專題01集合、常用邏輯用語、復(fù)數(shù)目錄第一部分題型破譯微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例引領(lǐng)方法透視變式演練【選填題破譯目錄第一部分題型破譯微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例引領(lǐng)方法透視變式演練【選填題破譯】題型01元素與集合的關(guān)系題型02集合的包含關(guān)系求參數(shù)題型03集合的混合運(yùn)算題型04集合中的創(chuàng)新問題題型05充分條件、必要條件題型06全稱量詞命題、存在量詞命題題型07復(fù)數(shù)【解答題破譯】題型01集合的新定義第二部分綜合鞏固整合應(yīng)用，模擬實(shí)戰(zhàn)題型01元素與集合的關(guān)系【例1-1】設(shè)，A是M的子集，且滿足條件：當(dāng)時(shí)，，則A中元素個(gè)數(shù)的最大值為（

）A．1862 B．1866 C．1868 D．1870【例1-2】定義，已知，則集合中所有元素乘積為．求集合交、并、補(bǔ)集的2種方法：（1）定義法：若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)交、并、補(bǔ)集的定義直接觀察或用圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果．（2）數(shù)形結(jié)合法：若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時(shí)要注意當(dāng)端點(diǎn)不在集合中時(shí)，應(yīng)用“空心點(diǎn)”表示．【變式1-1】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，集合，集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【變式1-2】（25-26高三上·江蘇常州·期中）已知集合是質(zhì)數(shù)，，則（

）A． B．{2} C．{3} D．【變式1-3】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合滿足，且當(dāng)時(shí)，，則中元素的個(gè)數(shù)至多為.題型02集合的包含關(guān)系求參數(shù)【例2-1】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A． B．C． D．【例2-2】（25-26高三上·上?！て谥校┮阎?，，若，則滿足條件的集合個(gè)數(shù)為（

）A．408 B．409 C．410 D．411根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對(duì)含參數(shù)的集合是否為空集進(jìn)行分類討論，做到不漏解.①若集合中的元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解，此時(shí)注意集合中元素的互異性.②若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組）求解，此時(shí)注意檢驗(yàn)端點(diǎn)值能否取到【變式2-1】已知集合，，若,則a的值是（

）A．1 B． C．1或 D．或【變式2-2】（2025高三上·湖北·專題練習(xí)）已知集合，.若則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【變式2-3】（25-26高三上·湖南邵陽·期中）已知函數(shù)（），若非空集合，且，則下列說法中正確的是（

）A．n的取值與m有關(guān) B．n為定值C． D．題型03集合的混合運(yùn)算【例3-1】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【例3-2】（25-26高三上·上海徐匯·期中）已知集合，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法（1）與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值的取舍.（2）若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關(guān)系，再列方程（組）求解.［注意］在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗(yàn)證（滿足集合中元素的互異性）.【變式3-1】（25-26高三上·北京·月考）已知集合．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（25-26高三上·河北·期中）（多選）已知全集，集合，若，，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．【變式3-3】設(shè)全集，，，若，則實(shí)數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合為；題型04集合中的創(chuàng)新問題【例4-1】設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．35 C．40 D．45【例4-2】不等式的解集為N，不等式的解集為M，則解集M與N的關(guān)系是()A． B． C． D．解決以集合為背景的新定義問題的關(guān)鍵點(diǎn)（1）準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決新定義問題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.（2）方法選?。簩?duì)于新定義問題，可恰當(dāng)選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)求解.【變式4-1】（25-26高三上·山東臨沂·期中）置換是抽象代數(shù)的一種基本變換，對(duì)于有序數(shù)組，有序數(shù)組，定義“間距置換”：，，.已知有序數(shù)組，經(jīng)過一次“間距置換”后得到新的有序數(shù)組，且中所有數(shù)之和為2026，則（

）A．1004 B．1007 C．1010 D．1013【變式4-2】（25-26高三上·上?！て谥校┮阎希强占?，且滿足:對(duì)任意，均存在，使.記符合要求的的個(gè)數(shù)為.則對(duì)于正整數(shù)，.【變式4-3】若集合滿足，則稱為集合的一個(gè)分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與為同一種分拆，則集合的不同分拆種數(shù)為（

）A． B． C． D．題型05充分條件、必要條件【例5-1】（2025·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【例5-2】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．充分條件、必要條件的應(yīng)用一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（組）求解.（2）要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易漏解或增解.【變式5-1】（25-26高三上·河北滄州·期中）已知為虛數(shù)單位，則“”是“”為純虛數(shù)的（

