國家開放大學(xué)電大?？啤督y(tǒng)計(jì)學(xué)原理》期末試題及答案1.（單選）某市統(tǒng)計(jì)局欲了解居民網(wǎng)購支出情況，從全市80萬戶家庭中按“社區(qū)—樓棟—住戶”三階段抽樣，共抽取1200戶。該抽樣方式屬于A.簡單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.多階段抽樣答案：D解析：三階段抽樣先抽社區(qū)、再抽樓棟、最后抽住戶，屬于典型的多階段抽樣，可大幅降低現(xiàn)場調(diào)查成本。2.（單選）若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)約等于A.0.5000B.0.6826C.0.9544D.0.9973答案：B解析：正態(tài)分布68.26%的觀測值落在均值±1σ區(qū)間內(nèi)，為經(jīng)典經(jīng)驗(yàn)法則。3.（單選）某車間生產(chǎn)螺絲，標(biāo)準(zhǔn)差要求小于0.15mm?，F(xiàn)抽取25件測得樣本標(biāo)準(zhǔn)差0.18mm，在α=0.05下檢驗(yàn)方差是否顯著增大，應(yīng)使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為A.ZB.tC.χ2D.F答案：C解析：單個(gè)正態(tài)總體方差檢驗(yàn)用χ2統(tǒng)計(jì)量，公式χ2=(n－1)S2/σ?2。4.（單選）在簡單線性回歸y=β?+β?x+ε中，若判定系數(shù)R2=0.81，則相關(guān)系數(shù)r為A.0.81B.0.90C.±0.90D.無法確定答案：C解析：R2=r2，故r=±√0.81=±0.90，符號(hào)與回歸系數(shù)β?相同。5.（單選）某超市2022年1月銷售額120萬元，12月銷售額180萬元，若采用幾何平均法計(jì)算月平均增長率，結(jié)果為A.3.5%B.3.8%C.4.1%D.4.5%答案：B解析：幾何平均增長率=[(180/120)^(1/11)－1]×100%≈3.8%。6.（單選）若事件A、B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)為A.0.12B.0.48C.0.70D.0.12答案：C解析：互斥事件并的概率等于概率之和0.3+0.4=0.7。7.（單選）在假設(shè)檢驗(yàn)中，若減小顯著性水平α，則A.Ⅰ型錯(cuò)誤概率減小，Ⅱ型錯(cuò)誤概率也減小B.Ⅰ型錯(cuò)誤概率減小，Ⅱ型錯(cuò)誤概率增大C.Ⅰ型錯(cuò)誤概率增大，Ⅱ型錯(cuò)誤概率減小D.兩類錯(cuò)誤概率均不變答案：B解析：α減小，拒絕域縮小，Ⅰ型錯(cuò)誤概率下降，但接受域擴(kuò)大導(dǎo)致β增大。8.（單選）某指數(shù)由三個(gè)指標(biāo)加權(quán)算術(shù)平均得到，若其中一項(xiàng)指標(biāo)值上升10%，權(quán)重30%，則總指數(shù)約上升A.3%B.10%C.30%D.無法確定答案：A解析：總指數(shù)變動(dòng)≈權(quán)重×個(gè)體變動(dòng)=0.3×10%=3%。9.（單選）在時(shí)間序列乘法模型Y=T×S×C×I中，若采用移動(dòng)平均法測定季節(jié)指數(shù)，首要目的是消除A.長期趨勢B.季節(jié)變動(dòng)C.循環(huán)變動(dòng)D.不規(guī)則變動(dòng)答案：A解析：移動(dòng)平均可平滑掉季節(jié)與不規(guī)則成分，保留趨勢與循環(huán)，再用原序列除以移動(dòng)平均即可分離季節(jié)。10.（單選）若隨機(jī)變量X服從參數(shù)λ=3的泊松分布，則E(X2)為A.3B.6C.9D.12答案：D解析：泊松分布E(X)=λ，Var(X)=λ，E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=3+9=12。11.（多選）下列屬于描述統(tǒng)計(jì)方法的有A.直方圖B.箱線圖C.假設(shè)檢驗(yàn)D.相關(guān)系數(shù)E.聚類分析答案：ABD解析：描述統(tǒng)計(jì)側(cè)重整理、展示與概括數(shù)據(jù)，C、E屬推斷統(tǒng)計(jì)或多元統(tǒng)計(jì)。12.（多選）關(guān)于樣本均值的抽樣分布，下列說法正確的有A.中心極限定理要求總體必須正態(tài)B.樣本量越大，抽樣分布越接近正態(tài)C.抽樣分布均值等于總體均值D.抽樣分布標(biāo)準(zhǔn)差為σ/√nE.抽樣分布方差隨n增大而增大答案：BCD解析：中心極限定理不要求總體正態(tài)；抽樣分布方差σ2/n隨n增大而減小。13.