠DOE的補(bǔ)角；(2)若∠DOE=30°，求∠BOC和∠EOF的度數(shù)；(3)試問射線OD與OF之間有什么特殊的位置關(guān)系？為什么？類型八、分類討論思想在垂直求角中的應(yīng)用22．（22-23七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，則∠BOC的度數(shù)為23．（22-23七年級(jí)下·吉林白山·期末）直線AB與CD交于O，OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°，則∠BOE的度數(shù)．24．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知∠A的兩邊與∠B的兩邊分別垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，則∠A=．一、單選題1．（21-22七年級(jí)下·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為O，∠AOD=125°．則∠EOC的度數(shù)為（

）

A．55° B．45° C．35° D．25°2．（24-25七年級(jí)上·浙江嘉興·階段練習(xí)）如圖，一副三角板的兩個(gè)直角頂點(diǎn)CF疊放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，三角板ABC不動(dòng)，三角板DEF可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，則下列結(jié)論：①∠BCE+∠ACD隨∠ACD的變化而變化；②當(dāng)∠BCE=3∠ACD時(shí)，DE一定垂直于AC．其中正確的結(jié)論是（

A．①正確，②正確 B．①錯(cuò)誤，②正確 C．①正確，②錯(cuò)誤 D．①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤3．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖所示，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，射線OD平分∠EOB，射線OM平分∠BOD，則∠AOM等于（

）A．135° B．157.5° C．155° D．145.5°4．（18-19七年級(jí)下·廣西欽州·期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于點(diǎn)O．若∠EOF=α，下列說法：①∠AOC=α?90°；②∠EOB=180°?α；③∠AOF=360°?2α．其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，推動(dòng)水桶，以點(diǎn)O為支點(diǎn)，使其向右傾斜．若在點(diǎn)A處分別施加推力F1、F2，則F1的力臂OA大于F2的力臂A．垂線段最短B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直C．兩點(diǎn)確定一條直線D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行6．（18-19七年級(jí)上·天津河北·期末）如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OD⊥OF，OB平分∠DOG．給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）①當(dāng)∠AOF=60°時(shí)，∠DOG=60°；

②OD平分∠EOG；③與∠BOD相等的角有3個(gè)；④∠COG=∠AOB?2∠EOF．A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④二、填空題7．（22-23七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）在直線AB上任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作射線OC，OD，使OC⊥OD，當(dāng)∠AOC=38°時(shí)，∠BOD的度數(shù)是．8．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF平分∠BOC，∠1:∠2=2:1，則∠COF的度數(shù)為．9．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如果∠1的兩條邊所在直線與∠2的兩條邊互相垂直，且∠1是∠2的2倍少30度，則∠1的度數(shù)為°．10．（22-23七年級(jí)上·重慶九龍坡·期末）如圖，直線AB和CD交于O點(diǎn)，OD平分∠BOF，OE⊥CD于點(diǎn)O，∠AOC=30°11．（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF=66°，則∠BOC=°．12．（23-24七年級(jí)下·重慶榮昌·期末）如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)M，MF⊥AB，MG⊥CD，MB平分∠DME，下列結(jié)論中：①當(dāng)∠AMG=60°時(shí)，∠DME=60°；②MD平分∠EMF；③與∠BMD相等的角有3個(gè)；④∠CME=∠AMB?2∠FMG；⑤∠FMG+∠DME=90°．正確的結(jié)論序號(hào)是．三、解答題13．（22-23七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD．(1)如果∠COB=130°，那么根據(jù)________，可得∠AOD=________°；(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度數(shù)．14．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OM⊥AB．(1)若∠1=∠2，求證：ON⊥CD；(2)若∠1=14∠BOC15．（24-25七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，點(diǎn)O為垂足，OF平分∠AOC．(1)若∠AOF=64°，求∠COE的度數(shù)；(2)若∠AOF:∠COE=3:2，求∠EOF的度數(shù)．16．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線AB和CD相交于O點(diǎn)，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠BOD=26°．(1)求∠AOC的度數(shù)；(2)求∠COF的度數(shù)．17．（22-23七年級(jí)下·廣西欽州·期中）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，OF⊥CD(1)若∠BOE=70°，求∠AOF的度數(shù)；(2)若∠BOD:∠BOE=1:2，求∠AOF的度數(shù)．18．（23-24七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·開學(xué)考試）已知O為直線MN上一點(diǎn)，OA⊥MN，∠COE=90°．