）A．必要不充分條件 B．充要條件C．充分不必要條件 D．既不充分又不必要條件【變式5-2】（25-26高三上·江蘇南通·期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意的，，且，則“”是“是增函數(shù)”的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式5-3】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為兩個(gè)隨機(jī)事件，，則“相互獨(dú)立”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件題型06全稱量詞命題、存在量詞命題【例6-1】若“”是假命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例6-2】（2025高三上·湖北黃岡·專題練習(xí)）若“，”為假命題，則的取值范圍為.根據(jù)命題的真假求參數(shù)的值（范圍）的思路與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)的取值范圍問題，本質(zhì)是恒成立問題或有解問題.解決此類問題時(shí)，可以直接求解，也可以利用等價(jià)命題將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或不等式（組），再通過解方程（組）或不等式（組）求出參數(shù)的值或范圍.【變式6-1】（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若“恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式6-2】若命題“，使”為真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式6-3】命題，命題若命題?一真一假，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型07復(fù)數(shù)【例7-1】（25-26高三上·江蘇南通·期中）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【例7-2】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，且，則的最大值是．復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算的策略【變式7-1】（2025·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知復(fù)數(shù)，，其中，則（

）A．存在，使得 B．存在，使得C．存在，使得 D．存在，使得【變式7-2】（25-26高三上·安徽·期中）（多選）設(shè)，均為非零復(fù)數(shù)，下列命題中正確的有（

）A．B．C．若，則D．若，則【變式7-3】（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處，若旋轉(zhuǎn)角為，則（

）A．的坐標(biāo)為B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，以為圓心，為半徑的圓中劣弧的長(zhǎng)為D．的坐標(biāo)為題型01集合的新定義問題【例1-1】（25-26高三上·山東淄博·期中）已知一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，設(shè)滿足條件的的取值集合為.(1)求集合；(2)對(duì)于兩非空集合，定義：，若，求.【例1-2】（25-26高三上·山東·月考）已知有限實(shí)數(shù)集，定義集合.(1)若集合，求集合；(2)是否存在有限實(shí)數(shù)集，使得，說明理由；(3)若集合中有個(gè)元素，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.【變式1-1】（25-26高一上·湖北武漢·月考）已知實(shí)數(shù)集，定義.(1)若，求；(2)若均為正數(shù)，，求的元素個(gè)數(shù)的取值范圍；(3)若，求集合.【變式1-2】（25-26高三上·北京通州·期中）設(shè)有序數(shù)陣，集合，（其中）．若滿足：①；②，則稱為集合的覆蓋數(shù)陣．(1)若為的覆蓋數(shù)陣，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，寫出所有的的取值，使得為的覆蓋數(shù)陣．(3)設(shè)有序數(shù)陣的個(gè)數(shù)為，若為的覆蓋數(shù)陣，求證：．【變式1-3】對(duì)于實(shí)數(shù)集中的兩個(gè)非空有限子集和，定義和集．記符號(hào)表示集合中的元素個(gè)數(shù)．當(dāng)時(shí)，設(shè)是集合中按從小到大排列的所有元素，記集合.(1)已知集合，若，求集合，并求出的值(2)已知，記集合或．（i）當(dāng)時(shí)，證明的充要條件是；（ii）若，求的所有可能取值．一、單選題1．（25-26高三上·江蘇鹽城·月考）已知命題，，則（

）A．，，且是真命題B．，，且是真命題C．，，且是假命題D．，，且是假命題2．（25-26高三上·廣西南寧·月考）若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域?yàn)榈摹巴搴瘮?shù)”包含的函數(shù)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．6 C．9 D．273．（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）函數(shù)在上單調(diào)遞增的必要不充分條件為（

）A． B． C． D．4．（25-26高三上·河北·期中）已知，均為整數(shù)，且，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（25-26高三上·上海·期中）有下面三個(gè)命題：命題1：若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)；命題2：已知定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意的，均有，則函數(shù)為偶函數(shù)；命題3：已知定義在上的偶函數(shù)在上嚴(yán)格增，則存在函數(shù)在上嚴(yán)格減.則真命題有（

）個(gè).A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題6．（25-26高三上·河南·期中）設(shè)為任意的兩個(gè)非空數(shù)集，定義集合且為的笛卡爾積，記為的任何子集都稱為到的關(guān)系，特別地，當(dāng)時(shí)，稱為上的關(guān)系．在平面上用實(shí)心圓點(diǎn)分別標(biāo)出中元素的點(diǎn)（稱為結(jié)點(diǎn)），如果，那么用實(shí)心圓點(diǎn)標(biāo)出中元素的點(diǎn)即可．若，則自結(jié)點(diǎn)至結(jié)點(diǎn)作一條有向邊，箭頭指向，若，則結(jié)點(diǎn)到?jīng)]有有向邊連接，采用這種方法連接起來的圖稱為的關(guān)系圖．若均為到的關(guān)系，則定義存在滿足，且．設(shè)集合，現(xiàn)給出如下5個(gè)上的關(guān)系，的關(guān)系圖，其中，則（