（多選）在建立回歸模型時(shí)，若出現(xiàn)多重共線性，可能導(dǎo)致A.回歸系數(shù)估計(jì)方差膨脹B.t檢驗(yàn)失效C.判定系數(shù)R2極低D.系數(shù)符號(hào)與理論相反E.殘差平方和增大答案：ABD解析：多重共線性使信息重疊，系數(shù)估計(jì)不穩(wěn)定，但R2仍可很高，殘差平方和不會(huì)因此增大。14.（多選）下列屬于時(shí)間序列長期趨勢測定方法的有A.線性趨勢方程B.指數(shù)平滑C.季節(jié)指數(shù)D.移動(dòng)平均E.拋物線趨勢方程答案：ABE解析：移動(dòng)平均主要用于平滑，季節(jié)指數(shù)測季節(jié)變動(dòng)，非趨勢本身。15.（多選）關(guān)于置信區(qū)間，正確的有A.置信水平越高，區(qū)間越寬B.樣本量越大，區(qū)間越窄C.總體方差未知時(shí)，小樣本需用t分布D.區(qū)間一旦構(gòu)造，參數(shù)落入概率為95%E.置信區(qū)間可用來進(jìn)行雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)答案：ABCE解析：D錯(cuò)誤，參數(shù)固定，落入概率為0或1，置信水平描述的是構(gòu)造方法的可靠性。16.（判斷）標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明數(shù)據(jù)越集中。答案：錯(cuò)解析：標(biāo)準(zhǔn)差衡量離散程度，越大越分散。17.（判斷）若兩變量相關(guān)系數(shù)為0，說明二者無任何關(guān)系。答案：錯(cuò)解析：僅說明無線性相關(guān)，可能存在非線性關(guān)系。18.（判斷）在指數(shù)編制中，拉氏指數(shù)使用基期數(shù)量加權(quán)，帕氏指數(shù)使用報(bào)告期數(shù)量加權(quán)。答案：對解析：拉氏公式∑p?q?/∑p?q?，帕氏公式∑p?q?/∑p?q?。19.（判斷）泊松分布的均值與方差相等。答案：對解析：泊松分布參數(shù)λ既是均值也是方差。20.（判斷）若p值小于α，則拒絕原假設(shè)，且原假設(shè)必定錯(cuò)誤。答案：錯(cuò)解析：拒絕僅表明樣本證據(jù)充分，仍存在α概率犯Ⅰ型錯(cuò)誤。21.（填空）若總體容量N=1000，樣本容量n=100，采用不重復(fù)抽樣，則樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤修正系數(shù)為________。答案：√[(N－n)/(N－1)]=√(900/999)≈0.949解析：有限總體修正系數(shù)用于縮小標(biāo)準(zhǔn)誤。22.（填空）某班40名學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)成績平均78分，標(biāo)準(zhǔn)差6分，若將每人成績加5分，則新方差為________。答案：36解析：加減常數(shù)不改變方差，仍62=36。23.（填空）若隨機(jī)變量X~B(n=10,p=0.4)，則P(X=4)的精確值為________。答案：C(10,4)×0.4?×0.6?=210×0.0256×0.046656≈0.2508解析：二項(xiàng)分布概率公式直接計(jì)算。24.（填空）某商品2020—2022年銷售量環(huán)比增長速度分別為5%、8%、10%，則定基增長速度為________。答案：(1.05×1.08×1.10－1)×100%=24.74%解析：環(huán)比轉(zhuǎn)定基用連乘。25.（填空）在單因素方差分析中，組間自由度為3，總自由度為29，則組內(nèi)自由度為________。答案：26解析：df總=df組間+df組內(nèi)。26.（簡答）簡述中心極限定理的核心內(nèi)容及其在統(tǒng)計(jì)推斷中的作用。答案：中心極限定理指出，從任意總體中抽取容量為n的隨機(jī)樣本，當(dāng)n足夠大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，其均值等于總體均值μ，方差為σ2/n。該定理奠定了大樣本推斷的理論基礎(chǔ)，使得無論總體分布如何，只要樣本量足夠，即可使用正態(tài)近似構(gòu)造置信區(qū)間、進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，從而極大拓展了統(tǒng)計(jì)方法的適用范圍。27.（簡答）說明判定系數(shù)R2與調(diào)整后R2的區(qū)別及何時(shí)使用后者。答案：R2=SSR/SST，反映因變量變異中被模型解釋的比例，但隨自變量增加而虛假上升；調(diào)整后R2引入自由度懲罰，公式1－[(1－R2)(n－1)/(n－p－1)]，其中p為自變量個(gè)數(shù)。