中學(xué)數(shù)學(xué)相似三角形單元測(cè)試卷親愛(ài)的同學(xué)們，相似三角形是平面幾何中的重要組成部分，它不僅揭示了圖形之間的數(shù)量關(guān)系與形狀聯(lián)系，更是后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)。這份測(cè)試卷旨在檢驗(yàn)大家對(duì)相似三角形的定義、判定定理、性質(zhì)以及應(yīng)用的掌握程度。請(qǐng)大家仔細(xì)審題，認(rèn)真作答，充分發(fā)揮自己的水平。答題時(shí)請(qǐng)注意規(guī)范書(shū)寫推理過(guò)程，祝大家取得好成績(jī)！考試時(shí)間：90分鐘滿分：100分一、選擇題(本大題共5小題，每小題4分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.下列說(shuō)法中，正確的是()A.兩個(gè)直角三角形一定相似B.兩個(gè)等腰三角形一定相似C.兩個(gè)等邊三角形一定相似D.兩個(gè)菱形一定相似2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC。若AD=2，DB=3，AE=1，則EC的長(zhǎng)為()(此處應(yīng)有示意圖：△ABC，DE平行BC，D在AB上，E在AC上)A.1.5B.2C.2.5D.33.已知△ABC∽△DEF，且相似比為2:3，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為()A.2:3B.3:2C.4:9D.9:44.能判定△ABC與△A'B'C'相似的條件是()A.∠A=∠A'，AB/A'B'=AC/A'C'B.AB/A'B'=AC/A'C'，∠B=∠B'C.AB/A'B'=BC/A'C'D.∠A=∠A'，∠B=∠C'5.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜邊AB上的高，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()(此處應(yīng)有示意圖：Rt△ABC，∠C=90°，CD⊥AB于D)A.△ABC∽△ACDB.△ABC∽△CBDC.△ACD∽△CBDD.AC·BC=AB·CD二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)6.若線段a=3，b=6，c=4，則a、b、c的第四比例項(xiàng)d=_______。7.已知△ABC∽△AED，若AB=5，AE=3，BC=6，則ED=_______。8.如圖，小明站在距離路燈桿5米的點(diǎn)C處，測(cè)得他在燈光下的影長(zhǎng)CD為2米。若小明的身高為1.6米，則路燈桿AB的高度為_(kāi)______米。(此處應(yīng)有示意圖：路燈AB，小明CE，影子ED，C、D在地面，B、E、D在同一直線上)9.如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC上，∠BAD=∠C。若AB=6，BD=4，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)______。(此處應(yīng)有示意圖：△ABC，D在BC上，∠BAD=∠C)三、解答題(本大題共4小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)10.(本小題滿分12分)如圖，已知△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，連接DE。(此處應(yīng)有示意圖：△ABC，D、E為AB、AC中點(diǎn))(1)求證：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的長(zhǎng)。11.(本小題滿分15分)如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AO/OC=BO/OD=2/3。(此處應(yīng)有示意圖：四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于O)(1)求證：△AOB∽△COD；(2)若△AOB的面積為4，求△COD的面積。12.(本小題滿分15分)如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸大樹(shù)AB的高度，小明在河岸上點(diǎn)C處測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為30°，沿BC方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)D處，再次測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為45°。設(shè)大樹(shù)AB垂直于地面BC，求大樹(shù)AB的高度。(結(jié)果保留根號(hào))(此處應(yīng)有示意圖：河對(duì)岸有樹(shù)AB，B在地面，C、D在河這邊地面，C、D、B共線，∠ACB=30°，∠ADB=45°，CD=20米)13.(本小題滿分18分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<4)。連接PQ。(此處應(yīng)有示意圖：Rt△ABC，∠C=90°，P在AC上從A向C運(yùn)動(dòng)，Q在BC上從C向B運(yùn)動(dòng))(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC和CQ的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ與△ACB相似？(3)在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ的長(zhǎng)度能否等于2√5cm？若能，求出t的值；若不能，說(shuō)明理由。---參考答案與評(píng)分建議一、選擇題(每小題4分，共20分)1.C2.A3.A4.A5.D二、填空題(每小題5分，共20分)6.8(解析：由a/b=c/d，即3/6=4/d，解得d=8)7.18/5(或3.6)(解析：由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例AB/AE=BC/ED，即5/3=6/ED，解得ED=18/5)8.5.6(解析：由△ECD∽△ABD，得CE/AB=CD/CB，即1.6/AB=2/(2+5)，解得AB=5.6)9.9(解析：由∠BAD=∠C，∠B=∠B，得△ABD∽△CBA，所以AB/CB=BD/BA，即6/CB=4/6，解得CB=9)三、解答題(共60分)10.(本小題滿分12分)(1)證明：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AD=1/2AB，AE=1/2AC。(2分)∴AD/AB=AE/AC=1/2。(2分)又∵∠A=∠A(公共角)，(2分)∴△ADE∽△ABC(兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似)。(2分)(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴DE/BC=AD/AB=1/2。(2分)∵DE=4，∴4/BC=1/2，解得BC=8。(2分)11.(本小題滿分15分)(1)證明：∵AO/OC=BO/OD=2/3，(3分)且∠AOB=∠COD(對(duì)頂角相等)，(3分)∴△AOB∽△COD(兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似)。(3分)(2)解：∵△AOB∽△COD，且相似比為AO/OC=2/3，(3分)∴S△AOB/S△COD=(2/3)2=4/9。(2分)∵S△AOB=4，∴4/S△COD=4/9，解得S△COD=9。(1分)12.(本小題滿分15分)解：設(shè)大樹(shù)AB的高度為x米。(1分)在Rt△ABD中，∠ADB=45°，∠ABD=90°，∴BD=AB=x(米)。(3分)在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，∴tan∠ACB=AB/BC，即tan30°=x/BC。(3分)∴BC=x/tan30°=x√3(米)。(3分)由題意知，CD=BC-BD=20米，∴x√3-x=20。(3分)解得x=20/(√3-1)=20(√3+1)/[(√3-1)(√3+1)]=10(√3+1)。(1分)答：大樹(shù)AB的高度為10(√3+1)米。(1分)13.(本小題滿分18分)解：(1)根據(jù)題意，AP=tcm，CQ=2tcm。(2分)∵AC=6cm，∴PC=AC-AP=(6-t)cm。(2分)故線段PC的長(zhǎng)度為(6-t)cm，CQ的長(zhǎng)度為2tcm。(2)∵∠ACB=90°，∠PCQ=90°，∴要使△PCQ與△ACB相似，有兩種情況：①當(dāng)PC/AC=CQ/CB時(shí)，(6-t)/6=2t/8(3分)解得t=2.4。(2分)②當(dāng)PC/CB=CQ/AC時(shí)，(6-t)/8=2t/6(3分)解得t=18/11。(2分)∵0<t<4，∴t=2.4或t=18/11時(shí)，△PCQ與△ACB相似。(3)線段PQ的長(zhǎng)度能等于2√5cm。(1分)在Rt△PCQ中，PQ2=PC2+CQ2，若PQ=2√5cm，則(2√5)2=(6-t)2+(2t)2。(2分)整理得20=(6-t)2+4t220=36-12t+t2+4t25t2-12t+16=0。(1分)判別式Δ=(-12)2-4×5×16=144-320=-176<0。(1分)此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故線段PQ的長(zhǎng)度不能等于2√5