）

A．B．共有512個(gè)子集C．D．三、填空題7．對(duì)于，命題“”為真命題的充要條件是.8．定義，已知，則集合中所有元素乘積為．9．（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）1＝121＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……根據(jù)以上事實(shí)寫出含有量詞的全稱量詞命題為10．已知為個(gè)互不相等的正整數(shù)，滿足，，若集合有個(gè)元素，則的最大值為..四、解答題11．（25-26高一上·北京·月考）已知集合為非空數(shù)集，定義：（實(shí)數(shù)可以相同）.(1)若集合，直接寫出集合；(2)若集合，且，求證：；(3)若集合，記為集合中的元素個(gè)數(shù)，求的最大值.12．已知區(qū)間和區(qū)間，我們把含有的代數(shù)式記作“”.現(xiàn)有如下定義：定義1：若，使得，則稱“”是“任意存在型”代數(shù)式；定義2：若，使得，則稱“”是“存在任意型”代數(shù)式.(1)寫出命題“，使得”的否定形式，并判斷命題的真假；（直接寫出結(jié)果即可，不用說明理由）(2)若，使得，求實(shí)數(shù)的最小值；(3)已知區(qū)間，代數(shù)式，請(qǐng)判斷“”是“任意存在型”代數(shù)式？還是“存在任意型”代數(shù)式，并說明理由.

專題01集合、常用邏輯用語、復(fù)數(shù)目錄第一部分題型破譯微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例引領(lǐng)方法透視變式演練【選填題破譯】題型01目錄第一部分題型破譯微觀解剖，精細(xì)教學(xué)典例引領(lǐng)方法透視變式演練【選填題破譯】題型01元素與集合的關(guān)系題型02集合的包含關(guān)系求參數(shù)題型03集合的混合運(yùn)算題型04集合中的創(chuàng)新問題題型05充分條件、必要條件題型06全稱量詞命題、存在量詞命題題型07復(fù)數(shù)【解答題破譯】題型01集合的新定義第二部分綜合鞏固整合應(yīng)用，模擬實(shí)戰(zhàn)題型01元素與集合的關(guān)系【例1-1】設(shè)，A是M的子集，且滿足條件：當(dāng)時(shí)，，則A中元素個(gè)數(shù)的最大值為（

）A．1862 B．1866 C．1868 D．1870【答案】D【分析】易知與只能有一個(gè)是集合的元素，根據(jù)、可得集合中的元素最多時(shí)有個(gè).【詳解】由題意知，，由，知當(dāng)集合中的元素最多時(shí)，，共個(gè)；又，所以當(dāng)集合中的元素最多時(shí)，，共8個(gè)，綜上，集合中的元素最多為個(gè).故選：D【例1-2】定義，已知，則集合中所有元素乘積為．【答案】【分析】根據(jù)定義得到，所以所有元素乘積為.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以集合中所有元素乘積為，故答案為：求集合交、并、補(bǔ)集的2種方法：（1）定義法：若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)交、并、補(bǔ)集的定義直接觀察或用圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果．（2）數(shù)形結(jié)合法：若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時(shí)要注意當(dāng)端點(diǎn)不在集合中時(shí)，應(yīng)用“空心點(diǎn)”表示．【變式1-1】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，集合，集合，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出集合中方程組的解集，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榧?，集合，因?yàn)槭窃嘏c集合之間的關(guān)系，而均為點(diǎn)集，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)榧习?，所以B正確，C,D錯(cuò)誤.故選：B.【變式1-2】（25-26高三上·江蘇常州·期中）已知集合是質(zhì)數(shù)，，則（

）A． B．{2} C．{3} D．【答案】C【分析】通過解不等式先求出集合，變形，分析出要使是質(zhì)數(shù)，而必須是2的正因數(shù)，將和分別代入驗(yàn)證，即可求出集合，再求即可得解.【詳解】由，解得，故.因?yàn)?，要使是質(zhì)數(shù)，必須是整數(shù)，而必須是2的正因數(shù).因?yàn)?的正因數(shù)有1和2，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，4不是質(zhì)數(shù)，不符合要求，舍去；所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，3是質(zhì)數(shù)，符合要求，故.所以.故選：C【變式1-3】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知集合滿足，且當(dāng)時(shí)，，則中元素的個(gè)數(shù)至多為.【答案】1947【分析】根據(jù)集合中元素的關(guān)系，得出所有元素的取值可能，得出相應(yīng)的元素個(gè)數(shù).【詳解】易知，與不能同在中，其中，，，，又，所以中元素的個(gè)數(shù)不大于；另一方面，設(shè)，，取，此時(shí)中恰有1947個(gè)元素，滿足要求.故答案為：1947題型02集合的包含關(guān)系求參數(shù)【例2-1】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，可得，再分和兩種情況討論即可.【詳解】因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，則，所以，得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，所以，所以，所以，則，此時(shí)，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為.故選：B.【例2-2】（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，則滿足條件的集合個(gè)數(shù)為（

）A．408 B．409 C．410 D．411【答案】C【分析】由題意得除以3的余數(shù)相同，按照除以3所得余數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合組合數(shù)求解即可.【詳解】，且能被3整除，