當(dāng)比較嵌套模型或變量數(shù)目不同模型時(shí)，應(yīng)使用調(diào)整后R2，以避免過擬合導(dǎo)致的評(píng)價(jià)偏差。28.（簡答）給出時(shí)間序列循環(huán)變動(dòng)與季節(jié)變動(dòng)的差異，并各舉一例。答案：季節(jié)變動(dòng)指一年內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律性波動(dòng)，周期固定為12個(gè)月或4季度，如空調(diào)銷量夏季高峰；循環(huán)變動(dòng)指數(shù)年以上的周期性起伏，周期長度不固定，如宏觀經(jīng)濟(jì)蕭條—復(fù)蘇—繁榮—衰退的庫茲涅茨周期。29.（簡答）闡述p值的定義，并說明如何根據(jù)p值與顯著性水平α做出決策。答案：p值是在原假設(shè)成立前提下，獲得當(dāng)前樣本或更極端結(jié)果的概率。若p≤α，表明小概率事件發(fā)生，拒絕原假設(shè)；若p>α，證據(jù)不足，不拒絕原假設(shè)。該決策規(guī)則控制Ⅰ型錯(cuò)誤概率不超過α。30.（簡答）列舉三種常用的離散程度測度指標(biāo)，并比較其適用場景。答案：極差，適用于快速粗略描述，易受極端值影響；四分位差，適用于存在極端值或分布偏斜的次序數(shù)據(jù)；標(biāo)準(zhǔn)差，適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良，可與均值配合進(jìn)行正態(tài)推斷。31.（計(jì)算）某高校調(diào)查學(xué)生月生活費(fèi)，隨機(jī)抽取64名同學(xué)，得樣本均值1600元，標(biāo)準(zhǔn)差320元。（1）求該校學(xué)生平均月生活費(fèi)的95%置信區(qū)間；（2）若希望估計(jì)誤差不超過50元，在相同置信水平下至少需抽取多少名學(xué)生？答案：（1）σ未知但n=64>30，可用正態(tài)近似，z?.???=1.96標(biāo)準(zhǔn)誤=320/√64=40區(qū)間=1600±1.96×40=[1521.6,1678.4]元（2）允許誤差E=50，n=(z2σ2)/E2=1.962×3202/502≈157.35，向上取整158名。32.（計(jì)算）某生產(chǎn)線規(guī)定產(chǎn)品重量標(biāo)準(zhǔn)差不超過5g?，F(xiàn)抽取21件，測得樣本方差38.5g2。（1）在α=0.05下檢驗(yàn)方差是否顯著超標(biāo)；（2）計(jì)算檢驗(yàn)的p值并解釋。答案：（1）H?:σ2≤25，H?:σ2>25χ2=(n－1)S2/σ?2=20×38.5/25=30.8查表χ2?.??,20=31.41，30.8<31.41，不拒絕H?，尚不能認(rèn)為方差顯著超標(biāo)。（2）p=P(χ2??≥30.8)≈0.057，表示若總體方差確為25g2，獲得樣本方差38.5g2或更大的概率約為5.7%，略高于5%，故不拒絕。33.（計(jì)算）為比較兩種肥料對小麥產(chǎn)量的影響，隨機(jī)選擇10塊地，每塊地均一分為二，隨機(jī)施用A、B肥料，得配對產(chǎn)量（kg）：A：28312930322731333029B：30333032342932353131在α=0.05下檢驗(yàn)兩種肥料平均產(chǎn)量是否有差異。答案：計(jì)算差值d：－2,－2,－1,－2,－2,－2,－1,－2,－1,－2d?=－1.7，Sd=0.483t=|d?|/(Sd/√n)=1.7/(0.483/√10)=11.13查t?.???,9=2.262，11.13>2.262，拒絕H?，兩種肥料平均產(chǎn)量差異顯著，B肥效更高。34.（計(jì)算）某電商平臺(tái)2022年各季度銷售額如下（百萬元）：Q1Q2Q3Q4260300350390（1）用最小二乘法擬合線性趨勢方程；（2）預(yù)測2023年Q1銷售額。答案：令t=1,2,3,4對應(yīng)四季∑t=10，∑y=1300，∑t2=30，∑ty=3440b=[n∑ty－∑t∑y]/[n∑t2－(∑t)2]=[4×3440－10×1300]/[4×30－100]=760/20=38a=y?－bt?=325－38×2.5=230方程?=230+38t2023Q1對應(yīng)t=5，?=230+38×5=420（百萬元）35.（綜合）某市交通部門欲評(píng)估限行政策對PM2.5濃度的影響，收集2021年限行前45天與2022年限行后42天的日均PM2.5數(shù)據(jù)，得：限行前：x??=78μg/m3，s?=18μg/m3限賽后：x??=65μg/m3，s?