(1)如圖1，下面是判斷∠AOE與∠CON的數(shù)量關(guān)系的部分說理過程，請(qǐng)完成填空：因?yàn)椤螦OE+∠EON=__________°，∠CON+∠EON=__________°；（第一步）所以∠AOE=__________；（第二步）在上面（第一步）到（第二步）的推理過程中，理由依據(jù)是：__________．(2)若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖②的位置．①直接寫出圖2中所有相等的角（直角除外）__________．②作∠COM的平分線OF，若∠AOF=α，則∠CON=__________（用含α的代數(shù)式表示）．參考答案與解析類型一、垂直的有關(guān)定義及理解1．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）同一個(gè)平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)能作幾條直線與已知直線垂直（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【答案】B【分析】本題考查了垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一點(diǎn)與已知直線垂直，一定注意是在同一平面內(nèi)．【詳解】在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一點(diǎn)與已知直線垂直．故選：B2．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）P為直線l上的一點(diǎn)，Q為l外一點(diǎn)，下列說法不正確的是（

）A．過P可畫直線垂直于l B．過Q可畫直線l的垂線C．連結(jié)PQ使PQ⊥l D．過Q只能畫1條直線與l垂直【答案】C【分析】此題主要考查了垂線的作法以及垂線的定義，正確把握垂線的作法是解題關(guān)鍵．直接利用垂線的定義結(jié)合垂線作法得出答案．【詳解】解：A、∵P為直線l上的一點(diǎn)，Q為l外一點(diǎn)，∴過P可畫直線垂直于l，正確，不合題意；B、∵P為直線l上的一點(diǎn)，Q為l外一點(diǎn)，∴過Q可畫直線l的垂線，正確，不合題意；C、連接PQ不能保證PQ⊥l，故錯(cuò)誤，符合題意；D、∵Q為l外一點(diǎn)，∴可以過Q可畫直線與l垂直，正確，不合題意；故選∶C．3．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知ON⊥a，OM⊥a，所以O(shè)M與ON在同一條直線上的理由是（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線C．過一點(diǎn)只能作一條垂線D．垂線段最短【答案】B【分析】本題考查了垂線的基本事實(shí)，根據(jù)垂線的基本事實(shí)結(jié)合圖形得出結(jié)論是解題關(guān)鍵．利用同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直進(jìn)而得出答案即可．【詳解】解：因?yàn)镺N⊥a，OM⊥a，所以直線ON與OM重合，其理由是：同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故選：B．4．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．相等的角是對(duì)頂角B．兩個(gè)角的和為180°，那個(gè)這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角C．過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線段，就是點(diǎn)到直線的距離D．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D【分析】有公共端點(diǎn)，且角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角，據(jù)此可判斷A；有公共端點(diǎn)，且有一條公共邊，另一條邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，據(jù)此可判斷B；過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線段的長(zhǎng)度，就是點(diǎn)到直線的距離，據(jù)此可判斷C；在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，據(jù)此可判斷D．【詳解】解：A、相等的角不一定是對(duì)頂角，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、兩個(gè)角的和為180°，那個(gè)這兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線段的長(zhǎng)度，就是點(diǎn)到直線的距離，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，原說法正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的定義，點(diǎn)到直線的距離，垂線的定義等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．類型二、利用垂直求角度5．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AB，若∠DOB=43°，則∠COE的度數(shù)是（

）

A．43° B．137° C．57° D．47°【答案】D【分析】本題考查了垂線，平角的知識(shí)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直定義可得：∠BOE=90°，然后利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°，∵∠DOB=43°，∴∠COE=180°?∠BOE?∠DOB=47°，故選：D．6．（23-24七年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）如圖，直線a、b相交于點(diǎn)O，射線c⊥a，垂足為點(diǎn)O，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)為（

）A．50° B．120° C．130° D．140°【答案】C【分析】本題主要考查了垂直的定義，鄰補(bǔ)角的定義，求出∠3的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義可求∠3的度數(shù)，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可．【詳解】解：如圖，∵c⊥a，∠1=40°，∴∠3=90°?∠1=50°，∴∠2=180°?∠3=130°．故選：C．7．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠AOM=35°，則A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的定義和垂線的定義，解決本題的關(guān)鍵在正確找出角的關(guān)系．根據(jù)角平分線的定義，得出∠MOC=35°，再根據(jù)題意，得出∠MON=90°，然后再根據(jù)角的關(guān)系，計(jì)算即可得出∠CON的度數(shù)．【詳解】解：∵射線OM平分∠AOC，∴∠MOC=35°，∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，∴∠CON=∠MON?∠MOC=90°?35°=55°．故選：C．8．（24-25七年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期末）如圖，直線CD、EF相交于點(diǎn)O，OA⊥OB，若∠BOD=40°，∠COF=98°，求∠AOE的度數(shù)．【答案】32°，過程見詳解【分析】本題考查了垂線的定義和對(duì)頂角的性質(zhì)，熟練掌握是解答本題的關(guān)鍵．由對(duì)頂角相等得∠DOE=98°，進(jìn)而得∠BOE=58°，由垂直定義得∠AOE=∠AOB?∠BOE，代入計(jì)算．【詳解】解：∵∠COF=98°，∠COF=∠DOE，∴∠DOE=98°，又∵∠DOE=∠BOD+∠BOE，∠BOD=40°，∴∠BOE=58°，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，又∵∠AOB=∠BOE+∠AOE，∴∠AOE=∠AOB?∠BOE=90°?58°=32°．類型三、垂線段最短9．（24-25七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中畫有一段筆直的鐵路及道口A、B和村莊M、N．小強(qiáng)從道口A到公路BN，他選擇的路線為公路AN，其理由為（

