PAGEPAGE1階段性測(cè)試題一第一章立體幾何初步(時(shí)間：90分鐘滿分：120分)第Ⅰ卷(選擇題，共50分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．在空間中，已知下列命題：①兩組對(duì)應(yīng)邊相等，且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形全等；②對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；③有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；④有兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似．其中正確的是()A．①② B．③④C．②③ D．①④解析：①④是平面圖形，是正確的；②③在平面內(nèi)正確，而在空間中不正確．答案：D2．如圖，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖(斜二測(cè))，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝1，則梯形ABCD的面積是()A．10 B．5C．5eq\r(2) D．10eq\r(2)解析：由題意知，梯形ABCD為直角梯形，AB＝2，CD＝3，AD＝2.∴S＝eq\f(1,2)×(2＋3)×2＝5.答案：B3．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．20π B．24πC．28π D．32π解析：該幾何體的表面積由圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面圓的面積組成．其中，圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，圓柱的底面半徑為2，高為4，故所求表面積S＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π.答案：C4.(2017·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1B.eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1D.eq\f(3π,2)＋3解析：由幾何體的三視圖可得，該幾何體是由半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐組成，故該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)π×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝eq\f(π,2)＋1.答案：A5．用與球心距離為1的平面去截半徑為2的球，則截面面積為()A．2π B．3πC．4π D．9π解析：設(shè)球的半徑為R，球心到平面的距離為h，截面圓的半徑為r，則R2＝r2＋h2，∴r2＝4－1＝3，S＝πr2＝3π.答案：B6．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題：①若m⊥α，mβ，則α⊥β；②若mα，nα，m∥β，n∥β，則α∥β；③如果mα，n?α，m、n是異面直線，那么n與α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β.其中正確的命題是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：①滿足面面垂直的判定定理，正確；②若m與n交于一點(diǎn)，則結(jié)論正確，否則不正確；③滿足條件的n與α也可能平行；④滿足線面平行的判定定理，正確．答案：D7．已知兩個(gè)平面垂直，下列命題：①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線；②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線；③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面；④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．3 B．2C．1 D．0解析：只有②正確，①③顯然不正確，對(duì)于④，當(dāng)該垂線不在第一個(gè)平面內(nèi)時(shí)，垂線就不垂直于另一平面．答案：C8．已知直二面角α－l－β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，點(diǎn)B∈β，BD⊥l，D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD＝()A．2 B．eq\r(3)C.eq\r(2) D．1解析：由題意得AB2＝AC2＋CD2＋BD2，即4＝1＋CD2＋1，解得CD＝eq\r(2)，故選C.答案：C9．如圖，O為正方體ABCD－A1B1C1D1的體對(duì)角線A1C和AC1的交點(diǎn)，E為棱BB1的中點(diǎn)，則空間四邊形OEC1D1解析：空間四邊形OEC1D1在正方體前后面上的投影是B，在左、右面上的投影是C，上、下面上的投影是D，因此選A.答案：A10．(2017·北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A．60 B．30C．20 D．10解析：如圖，把三棱錐A－BCD放到長(zhǎng)方體中，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5,3,4，△BCD為直角三角形，直角邊分別為5和3，三棱錐A－BCD的高為4，故該三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×5×3×4＝10.答案：D第Ⅱ卷(非選擇題，共70分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．把答案填寫在題中的橫線上)11．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若直線A1C與平面BCC1B1所成的角的大小是θ，則sin解析：如圖，連接B1C在正方體中，A1B1⊥平面BCC1B1，∴∠A1CB1即為直線A1C與平面BCC1B1∴sinθ＝eq\f(A1B1,A1C)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)12.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A－DED1解析：VA－DED1＝VE－ADD1＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)13．正四棱錐P－ABCD的底面積為3，體積為eq\f(\r(2),2)，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則PA與BE所成的角為________．解析：由題意知，eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3)×3×h，h＝eq\f(\r(2),2).連接OE，則OE∥PA，則∠BEO為PA與BE所成的角或其補(bǔ)角，OB＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(6),2)，OE＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(1,2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，由題意得BO⊥OP，BO⊥AC，∴BO⊥平面PAC，∴BO⊥OE.在Rt△BOE中，tan∠BEO＝eq\f(OB,OE)＝eq\r(3)，∠BEO＝eq\f(π,3).即PA與BE所成的角為eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)14．α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α，β外的兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________．解析：先把某三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，所有命題寫出來(lái)，然后利用線面、面面垂直有關(guān)判定和性質(zhì)進(jìn)行判斷．答案：②③④?①(或①③④?②)三、解答題(本大題共4小題，滿分50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(12分)如圖所示，一個(gè)幾何體的主視圖與左視圖是全等的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)寬分別是4cm和2cm，俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4cm的正方形．(1)求該幾何體的全面積；(2)求該幾何體的外接球的體積．解：(1)由題意可知，該幾何體是長(zhǎng)方體，底面是正方形，邊長(zhǎng)是4，高是2，因此該幾何體的全面積是2×4×4＋4×4×2＝64(cm2)．故幾何體的全面積是64cm2.(2)由長(zhǎng)方體與球的性質(zhì)可得，長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑，記長(zhǎng)方體的對(duì)角線為d，球的半徑是r，d＝eq\r(16＋16＋4)＝eq\r(36)＝6，所以球的半徑r＝3.因此球的體積V＝eq\f(4,3)πr3＝36π(cm3)，所以外接球的體積是36πcm3.16．(12分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)．(1)求證：AB⊥平面AA1C(2)若線段AC上的點(diǎn)D滿足平面DEF∥平面ABC1，試確定點(diǎn)D的位置，并說(shuō)明理由；(3)證明：EF⊥A1C解：(1)證明：∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥又∵AB⊥AC，A1A∩AC＝A，∴AB⊥平面AA1(2)∵平面DEF∥平面ABC1，平面ABC∩平面DEF＝DE，平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴AB∥DE，∵在△ABC中E是BC的中點(diǎn)，∴D是線段AC的中點(diǎn)．(3)證明：在三棱柱ABC－A1B1C1中A1A＝∴側(cè)面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1由(1)可得AB⊥A1C∵AB∩AC1＝A，∴A1C⊥平面ABC1∴A1C⊥BC1又∵E，F(xiàn)分別為棱BC，CC1的中點(diǎn)，∴EF∥BC1，∴EF⊥A1C17．(12分)如圖(1)，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2eq\r(2)，M為AC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABM沿著BM邊折起，如圖(2)所示．(1)求證：平面BCM⊥平面ACM；(2)若平面ABM⊥平面BCM，求三棱錐B－ACM外接球的直徑．解：(1)證明：由圖(1)知，BM⊥AM，BM⊥MC，AM∩MC＝M，所以BM⊥平面AMC.又因?yàn)锽M平面BMC，所以平面BCM⊥平面ACM.(2)因?yàn)槠矫鍭BM⊥平面BCM，平面ABM∩平面BCM＝BM，BM⊥AM，AM平面ABM，所以AM⊥平面BMC.所以AM⊥MC，即AM、MC、BM兩兩垂直，而易知AM＝BM＝MC＝2，所以該三棱錐外接球與以MA、MB、MC為相鄰棱組成的長(zhǎng)方體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，所以三棱錐B－ACM外接球的直徑為eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).18．(14分)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面積為2eq\r(7)，求四棱錐P－ABCD的體積．解：(1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)椤螧AD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC?平面PAD，AD平面PAD，故BC∥平面PAD.(2)取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM.由AB＝BC＝eq\f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因?yàn)镃M底面ABCD，所以PM⊥CM.設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝eq\r(2)x，PM＝eq\r(3