=15μg/m3（1）檢驗(yàn)限行是否顯著降低PM2.5，α=0.01；（2）求平均降低量的99%置信區(qū)間；（3）結(jié)合結(jié)果撰寫不超過80字政策建議。答案：（1）H?:μ?－μ?≤0，H?:μ?－μ?>0合并方差sp2=[(n?－1)s?2+(n?－1)s?2]/(n?+n?－2)=(44×324+41×225)/85=279.35t=(78－65)/√[sp2(1/n?+1/n?)]=13/√[279.35×(1/45+1/42)]=13/3.55=3.66查t?.??,85≈2.37，3.66>2.37，拒絕H?，限行顯著降低濃度。（2）差值標(biāo)準(zhǔn)誤=3.55，t?.???,85≈2.64區(qū)間=13±2.64×3.55=[3.6,22.4]μg/m3（3）數(shù)據(jù)顯示限行使日均PM2.5降低13μg/m3，降幅99%置信下限3.6μg/m3，建議持續(xù)執(zhí)行并優(yōu)化配套公交。36.（綜合）某連鎖便利店收集2022年24個(gè)月的銷售額y（萬元）、促銷支出x?（萬元）、門店數(shù)x?（個(gè)）數(shù)據(jù)，擬合多元回歸結(jié)果如下：?=12.3+2.15x?+0.68x?，n=24，R2=0.87，調(diào)整R2=0.85，F(xiàn)=71.3，Sig.F=0.000系數(shù)表：估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)誤tSig.Intercept12.33.13.970.001x?2.150.268.270.000x?0.680.213.240.004（1）寫出回歸方程并解釋斜率經(jīng)濟(jì)含義；（2）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w顯著性；（3）若2023年1月促銷支出8萬元，門店數(shù)45個(gè)，預(yù)測銷售額并給出95%近似預(yù)測區(qū)間（提示：Sy=2.4）。答案：（1）?=12.3+2.15x?+0.68x?，促銷支出每增加1萬元，月銷售額平均增加2.15萬元；門店數(shù)每增加1個(gè)，月銷售額平均增加0.68萬元。（2）F=71.3，p<0.001，模型整體顯著。（3）??=12.3+2.15×8+0.68×45=12.3+17.2+30.6=60.1萬元近似區(qū)間=60.1±t?.???,21×Sy×√[1+1/n]=60.1±2.08×2.4×1.02=60.1±5.1=[55.0,65.2]萬元。37.（綜合）某企業(yè)2018—2022年利潤總額（億元）分別為20、24、28、33、39。（1）用指數(shù)曲線y=ab?擬合，求參數(shù)a、b；（2）計(jì)算2023年利潤預(yù)測值；（3）求平均年增長率。答案：對模型兩邊取對數(shù)lny=lna+tlnb，令t=1,2,3,4,5∑t=15，∑lny=16.308，∑t2=55，∑tlny=50.456n=5，解得lnb=[n∑tlny－∑t∑lny]/[n∑t2－(∑t)2]=[5×50.456－15×16.308]/[5×55－225]=1.148/50=0.02296b=e^0.02296≈1.0232lna=y?－t?lnb=3.2616－3×0.02296=3.1927a=e^3.1927≈24.36方程?=24.36×1.0232?2023年t=6，?=24.36×1.0232?≈28.0億元平均年增長率=b－1=2.32%。38.（案例分析）閱讀背景：某高校2022屆畢業(yè)生6000人，其中女生3600人，男生2400人。教務(wù)處隨機(jī)抽取300份畢業(yè)論文，發(fā)現(xiàn)女生論文210篇，男生90篇；重復(fù)抽檢100份女生論文，查重率平均12.4%，標(biāo)準(zhǔn)差3.6%；男生100篇平均14.1%，標(biāo)準(zhǔn)差4.2%。問題：（1）檢驗(yàn)女生與男生查重率總體均值是否存在顯著差異，α=0.05；（2）計(jì)算女生總體平均查重率的95%置信區(qū)間；（3）指出抽樣方案可能存在的偏差并提出改進(jìn)建議。答案：（1）H?:μ?=μ?，H?:μ?≠μ?sp2=[99×3.62+99×4.22]/198=(1283.04+1746.36)/198=15.3t=(12.4－14.1)/√[15.3×(1/100+1/100)]=－1.7/0.553=－3.07|t|=3.07>t?.???,198=1.97，拒絕H?，女生查重率顯著低于男生。（2）標(biāo)準(zhǔn)誤=3.6/√100=0.36區(qū)間=12.4±1.96×0.36=[11.7%,13.1%]（3）樣本按性別比例分層，但僅抽100篇男生，層內(nèi)樣本偏?。桓倪M(jìn)：按性別比例分層抽樣，每層樣本量與層規(guī)模成比例，并采用PPS抽樣提高精度。39.