∴除以3的余數(shù)相同，集合的元素中，能被3整除的整數(shù)有，被3除余1的整數(shù)有，被3除余2的整數(shù)有，當(dāng)都被3整除時(shí)，則從被3整除的5個(gè)數(shù)中選取3個(gè)，或可從被3整除的5個(gè)數(shù)中選取2個(gè)，從其余11個(gè)數(shù)中選擇，∴的個(gè)數(shù)為，當(dāng)被3除余1時(shí)，則從被3除余1的6個(gè)數(shù)中選取3個(gè)，或可從被3除余1的6個(gè)數(shù)中選取2個(gè)，從其余10個(gè)數(shù)中選擇，∴的個(gè)數(shù)為，當(dāng)被3除余2時(shí)，則從被3除余2的5個(gè)數(shù)中選取3個(gè)，或可從被3除余2的5個(gè)數(shù)中選取2個(gè)，從其余11個(gè)數(shù)中選擇，∴的個(gè)數(shù)為，∴滿足條件的集合共有個(gè)．故選：C.根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對(duì)含參數(shù)的集合是否為空集進(jìn)行分類討論，做到不漏解.①若集合中的元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解，此時(shí)注意集合中元素的互異性.②若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組）求解，此時(shí)注意檢驗(yàn)端點(diǎn)值能否取到【變式2-1】已知集合，，若,則a的值是（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】D【分析】由和分類討論即可求解.【詳解】由得,又，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，則或，解得或，所以a的值是或，故選：D【變式2-2】（2025高三上·湖北·專題練習(xí)）已知集合，.若則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】首先確定集合的補(bǔ)集，然后根據(jù)求出的范圍.【詳解】因?yàn)榧?，所?因?yàn)榧?，，?dāng)不為空集時(shí)，所以，解得.當(dāng)為空集時(shí)，，解得.綜上，的取值范圍為.故選：A【變式2-3】（25-26高三上·湖南邵陽·期中）已知函數(shù)（），若非空集合，且，則下列說法中正確的是（

）A．n的取值與m有關(guān) B．n為定值C． D．【答案】B【分析】先通過換元將集合轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，再利用建立方程和不等式，解得的值和的范圍，最后判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】令則不等式化為，設(shè)的解集為，即，，即，所以，又，且，所以，且，故，且，則，解得，故錯(cuò)誤，正確；故，因?yàn)榧戏强?，則有解，則，解得或；因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，即是方程的兩根，則，故,解得，故，故錯(cuò)誤，錯(cuò)誤.故選：題型03集合的混合運(yùn)算【例3-1】（25-26高三上·河北衡水·月考）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式求解出集合，，再利用交集的定義求解即可.【詳解】，所以，故選：C.【例3-2】（25-26高三上·上海徐匯·期中）已知集合，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解分式不等式得到集合，從而得到.討論集合是否為空集，得到不等式（組）解得的取值范圍.【詳解】令，則，所以或，即或，可得，而，分如下情況討論，①，即，則，②，則，則，∴，即.故選：A.集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法（1）與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值的取舍.（2）若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關(guān)系，再列方程（組）求解.［注意］在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗(yàn)證（滿足集合中元素的互異性）.【變式3-1】（25-26高三上·北京·月考）已知集合．若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)得到，再根據(jù)得到的取值范圍.【詳解】由可得，，則，故選：A.【變式3-2】（25-26高三上·河北·期中）（多選）已知全集，集合，若，，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】利用集合的運(yùn)算法則求得集合，再驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng).【詳解】利用集合的運(yùn)算法則得：，.對(duì)于A：，故正確；對(duì)于B：，故錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故正確；對(duì)于D：，故錯(cuò)誤.故選：AC【變式3-3】設(shè)全集，，，若，則實(shí)數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合為；【答案】【分析】先求出，分和兩種情況，得到相應(yīng)的方程，求出答案.【詳解】由題意得，解得，又，故，，若，滿足，此時(shí)，即；若，也滿足，此時(shí)，解得；故實(shí)數(shù)a的所有取值構(gòu)成的集合為.故答案為：題型04集合中的創(chuàng)新問題【例4-1】設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．35 C．40 D．45【答案】D【分析】設(shè)中，有個(gè)，個(gè)，則可得，再分、及進(jìn)行討論即可得.【詳解】設(shè)中，有個(gè)，個(gè)，則有個(gè)，則需，解得，則當(dāng)時(shí)，，共有種情況；則當(dāng)時(shí)，，共有種情況；則當(dāng)時(shí)，，共有種情況；故共有種情況，即集合中滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為.故選：D.【例4-2】不等式的解集為N，不等式的解集為M，則解集M與N的關(guān)系是()A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意及絕對(duì)值的三角不等式知，即可得間的關(guān)系．【詳解】由于不等式的解集為N，不等式的解集為M，由絕對(duì)值三角不等式知：，所以.故選：B解決以集合為背景的新定義問題的關(guān)鍵點(diǎn)（1）準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決新定義問題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.（2）方法選取：對(duì)于新定義問題，可恰當(dāng)選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)求解.【變式4-1】（25-26高三上·山東臨沂·期中）置換是抽象代數(shù)的一種基本變換，對(duì)于有序數(shù)組，有序數(shù)組，定義“間距置換”：，，.已知有序數(shù)組，經(jīng)過一次“間距置換”后得到新的有序數(shù)組，且中所有數(shù)之和為2026，則（