）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．垂線段最短D．同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】C【分析】本題考查垂線段最短，根據(jù)垂線段最短即可解答．【詳解】解：他選擇的路線為公路AN，其理由為垂線段最短．故選C．10．（24-25七年級(jí)上·河南·期中）數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活．下列各選項(xiàng)中能用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（

）A．測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī) B．木板上彈墨線 C．彎曲河道改直 D．兩釘子固定木條【答案】C【分析】本題主要考查了垂線段最短，兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，牢記兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂線段最短，兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間線段最短逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī)是求腳后跟到起跳線的距離，數(shù)學(xué)常識(shí)為垂線段最短，故選項(xiàng)A不符合題意；B、木板上彈墨線，能彈出一條筆直的墨線，數(shù)學(xué)常識(shí)為兩點(diǎn)確定一條直線，故選項(xiàng)B不符合題意；C、彎曲河道改直，就能夠縮短路程，數(shù)學(xué)常識(shí)為兩點(diǎn)之間，線段最短，故選項(xiàng)C符合題意；D、兩釘子固定木條，數(shù)學(xué)常識(shí)為兩點(diǎn)確定一條直線，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．11．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，運(yùn)動(dòng)會(huì)上，兩名同學(xué)測(cè)得黎明的跳遠(yuǎn)成績(jī)分別為PA=2.13米，PH=1.96米，PB=2.23米，則黎明的跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該為米．【答案】1.96【分析】此題主要考查了點(diǎn)到直線的距離的含義，解答此題的關(guān)鍵是要明確：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，特別注意是“垂線段的長(zhǎng)度”．根據(jù)點(diǎn)P到踏板所在的直線的垂線段的長(zhǎng)度，據(jù)此判斷出跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該為多少米即可．【詳解】解：依據(jù)從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的線段中，垂線段最短可知，黎明的跳遠(yuǎn)成績(jī)應(yīng)該是圖中線段PH的長(zhǎng)度，即為1.96米．故答案為：1.96類型四、點(diǎn)到直線的距離12．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是直線a外的一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足為點(diǎn)B，PA⊥PC，則下列正確的語(yǔ)句是（A．線段PC的長(zhǎng)是點(diǎn)P到直線a的距離 B．PA、PB、PC三條線段中，PB最短C．線段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線PC的距離 D．線段AC的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線PA的距離【答案】B【分析】此題主要考查了點(diǎn)到直線的距離及垂線段的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握垂線段的性質(zhì)，從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連的線段中，垂線段最短．根據(jù)“從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連的線段中，垂線段最短”，“從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離”進(jìn)行判斷，即可解答．【詳解】A．線段PC的長(zhǎng)是點(diǎn)C到PA的距離，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B．PA、PB、PC三條線段中，依據(jù)垂線段最短可知PB最短，原說法正確，故此選項(xiàng)符合題意；C．線段PA的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線PC的距離，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D．線段PC的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線PA的距離，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．13．（24-25九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期中）如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在直線l上，點(diǎn)M在直線l外，MC⊥l，若MA=5cm,MB=4cm,A．2cm B．3cm C．4cm【答案】A【分析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)垂線的性質(zhì)：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段最短，結(jié)合條件進(jìn)行解答即可，解題關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)到直線的距離的定義和垂線的性質(zhì)．【詳解】如圖所示：∵直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段最短，MC⊥l，∴點(diǎn)M到直線l的距離是垂線段MC的長(zhǎng)度，為2cm故選：A．14．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）A為直線l外一點(diǎn)，B為直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線l的距離為3cm，則AB3cm（選填“≥”“＝”或“≤”），根據(jù)是【答案】≥垂線段最短【分析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義和垂線段最短進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵A為直線l外一點(diǎn)，B是直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)A到l的距離為5，∴當(dāng)AB⊥l時(shí)，AB=3，∵垂線段最短，∴當(dāng)AB不與直線l垂直時(shí)，AB>3，∴AB≥3．故答案為：≥；垂線段最短．15．（21-22七年級(jí)下·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，(1)點(diǎn)B到AC的距離是________cm；點(diǎn)A到BC的距離是_________cm．(2)畫出表示點(diǎn)C到AB的距離的線段，并求這個(gè)距離．【答案】(1)4，3(2)見解析，125【分析】本題考查點(diǎn)到直線的距離，三角形面積．（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離就是過點(diǎn)作直線的垂直，這點(diǎn)與垂足間的線段長(zhǎng)度，即可求解．（2）作CD⊥AB于點(diǎn)D，則線段CD的長(zhǎng)度就是點(diǎn)C到AB的距離．再根據(jù)面積公式S△ABC【詳解】（1）解：∵∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，∴點(diǎn)B到AC的距離=BC=4cm，點(diǎn)A到BC的距離=AC=3cm．故答案為：4，3；（2）解：如圖：線段CD的長(zhǎng)就是表示點(diǎn)C到AB的距離的線段，根據(jù)題意，AB=A∵S△ABC∴CD=BC?AC類型五、垂線的有關(guān)問題16．（24-25七年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖所示的正方形網(wǎng)格，所有小正方形的邊長(zhǎng)都為1，A、B、C都在格點(diǎn)上．(1)利用網(wǎng)格作圖：過點(diǎn)C畫直線AB的垂線CE，垂足為點(diǎn)E；(2)線段CE的長(zhǎng)度是點(diǎn)______到直線_______的距離；(3)比較大?。篊E______CB（填＞、＜或＝），理由：______．【答案】(1)見解析(2)C