）A．1004 B．1007 C．1010 D．1013【答案】C【分析】本題通過分析數(shù)組元素的大小關(guān)系，結(jié)合絕對(duì)值的運(yùn)算求解參數(shù).【詳解】由“間距置換”定義，得，，.由，得.因且，故或.若，則，，，于是，得，即，故.若，同理可得.綜上所述，的值為.故選：C.【變式4-2】（25-26高三上·上?！て谥校┮阎希强占?，且滿足:對(duì)任意，均存在，使.記符合要求的的個(gè)數(shù)為.則對(duì)于正整數(shù)，.【答案】【分析】根據(jù)條件，分析可得當(dāng)時(shí)，滿足要求的元素個(gè)數(shù)，可得的個(gè)數(shù)，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以P中元素是中滿足且的元素，對(duì)于，則，所以滿足要求的元素有，共有個(gè)元素，所以在不考慮順序的情況下，共有對(duì)，故.故答案為：【變式4-3】若集合滿足，則稱為集合的一個(gè)分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與為同一種分拆，則集合的不同分拆種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】按照分類列舉出所有的分拆，即得答案.【詳解】若，則；若則或；若，則或；若，則或；若，則或或或；若，則或或或；若，則或或或；若則或或或或，或或或；所以集合的不同分拆種數(shù)為27.故選：D題型05充分條件、必要條件【例5-1】（2025·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則（

）A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件【答案】C【分析】結(jié)合向量垂直和平行的條件，對(duì)各選項(xiàng)中的命題進(jìn)行充分性或必要性判斷．【詳解】若，則，解得或，但由推不出，是的充分條件，故A錯(cuò)誤；同理但由推不出，是的充分條件，故C正確；若，則，解得或，即等價(jià)于或，與無關(guān)，“”不是“”的必要條件，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，由，故得不出，“”不是“”的充分條件，故D錯(cuò)誤．故選：C．【例5-2】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】先求出，，由題設(shè)可得，，進(jìn)而得到是的真子集，根據(jù)包含關(guān)系求解即可.【詳解】由，則，由，則，即，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以，，則是的真子集，則，等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.充分條件、必要條件的應(yīng)用一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（組）求解.（2）要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易漏解或增解.【變式5-1】（25-26高三上·河北滄州·期中）已知為虛數(shù)單位，則“”是“”為純虛數(shù)的（

）A．必要不充分條件 B．充要條件C．充分不必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算先求，利用純虛數(shù)得，進(jìn)而求解.【詳解】由為純虛數(shù)，得，即，所以“”是“”為純虛數(shù)的必要不充分條件，故選：A.【變式5-2】（25-26高三上·江蘇南通·期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于任意的，，且，則“”是“是增函數(shù)”的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，即可判斷選項(xiàng).【詳解】若，則，則當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，反過來，若函數(shù)單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，即，但不能推出，所以“”是“是增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：B【變式5-3】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為兩個(gè)隨機(jī)事件，，則“相互獨(dú)立”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】要判斷“相互獨(dú)立”與“”的條件關(guān)系，需從充分性和必要性兩方面，利用條件概率公式及事件獨(dú)立性定義進(jìn)行推導(dǎo)即可.【詳解】由題意，，，若相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，所以，，所以，故充分性成立；若，即，則，即，故，即相互獨(dú)立，故、相互獨(dú)立，故必要性成立，故“相互獨(dú)立”是“”的充分必要條件．故選：C題型06全稱量詞命題、存在量詞命題【例6-1】若“”是假命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把命題進(jìn)行否定，根據(jù)題意命題的否定為真命題，再分兩種情況討論即可.【詳解】是假命題，那么它的否定是真命題，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，則開口向上且判別式，即，解得，綜上所述，的取值范圍為.故選：.【例6-2】（2025高三上·湖北黃岡·專題練習(xí)）若“，”為假命題，則的取值范圍為.【答案】【分析】先求出原命題為真命題的時(shí)候的范圍，再取其補(bǔ)集即可.【詳解】假設(shè)若“，”為真命題，則，令，不等式即為，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故其最大值在端點(diǎn)處取得，比較與，可知，則，所以若“，”為假命題，則的取值范圍為.故答案為：根據(jù)命題的真假求參數(shù)的值（范圍）的思路與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)的取值范圍問題，本質(zhì)是恒成立問題或有解問題.解決此類問題時(shí)，可以直接求解，也可以利用等價(jià)命題將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或不等式（組），再通過解方程（組）或不等式（組）求出參數(shù)的值或范圍.【變式6-1】（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若“恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為最值問題，利用“1”的代換求最值求解.【詳解】因?yàn)椋?，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式6-2】若命題“，使”為真命題，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】或【分析】把看作是的函數(shù)，討論該函數(shù)的單調(diào)性，求得該函數(shù)的最小值.令最小值大于零，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若命題“，使”為真命題，則命題：“，使”為真命題，即命題：“，使的最小值大于零”為真命題.令，.當(dāng)，即，即，或時(shí)，是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.由，得或.所以或.當(dāng)，得或，若，則，不滿足題意；若，則滿足題意，所以.當(dāng)，即，是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.由，得或.所以.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故答案為：或.方法二：命題“，使”為真命題.令，則方程的實(shí)數(shù)根為.因?yàn)?，所以函?shù)的圖象開口向上.所以當(dāng)時(shí)，，或.因?yàn)榇藭r(shí)的最小值為-2，所以，或.當(dāng)時(shí)，，或.因?yàn)榇藭r(shí)的最大值為，所以，或.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為或.故答案為：或.【變式6-3】命題，命題若命題?一真一假，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意，分別求得命題和為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍，分類討論，即可求解.【詳解】若命題為真命題，即方程在上有解，則滿足，解得，若命題為真命題，即不等式在上恒成立，則滿足，解得，當(dāng)命題為真命題且為假命題時(shí)，則滿足；當(dāng)命題為假命題且為真命題時(shí)，則滿足；所以命題?一真一假時(shí)，可得或所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.題型07復(fù)數(shù)【例7-1】（25-26高三上·江蘇南通·期中）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法及乘法運(yùn)算，再結(jié)合復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，則.故選：A.【例7-2】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，且，則的最大值是．【答案】3【分析】設(shè)，利用模的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)，由的幾何意義知，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，即，因?yàn)榈膸缀我饬x為點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，所以.故答案為：3.復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算的策略【變式7-1】（2025·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知復(fù)數(shù)，，其中，則（

）A．存在，使得 B．存在，使得C．存在，使得 D．存在，使得【答案】AB【分析】對(duì)于選項(xiàng)：先利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，分別求出和，令模長(zhǎng)相等，解方程即可；對(duì)于選項(xiàng)：先利用復(fù)數(shù)的除法公式求得，即虛部為零，最后解方程即可；對(duì)于選項(xiàng)：先利用復(fù)數(shù)的乘法公式求得，即虛部為零，最后判斷出方程無解；對(duì)于選項(xiàng)：由得，再計(jì)算，最后解方程即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：由題意得，，由，得，解得，故存在，使得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)：，令，解得，故存在，使得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)：，恒成立，故不存在，使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：，化簡(jiǎn)得，，方程無解，故不存在，使得，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【變式7-2】（25-26高三上·安徽·期中）（多選）設(shè)，均為非零復(fù)數(shù)，下列命題中正確的有（

）A．B．C．若，則D．若，則【答案】ABC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加法、減法、除法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】對(duì)于A：設(shè)，，，，，，則，，，所以，故A正確；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：若，則，，故C正確；對(duì)于D：若，取，，滿足條件，但，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【變式7-3】（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）（多選）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，向量繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處，若旋轉(zhuǎn)角為，則（

）A．的坐標(biāo)為B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，以為圓心，為半徑的圓中劣弧的長(zhǎng)為D．的坐標(biāo)為【答案】BCD【分析】求出點(diǎn)坐標(biāo)判斷A；利用勾股定理求出長(zhǎng)度判斷B；利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算判斷C；利用三角函數(shù)定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)判斷D.【詳解】對(duì)于A，的坐標(biāo)為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，而，則，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，劣弧的長(zhǎng)為，C正確；對(duì)于D，，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，D正確.故選：BCD題型01集合的新定義問題【例1-1】（25-26高三上·山東淄博·期中）已知一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，設(shè)滿足條件的的取值集合為.(1)求集合；(2)對(duì)于兩非空集合，定義：，若，求.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題意，解不等式組即可求解；（2）先根據(jù)定義域的求法得或，然后利用補(bǔ)集運(yùn)算求得，進(jìn)而利用集合新定義求解即可.【詳解】（1）由題意因?yàn)闀r(shí)，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則，解得．所以．（2）對(duì)于，因?yàn)椋曰?，即或，所以，又，由集合新定義知：或.【例1-2】（25-26高三上·山東·月考）已知有限實(shí)數(shù)集，定義集合.(1)若集合，求集合；(2)是否存在有限實(shí)數(shù)集，使得，說明理由；(3)若集合中有個(gè)元素，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)不存在；理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)新定義求解即可；（2）利用反證法討論即可；（3）通過分析集合元素的排列情況，找到中元素個(gè)數(shù)的最大值的規(guī)律即可求解.【詳解】（1）由題意可知，（2）不存在；假設(shè)存在，設(shè)，由題意，中的元素均為正數(shù)，故若，則，因?yàn)榧现械淖畲髷?shù)為，而集合中的最大數(shù)為，矛盾.