AB(3)<

垂線段最短【分析】本題主要考查垂線段、點(diǎn)到直線的距離：（1）取格點(diǎn)K，作直線CK，交直線AB于點(diǎn)E；（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可解答；（3）根據(jù)垂線段最短即可解答．【詳解】（1）（2）線段CE的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到直線AB的距離．故答案為：C

AB（3）CE<CB，理由：垂線段最短．故答案為：<

垂線段最短17．（24-25七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都叫格點(diǎn)，請(qǐng)利用網(wǎng)格特征，解答下列問題(1)過點(diǎn)C畫AB的垂線，并標(biāo)出垂線所經(jīng)過的格點(diǎn)E；(2)連接AC，BC，則△ABC的面積為______．【答案】(1)見解析(2)13【分析】本題考查了畫垂線，格點(diǎn)中求三角形的面積；（1）根據(jù)垂線的定義畫出圖形；（2）根據(jù)正方形的面積減去周圍三個(gè)三角形的面積，即可得到△ABC的面積．【詳解】（1）如圖所示，CE即為所求；（2）如圖所示，S△ABC=4×4?故答案為：13218．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）根據(jù)下列要求畫圖：(1)連接AB，畫直線OA，畫射線OB；(2)在直線OA上找到一點(diǎn)C，使線段BC是點(diǎn)B與直線OA上各點(diǎn)的所有線段中長(zhǎng)度最短的線段．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了畫直線，畫射線和線段，垂線段最短：（1）根據(jù)直線，射線，線段的畫法，畫圖即可；（2）過點(diǎn)B作BC⊥OA于C，根據(jù)垂線段最短可知點(diǎn)C即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)B作BC⊥OA于C，點(diǎn)C即為所求．類型六、有關(guān)垂直的有關(guān)計(jì)算問題19．（22-23七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD．(1)如果∠COB=130°，那么根據(jù)________，可得∠AOD=________°；(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度數(shù)．【答案】(1)對(duì)頂角相等，130；(2)150°．【分析】（1）利用對(duì)頂角相等的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)對(duì)頂角相等，可知∠AOC=∠BOD，結(jié)合∠EOB=2∠AOC，即可求解；本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，平角的定義，垂直的定義，熟練掌握上述性質(zhì)和定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵∠COB=130°，∴∠COB=∠AOD=130°（對(duì)頂角相等），故答案為：對(duì)頂角相等，130；（2）解：∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠AOC=∠BOD，∠EOB=2∠AOC，∴∠EOB=2∠BOD，又∵∠EOB+∠BOD=90°，∴3∠BOD=90°，∴∠BOD=30°，∴∠AOD=180°?∠BOD=180°?30°=150°．20．（24-25七年級(jí)上·浙江溫州·期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC．

(1)當(dāng)∠COE=27°時(shí)，求∠AOD的度數(shù)；(2)若OF⊥OE，∠DOF=2∠BOC，求∠AOC的度數(shù)．【答案】(1)∠AOD=54°(2)∠AOC=144°【分析】本題考查了角的和差計(jì)算，對(duì)頂角，平角，補(bǔ)角，角平分線的定義，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線定義以及對(duì)頂角即可求解；（2）由垂線得到∠BOF+∠BOE=90°，結(jié)合角平分線得到∠BOF+12∠BOC=90°，則180°?∠DOF?∠BOC+12∠BOC=90°【詳解】（1）解：∵直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∴∠AOD=∠BOC，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COE=2×27°=54°，∴∠AOD=54°；（2）解：∵若OF⊥OE，∴∠EOF=90°∴∠BOF+∠BOE=90°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=1∴∠BOF+1∴180°?∠DOF?∠BOC∴90°?∠DOF?∴∠DOF=90°?1∵∠DOF=2∠BOC，∴90°?1解得∠BOC=36°.∴∠AOC=180°?∠BOC=180°?36°=144°．類型七、利用角度關(guān)系證明兩直線垂直21．（22-23七年級(jí)上·河南開封·期末）如圖，直線AB與CD相交于O，OF，OD分別是∠AOE，∠BOE的平分線．(1)寫出∠DOE的補(bǔ)角；(2)若∠DOE=30°，求∠BOC和∠EOF的度數(shù)；(3)試問射線OD與OF之間有什么特殊的位置關(guān)系？為什么？【答案】(1)∠COE(2)∠BOC=150°，∠EOF=60°(3)OD⊥OF，理由見解析【分析】本題主要考查了角平分線，熟練掌握角平分線定義，對(duì)頂角相等，補(bǔ)角定義，垂線的定義，是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線定義得∠BOD=∠DOE，根據(jù)補(bǔ)角定義得∠DOE+∠COE=180°，∠BOD+∠BOC=180°，根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì)得∠AOD=∠BOE，即得∠DOE的補(bǔ)角；（2）先根據(jù)角平分線的定義得出∠BOD和∠BOE的度數(shù)，再由鄰補(bǔ)角定義可得∠BOC=180°?∠BOD；先根據(jù)鄰補(bǔ)角定義可得∠AOE=180°?∠BOE（3）運(yùn)用角平分線的定義，得∠EOF=12∠AOE，∠DOE=【詳解】（1）∵OD平分∠BOE，∴∠BOD=∠DOE=1∵∠DOE+∠COE=180°，∠BOD+∠BOC=180°，∴∠DOE+∠BOC=180°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DOE+∠AOD=180°，∴∠DOE的補(bǔ)角有∠COE，（2）∵OD平分∠BOE，∠DOE=30°，∴∠BOD=∠DOE=∴∠BOC=180°?∠BOD=150°，∠BOE=2∠DOE=60°，∴∠AOE=180°?∠BOE=120°，又∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=1（3）射線OD與OF互相垂直．理由如下：∵OF，OD分別是∠AOE，∠BOE的平分線，∴∠EOF=1∴∠DOF=∠EOF+∠DOE=1∴OD⊥OF．即射線OD、OF的位置關(guān)系是互相垂直．類型八、分類討論思想在垂直求角中的應(yīng)用22．（22-23七年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，則∠BOC的度數(shù)為【答案】18°或162°【分析】此題主要考查了垂線的定義，角的和差運(yùn)算．結(jié)合圖形是做這類題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直關(guān)系知∠AOC=90°，由∠AOB:∠AOC=4:5，可求∠AOB=72°，根據(jù)∠AOB與【詳解】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵∠AOB:∴∠AOB=72°．∠AOB的位置有兩種：一種是在∠AOC內(nèi)，一種是在∠AOC外．①當(dāng)在∠AOC內(nèi)時(shí)，∠BOC=90°?72°=18°；②當(dāng)在∠AOC外時(shí)，∠BOC=90°+72°=162°．故答案為：18°或162°．23．（22-23七年級(jí)下·吉林白山·期末）直線AB與CD交于O，OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°，則∠BOE的度數(shù)．【答案】65°或115°【分析】此題主要考查了角的運(yùn)算，垂線的定義，要熟練掌握如果兩個(gè)角的和等于90°，那么這兩個(gè)角叫做互為余角.根據(jù)題意，分兩種情況：（1）∠BOE是銳角時(shí)；（2）∠BOE是鈍角時(shí)；然后根據(jù)垂線的性質(zhì)，分類討論，求出∠BOE的度數(shù)是多少即可．【詳解】解：（1）如圖1，∵直線OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠DOF=65°，∴∠EOF=90°?65°=25°，又∵直線OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∴∠BOE=90°?25°=65°．（2）如圖2，∵直線OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠DOF=65°，∴∠EOF=90°?65°=25°，又∵直線OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∴∠BOE=90°+25°=115°．綜上，可得∠BOE的度數(shù)是65°或115°．故答案為：65°或115°．24．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知∠A的兩邊與∠B的兩邊分別垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，則∠A=．【答案】125°或20°【分析】此題主要考查了垂線，因?yàn)閮蓚€(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，又因∠A比∠B的3倍少40°，所以可設(shè)∠B是x度，利用方程即可解決問題．【詳解】設(shè)∠B是x度，①如圖1：

∴∠AOC=∠BOD，∵∠AOC+∠A=∠BOD+∠B=90°，∴∠B=∠A=x°，∵∠A比∠B的3倍少40°∴x=3x?40，解得：x=20，故∠A=20°；②如圖2：

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得：∠B+∠A+90°+90°=360°，∴∠B+∠A=180°∵∠A比∠B的3倍少40°∴x+3x?40=180，∴x=55，∴∠A=3×55°?40°=125°綜上所述：∠A的度數(shù)為：20°或125°．故答案為：125°或20°．1．（21-22七年級(jí)下·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為O，∠AOD=125°．則∠EOC的度數(shù)為（