（3）一方面，集合中元素是由集合中個(gè)元素兩兩作差得到的，故；另一方面，構(gòu)造集合；任取兩組不全相同的自然數(shù)數(shù)對(duì)與；若，不妨設(shè)，則.因?yàn)椋?，所以；若，則，則；故無論如何，集合中的元素，兩兩作差均不相同，故中的元素個(gè)數(shù)為；綜上，集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.【變式1-1】（25-26高一上·湖北武漢·月考）已知實(shí)數(shù)集，定義.(1)若，求；(2)若均為正數(shù)，，求的元素個(gè)數(shù)的取值范圍；(3)若，求集合.【答案】(1)(2)(3)或者【分析】（1）根據(jù)集合的新定義直接求解即可；（2）根據(jù)集合中的元素具有互異性，分類討論互不相等且不成比例和中存在比例關(guān)系，求的元素個(gè)數(shù)的取值范圍.（3）根據(jù)可得，然后分中個(gè)非零元素，符號(hào)為一負(fù)三正或者一正三負(fù)進(jìn)行討論即可；【詳解】（1）根據(jù)題意可得.（2）若均為正數(shù)，，集合中的元素具有互異性，不妨設(shè)，則，故中至少有5個(gè)元素，而中共有對(duì)不同的元素，因此最多有6個(gè)不同的乘積.取,此時(shí)，此時(shí)的元素個(gè)數(shù)，取，則，此時(shí)的元素個(gè)數(shù)，故的元素個(gè)數(shù)的取值范圍為，（3）若，可得，其次中有個(gè)非零元素，符號(hào)為一負(fù)三正或者一正三負(fù).記，不妨設(shè)或者①當(dāng)時(shí)，則，，相乘可知，從而，從而，所以；②當(dāng)時(shí)，與上面類似的方法可以得到，進(jìn)而，從而.所以或者.【變式1-2】（25-26高三上·北京通州·期中）設(shè)有序數(shù)陣，集合，（其中）．若滿足：①；②，則稱為集合的覆蓋數(shù)陣．(1)若為的覆蓋數(shù)陣，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，寫出所有的的取值，使得為的覆蓋數(shù)陣．(3)設(shè)有序數(shù)陣的個(gè)數(shù)為，若為的覆蓋數(shù)陣，求證：．【答案】(1)、、、、(2)可為與(3)證明見解析【分析】（1）結(jié)合所給定義計(jì)算即可得；（2）結(jié)合所給定義可得，則可得符合要求的值，即可得解；（3）構(gòu)造有序數(shù)陣，計(jì)算可得該有序數(shù)陣也是的覆蓋數(shù)陣，且，則可得的覆蓋數(shù)陣成對(duì)出現(xiàn)，即可得證.【詳解】（1）由題意可得，解得，則且，故，，綜上，有、、、、；（2）由，則，，故，又，故，則有，即，由，則，當(dāng)時(shí)，，不符；當(dāng)時(shí)，，不符；當(dāng)時(shí)，，符合，實(shí)際上，符合要求；當(dāng)時(shí)，，符合，由（1）知，符合要求；綜上所述：時(shí)，可為與；（3）若為的覆蓋數(shù)陣，則有，，則存在有序數(shù)陣，有，滿足條件②，，滿足條件①，故也為的覆蓋數(shù)陣，假設(shè)，則有，又，則有，，由，則與需恒為偶數(shù)，顯然不可能，故，故覆蓋數(shù)陣成對(duì)出現(xiàn)，即為偶數(shù)，即有.【變式1-3】對(duì)于實(shí)數(shù)集中的兩個(gè)非空有限子集和，定義和集．記符號(hào)表示集合中的元素個(gè)數(shù)．當(dāng)時(shí)，設(shè)是集合中按從小到大排列的所有元素，記集合.(1)已知集合，若，求集合，并求出的值(2)已知，記集合或．（i）當(dāng)時(shí)，證明的充要條件是；（ii）若，求的所有可能取值．【答案】(1)，；(2)（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）先根據(jù)求出的值，可確定集合，進(jìn)而求.（2）（i）先證充分性，再證必要性.（ii）根據(jù)和，分析中元素的特征，求出，進(jìn)而確定的值.【詳解】（1）因?yàn)?，由，所以，所以且，所以必有，所以，所以，所?（2）（i）因?yàn)?，可設(shè)，.先證充分性：因?yàn)椋郧?，從而可以設(shè)，其中，此時(shí)中的元素為，故，再證必要性，設(shè)，，其中，注意到和集中的最小元素為，最大元素為，因?yàn)椋灾虚g三個(gè)元素可以是，也可以是，它們是對(duì)應(yīng)相等的，所以有，，即，故，得證，（ii）①若，由第（i）小問的分析知，可以設(shè)，，其中，此時(shí)中的元素為，這與條件矛盾，②取，其中，容易驗(yàn)證此時(shí)中的元素為，符合條件，所以可以取2，③若，設(shè)，其中，結(jié)合知至少存在兩個(gè)不同的正整數(shù)，使得，不妨設(shè)是符合這一條件最小的正整數(shù)，是符合這一條件最大的正整數(shù)，注意到，這是中的個(gè)不同的元素，根據(jù)的定義我們有，即，當(dāng)時(shí)，由的最小性知，即，此時(shí)我們有，當(dāng)時(shí)，也有，因此是中的元素，但與(*)式中的個(gè)元素均不相等，同理，根據(jù)的定義有是中的元素，但與(*)式中的個(gè)元素均不相等，因?yàn)椋?，此時(shí)，矛盾，綜上，的取值只能為2；一、單選題1．（25-26高三上·江蘇鹽城·月考）已知命題，，則（