）

A．55° B．45° C．35° D．25°【答案】C【分析】本題主要考查了垂直的定義，求一個(gè)角的鄰補(bǔ)角，余角等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)鄰補(bǔ)角求得∠AOC，根據(jù)余角的定義即可求得∠【詳解】解：∵∠∴∠∵EO⊥AB，∴∠故選：C．2．（24-25七年級(jí)上·浙江嘉興·階段練習(xí)）如圖，一副三角板的兩個(gè)直角頂點(diǎn)CF疊放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，三角板ABC不動(dòng)，三角板DEF可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，則下列結(jié)論：①∠BCE+∠ACD隨∠ACD的變化而變化；②當(dāng)∠BCE=3∠ACD時(shí)，DE一定垂直于AC．其中正確的結(jié)論是（

A．①正確，②正確 B．①錯(cuò)誤，②正確 C．①正確，②錯(cuò)誤 D．①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤【答案】D【分析】本題考查了三角板的角度計(jì)算；①依據(jù)∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+∠ACE，即可得到∠BCE+∠ACD=180°；②畫出圖形，根據(jù)∠BCE=3∠ACD，∠BCE+∠ACD=180°，即可求出∠ACD的度數(shù)，根據(jù)平行線的判定以及垂直的定義得到此時(shí)DE與AC的位置關(guān)系．【詳解】解：①∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+∠ACE，∴∠BCE+∠ACD=90°+∠ACE+∠ACD=90°+90°=180°，∴∠BCE+∠ACD=180°，是定值；故①錯(cuò)誤．②設(shè)∠ACD=α，則∠BCE=3α．如圖∵∠BCD=90°?∠ACD=∠ACE，∴∠BCD+∠ACE=∠BCE?∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=3α?α=2α，∴∠BCD=∠ACE=∠ACD=α，∴∠ACD=∠D=45°，∴DE⊥AC．如圖由①可知，∠BCE+∠ACD=180°，∴3α+α=180°，解得：α=45°，即∠ACD=45°，此時(shí)DE不垂直于AC故②錯(cuò)誤．故選：D．3．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖所示，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，射線OD平分∠EOB，射線OM平分∠BOD，則∠AOM等于（

）A．135° B．157.5° C．155° D．145.5°【答案】B【分析】本題考查了垂直的定義，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，由OE⊥AB，得∠EOB=90°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BOM=1【詳解】∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°，∵射線OD平分∠EOB，∴∠BOD=1∵射線OM平分∠BOD，∴∠BOM=1∵∠AOM+∠BOM=180°，∴∠AOM=180°?22.5°=157.5°，故選：B．4．（18-19七年級(jí)下·廣西欽州·期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于點(diǎn)O．若∠EOF=α，下列說法：①∠AOC=α?90°；②∠EOB=180°?α；③∠AOF=360°?2α．其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計(jì)算，對(duì)頂角相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，垂直的定義，對(duì)頂角相等，結(jié)合角的和差關(guān)系，逐一進(jìn)行計(jì)算判斷即可．【詳解】解：∵OE⊥CD，∴∠COE=∠DOE=90°，∴∠DOF=∠EOF?∠DOE=α?90°，∵OD平分∠BOF，∴∠BOD=∠DOF=α?90°，∴∠AOC=∠BOD=α?90°；故①正確；∴∠EOB=∠EOD?∠BOD=90°?α?90°∠AOF=180°?∠AOC?∠DOF=180°?2×α?90°故選D．5．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，推動(dòng)水桶，以點(diǎn)O為支點(diǎn)，使其向右傾斜．若在點(diǎn)A處分別施加推力F1、F2，則F1的力臂OA大于F2的力臂A．垂線段最短B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直C．兩點(diǎn)確定一條直線D．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行【答案】A【分析】本題考查了力臂，平行公理，垂直的性質(zhì)，直線特點(diǎn)，垂線段最短，根據(jù)圖形分析得到過點(diǎn)O有OB⊥AB，進(jìn)而利用垂線段最短得到OA>OB即可解題．【詳解】解：∵過點(diǎn)O有OB⊥AB，∴OA>OB，即得到F1的力臂OA大于F2的力臂∴其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，故選：A．6．（18-19七年級(jí)上·天津河北·期末）如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OD⊥OF，OB平分∠DOG．給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）①當(dāng)∠AOF=60°時(shí)，∠DOG=60°；

②OD平分∠EOG；③與∠BOD相等的角有3個(gè)；④∠COG=∠AOB?2∠EOF．A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)同角的余角相等可得∠AOF=∠DOE，再根據(jù)余角以及角平分線的意義即可判斷①；根據(jù)角平分線的定義，無法證明OD為∠EOG的角平分線，即可判斷②；根據(jù)角平分線的定義，可得∠BOD=∠BOG，由對(duì)頂角相等得出∠BOD=∠AOC，利用同角的余角相等可得∠BOD=∠EOF，即可判斷③；根據(jù)平角的定義以及∠EOF=∠BOG=∠AOC，即可判斷④．【詳解】解：①∵OE⊥AB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∵OD⊥OF∴∠DOF=90°，∴∠AOE=∠DOF=90°，∴∠AOF=∠DOE，∴當(dāng)∠AOF=60°時(shí)，∠DOE=60°，∴∠BOD=90°?60°=30°，∵OB平分∠DOG，∴∠DOG=2∠BOD=60°，故①正確；②∵不能證明∠GOD=∠EOD，∴無法證明OD為∠EOG的角平分線，故②錯(cuò)誤；③∵OB平分∠DOG，∴∠BOD=∠BOG．∵直線AB，CD交于點(diǎn)O，∴∠BOD=∠AOC．∵∠BOE=∠DOF=90°，∴∠BOD=∠EOF，∴與∠BOD相等的角有三個(gè)，故③正確；④∵∠COG=∠AOB?∠AOC?∠BOG，∠EOF=∠BOG=∠AOC=∠BOD，∴∠COG=∠AOB?2∠EOF，故④正確；所以正確的結(jié)論有①③④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線，余角、對(duì)頂角以及角平分線的性質(zhì)，注意結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)角與角之間的關(guān)系，難度適中．二、填空題7．（22-23七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）在直線AB上任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作射線OC，OD，使OC⊥OD，當(dāng)∠AOC=38°時(shí)，∠BOD的度數(shù)是．【答案】52°或128°【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，垂直的定義，分OC,OD在AB同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論，并畫出圖，然后根據(jù)OC⊥OD，∠AOC=38°，計(jì)算∠BOD的度數(shù)即可．【詳解】解：當(dāng)OC,OD在AB同側(cè)時(shí)，如圖，∵OC⊥OD，∠AOC=38°，∴∠BOD=180°?∠COD?∠AOC=180°?90°?38°=52°；當(dāng)OC,OD在AB異側(cè)時(shí)，如圖，∵OC⊥OD，∠AOC=38°，∴∠BOD=180故答案為：52°或128°．8．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF平分∠BOC，∠1:∠2=2:1，則∠COF的度數(shù)為．【答案】75°/75度【分析】本題考查了角平分線的定義，垂直的定義等知識(shí)，先根據(jù)垂直定義得出∠1+∠2=∠BOE=90°，然后結(jié)合∠1:∠2=2:1，求出∠2的度數(shù)，根據(jù)平角定義求出∠BOC的度數(shù)，最后根據(jù)角平分線的定義求解即可．【詳解】解：因?yàn)镺E⊥AB，所以∠1+∠2=∠BOE=90°，因?yàn)椤?:∠2=2:1，所以∠2=1所以∠BOC=180°?∠2=180°?30°=150°．因?yàn)镺F平分∠BOC，所以∠COF=19．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如果∠1的兩條邊所在直線與∠2的兩條邊互相垂直，且∠1是∠2的2倍少30度，則∠1的度數(shù)為°．【答案】110或30/30或110【分析】考查了垂線，本題需仔細(xì)分析題意，利用方程即可解決問題．關(guān)鍵是得到∠1與∠2的關(guān)系．因?yàn)閮蓚€(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，又因∠1是∠2的2倍少30度，利用方程組即可解決問題．【詳解】解：如圖1根據(jù)題意得，∠1=2∠2?30°∠1=∠2解得∠1=∠2=30°；如圖2，根據(jù)題意得，∠1=2∠2?30°解得∠1=110°∠2=70°∴∠1的度數(shù)為30°或110°，故答案為：110或30．10．（22-23七年級(jí)上·重慶九龍坡·期末）如圖，直線AB和CD交于O點(diǎn)，OD平分∠BOF，OE⊥CD于點(diǎn)O，∠AOC=30°【答案】120°/120度【分析】本題考查相交線對(duì)頂角性質(zhì)，角平分線定義，垂直定義，掌握對(duì)頂角性質(zhì)，角平分線定義，垂直定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì)可得∠BOD=∠AOC=30°．根據(jù)OD平分∠BOF，可得∠DOF=∠BOD=30°，根據(jù)OE⊥CD，得出∠EOD=90°，利用兩角和得出∠EOF=∠EOD+∠DOF=120°即可．【詳解】解：∵AB、CD相交于點(diǎn)O，∴∠BOD=∠AOC=30°．∵OD平分∠BOF，∴∠DOF=∠BOD=30°，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=120°．故答案為：120°．11．（23-24七年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF=66°，則∠BOC=°．【答案】132【分析】此題考查了角平分線的定義，平角的定義，垂直的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖，理解角平分線的定義，平角的定義，垂直的定義是解決問題的關(guān)鍵．設(shè)∠AOE=α，∠BOF=β，根據(jù)∠AOE+∠BOF=66°，得β=66°?α，再根據(jù)角平分線的定義得∠DOB=2β，由平角的定義得∠AOE+∠EOD+∠DOB=180°，即α+2β=90°，將β=66°?