）A．，，且是真命題B．，，且是真命題C．，，且是假命題D．，，且是假命題【答案】D【分析】先判斷命題的真假，再由全稱量詞命題的否定是存在量詞命題求解．【詳解】設(shè)，則，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，得，則命題是真命題，得是假命題，且，，故選：D2．（25-26高三上·廣西南寧·月考）若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為，值域?yàn)榈摹巴搴瘮?shù)”包含的函數(shù)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．6 C．9 D．27【答案】D【分析】已知函數(shù)的值域取值情況結(jié)合題目條件求出函數(shù)定義域取值的集合，再由集合非空子集個(gè)數(shù)及分步計(jì)數(shù)求“同族函數(shù)”個(gè)數(shù)即可得．【詳解】由題可知的值域?yàn)?，則或或，結(jié)合“同族函數(shù)“的定義，則函數(shù)定義域分別從中各取至少一個(gè)數(shù)，所以共有種．故選：D3．（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）函數(shù)在上單調(diào)遞增的必要不充分條件為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)恒成立的等價(jià)條件求解即可.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得在上恒成立，則，解得，因此A是充分條件，B是充要條件，C是既不充分也不必要條件，D是必要不充分條件.故選：D4．（25-26高三上·河北·期中）已知，均為整數(shù)，且，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解方程得或，然后分別求出各個(gè)線段上的整數(shù)點(diǎn)，最后利用真子集個(gè)數(shù)結(jié)論求解即可.【詳解】要求集合的真子集個(gè)數(shù)，只需求集合的元素個(gè)數(shù)，即，則或.對(duì)于，由整數(shù)知且為偶數(shù)，則有個(gè)滿足條件的；對(duì)于，由整數(shù)知且為3的倍數(shù)，則有個(gè)滿足條件的，又因?yàn)楸恢貜?fù)統(tǒng)計(jì)，故集合的元素個(gè)數(shù)是，故集合的真子集的個(gè)數(shù)是.故選：C.5．（25-26高三上·上?！て谥校┯邢旅嫒齻€(gè)命題：命題1：若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)；命題2：已知定義在上的函數(shù)，若對(duì)任意的，均有，則函數(shù)為偶函數(shù)；命題3：已知定義在上的偶函數(shù)在上嚴(yán)格增，則存在函數(shù)在上嚴(yán)格減.則真命題有（

）個(gè).A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】可舉反例，令，顯然函數(shù)不是周期函數(shù),可判斷了A選項(xiàng)；由，可知，可判斷B；函數(shù)在單調(diào)遞減，進(jìn)而可得在上嚴(yán)格減，從而判斷得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于命題1，可舉反例，，顯然函數(shù)不是周期函數(shù)，但是周期函數(shù)，故命題1是假命題；對(duì)于命題2，由，可知，故，即函數(shù)為偶函數(shù)，故命題2是真命題；對(duì)于命題3，例如，則為偶函數(shù)且在上嚴(yán)格增，則，則為上的奇函數(shù)，先考慮時(shí)，，由于函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，進(jìn)而可得在上嚴(yán)格減，故命題3真命題，綜上，命題1為假命題，命題2和命題3為真命題，故選：C.二、多選題6．（25-26高三上·河南·期中）設(shè)為任意的兩個(gè)非空數(shù)集，定義集合且為的笛卡爾積，記為的任何子集都稱為到的關(guān)系，特別地，當(dāng)時(shí)，稱為上的關(guān)系．在平面上用實(shí)心圓點(diǎn)分別標(biāo)出中元素的點(diǎn)（稱為結(jié)點(diǎn)），如果，那么用實(shí)心圓點(diǎn)標(biāo)出中元素的點(diǎn)即可．若，則自結(jié)點(diǎn)至結(jié)點(diǎn)作一條有向邊，箭頭指向，若，則結(jié)點(diǎn)到?jīng)]有有向邊連接，采用這種方法連接起來的圖稱為的關(guān)系圖．若均為到的關(guān)系，則定義存在滿足，且．設(shè)集合，現(xiàn)給出如下