α代入可得α=42°，進(jìn)而可求出∠AOD=132°，然后再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BOC的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)∠AOE=α，∠BOF=β，∵∠AOE+∠BOF=66°，∴α+β=66°，∴β=66°?α，∵OF平分∠BOD，∴∠DOF=∠BOF=β，∴∠DOB=∠DOF+∠BOF=2β，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠AOE+∠EOD+∠DOB=180°，∴α+90°+2β=180°，∴α+2β=90°，∴α+266°?α解得：α=42°，即∠AOE=42°，∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=42°+90°=132°，∴∠BOC=∠AOD=132°．故答案為：132．12．（23-24七年級(jí)下·重慶榮昌·期末）如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)M，MF⊥AB，MG⊥CD，MB平分∠DME，下列結(jié)論中：①當(dāng)∠AMG=60°時(shí)，∠DME=60°；②MD平分∠EMF；③與∠BMD相等的角有3個(gè)；④∠CME=∠AMB?2∠FMG；⑤∠FMG+∠DME=90°．正確的結(jié)論序號(hào)是．【答案】①③④【分析】由MF⊥AB，MG⊥CD，得到∠2+∠3=∠3+∠4=90°，故∠2=∠4，同理∠1=∠3，故∠2=∠4=∠6，由MB平分∠DME，得到∠4=∠5，故∠2=∠4=∠6=∠5，故③正確；當(dāng)∠AMG=60°時(shí)，則∠2=∠4=∠6=∠5=30°，故∠DME=60°，故①正確；由∠CME=∠AMB?∠5?∠6，而∠2=∠4=∠6=∠5，故∠CME=∠AMB?2∠FMG，故④正確，而②⑤不可證明，即可作出選擇．【詳解】解：如圖，∵M(jìn)F⊥AB，MG⊥CD∴∠FMB=∠GMD=90°，∴∠2+∠3=∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，同理∠1=∠3，而∠4=∠6，∴∠2=∠4=∠6，∵M(jìn)B平分∠DME，∴∠4=∠5，∴∠2=∠4=∠6=∠5，故③正確；當(dāng)∠AMG=60°時(shí)，則∠2=∠4=∠6=∠5=30°，∴∠DME=60°，故①正確；∵∠CME=∠AMB?∠5?∠6，而∠2=∠4=∠6=∠5，∴∠CME=∠AMB?2∠FMG，故④正確，而②⑤不可證明，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角，平角的定義，角平分線的意義，垂線的定義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題13．（22-23七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD．(1)如果∠COB=130°，那么根據(jù)________，可得∠AOD=________°；(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度數(shù)．【答案】(1)對(duì)頂角相等，130；(2)150°．【分析】（1）利用對(duì)頂角相等的性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)對(duì)頂角相等，可知∠AOC=∠BOD，結(jié)合∠EOB=2∠AOC，即可求解；本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，平角的定義，垂直的定義，熟練掌握上述性質(zhì)和定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵∠COB=130°，∴∠COB=∠AOD=130°（對(duì)頂角相等），故答案為：對(duì)頂角相等，130；（2）解：∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠AOC=∠BOD，∠EOB=2∠AOC，∴∠EOB=2∠BOD，又∵∠EOB+∠BOD=90°，∴3∠BOD=90°，∴∠BOD=30°，∴∠AOD=180°?∠BOD=180°?30°=150°．14．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OM⊥AB．(1)若∠1=∠2，求證：ON⊥CD；(2)若∠1=14∠BOC【答案】(1)見解析(2)60°【分析】本題考查了垂直的定義，角的和差；（1）由垂直的定義得∠1+∠AOC=90°，等量代換得∠2+∠AOC=90°，即可得證；（2）由角的和差得∠BOM=∠BOC?∠1=3∠1，即可求解；理解垂直的定義，熟練利用角的和差進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：因?yàn)镺M⊥AB，所以∠AOM=90°，所以∠1+∠AOC=90°，因?yàn)椤?=∠2，所以∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，所以O(shè)N⊥CD．（2）解：因?yàn)镺M⊥AB，所以∠BOM=90°，因?yàn)椤?=1所以∠BOC=4∠1，所以∠BOM=∠BOC?∠13∠1=90°，所以∠1=30°，所以∠AOC=∠AOM?∠1=60°．15．（24-25七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，點(diǎn)O為垂足，OF平分∠AOC．(1)若∠AOF=64°，求∠COE的度數(shù)；(2)若∠AOF:∠COE=3:2，求∠EOF的度數(shù)．【答案】(1)∠COE=38°(2)∠EOF=22.5°【分析】本題考查角平分線的定義，對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角以及垂線，理解角平分線的定義，鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角以及垂直的定義是正確解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義，垂直的定義以及圖形中角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義，垂直的定義以及圖形中角的比例關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵OF平分∠AOC，∠AO