12/12專題1.2數(shù)列與概率統(tǒng)計、函數(shù)以及解析幾何的創(chuàng)新綜合應(yīng)用內(nèi)容導(dǎo)航速度提升技巧掌握手感養(yǎng)成分析考情·探趨勢鎖定核心，精準(zhǔn)發(fā)力：快速鎖定將要攻克的最核心、必考的重難點，明確主攻方向，聚焦關(guān)鍵目標(biāo)破解重難·沖高分方法引領(lǐng)，突破瓶頸：系統(tǒng)歸納攻克高頻難點的解題策略與實戰(zhàn)技巧，并配以同源試題快速內(nèi)化拔尖沖優(yōu)·奪滿分巔峰演練，錘煉題感：精選中高難度真題、模擬題，錘煉穩(wěn)定攻克難題的“頂級題感”與應(yīng)變能力近三年：數(shù)列與其他知識點的結(jié)合是數(shù)列的一大考試形式，主要集中于數(shù)列與統(tǒng)計概率，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與三角函數(shù)，數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合預(yù)測2026年：考向01概率統(tǒng)計中求對應(yīng)的數(shù)列遞推公式，考向02數(shù)列與統(tǒng)計概率中有關(guān)奇偶項問題考向03數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合考向04數(shù)列與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合考向05數(shù)列與解析幾何相結(jié)合考向01概率統(tǒng)計中求對應(yīng)的數(shù)列遞推公式數(shù)列遞推公式在統(tǒng)計概率中，只要是要找到的對應(yīng)關(guān)系，從容利用數(shù)列的構(gòu)造成等比數(shù)列或者是等差數(shù)列的形式，對于這種形式即可。1．某圖書館對學(xué)生借閱圖書是否按時歸還的情況開展調(diào)查，經(jīng)過一段時間的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一次借閱圖書，按時歸還的概率為；從第二次借閱開始，若前一次按時歸還，則本次按時歸還的概率為；若前一次未按時歸還，則本次按時歸還的概率為．記學(xué)生第次借閱按時歸還的概率為．(1)求；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)記前次借閱中按時歸還的次數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望．參考公式：若為離散型隨機變量，則．2．一個擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站．設(shè)棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數(shù)點，棋子向前跳1站；若擲出偶數(shù)點，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失?。r，游戲結(jié)束．（骰子一種由均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標(biāo)有點數(shù)1，2，3，4，5，6）(1)求的值，并根據(jù)棋子跳到第站的情況，試用和表示（直接寫出結(jié)論，不用證明）；(2)證明：為等比數(shù)列；(3)求玩該游戲獲勝的概率．3．某科研小組研發(fā)了一款新式無人機，其生產(chǎn)過程有4道工序，前3道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道工序是出廠檢測，包括智能檢測與人工檢測，其中智能檢測為次品的會自動淘汰，合格的進入流水線進行人工檢測.已知該新式無人機在生產(chǎn)中前3道工序的次品率分別為，，.(1)若某批次生產(chǎn)了這款新式無人機1000架，記X為該批次經(jīng)過前3道工序合格的架數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；(2)已知某批次的新式無人機智能檢測顯示合格率為，在智能檢測合格的前提下，求人工隨機抽檢一架新式無人機恰好為合格品的概率；(3)該科研小組為了慶祝獲得研究成果，舉行聯(lián)歡晚會，晚會期間，該小組組織了一個現(xiàn)場抽獎游戲，游戲規(guī)則如下：參與游戲的幸運觀眾，每次都要有放回地含有10張紅色卡片和10張綠色卡片的箱子中隨機抽取一張，指揮無人機運送匹克球，直到獲得獎品為止，每次游戲開始時，甲箱中有足夠多的匹克球，乙箱中沒有球，若抽到紅色卡片，則從甲箱中運一個匹克球到乙箱；若抽到綠色卡片，則從甲箱中運兩個匹克球到乙箱，當(dāng)乙箱中的匹克球數(shù)目達到9個，下一輪直接達到11個，獲得優(yōu)惠券，游戲結(jié)束；當(dāng)乙箱中的匹克球數(shù)目達到10個時，獲得獎品大禮包一個，獲得大禮包時游戲結(jié)束.求游戲結(jié)束時，幸運觀眾獲得優(yōu)惠券的概率.考向02數(shù)列與統(tǒng)計概率中有關(guān)奇偶項問題1．圍棋棋盤上共有361個交叉點，圍棋術(shù)語稱之為361目，兩人玩圍棋，誰占的目數(shù)多誰贏．因為目數(shù)不能均分，故先落子的一方占便宜．為解決這一問題，規(guī)定比賽結(jié)束后先落子的一方貼給后落子的一方目．抽簽猜得黑棋的一方先落子．即便這樣先落子的一方還是占些便宜．甲、乙兩個圍棋選手水平相當(dāng)，據(jù)以往比賽經(jīng)驗，他二人執(zhí)黑先落子的一方獲勝的概率是，后落子一方獲勝的概率是，沒有平局．甲、乙兩人再次比賽，并規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人多兩局時，比賽結(jié)束．第一局由抽簽結(jié)果是甲執(zhí)黑先落子，以后每局交替執(zhí)黑先落子．設(shè)第局結(jié)束的概率為．(1)求的值；(2)求的表達式及；(3)求甲、乙兩人比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望．2．一個不透明的袋子中裝有編號分別為的4個小球，每次從袋中隨機摸出1個小球并記錄編號后放回袋中，當(dāng)連續(xù)兩次摸出的小球編號相同時，停止摸球，設(shè)停止摸球時已摸球的次數(shù)為.記第次摸到的小球編號為.(1)求與；(2)設(shè)，求與；(3)當(dāng)時，為隨機變量，若是奇數(shù)，則，若是偶數(shù)，則，求考向03數(shù)列與三角函數(shù)相結(jié)合對于數(shù)列與三角函數(shù)的結(jié)合中，一般考察利用三角函數(shù)的周期問題去考察數(shù)列的求和，例如對于1．定義：對于數(shù)列，若存在，對任意的，都有，則稱數(shù)列為周期數(shù)列，為數(shù)列的一個周期.已知數(shù)列，，.(1)用定義證明：數(shù)列是周期數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和（結(jié)果用分段函數(shù)表示）；(3)已知數(shù)列有形如的通項公式，求常數(shù)，并證明：2．已知函數(shù)，其中.(1)若，求的值；(2)當(dāng)時，（i）判斷函數(shù)在上的零點個數(shù)；（ii）若有公比的等比數(shù)列滿足，求的值.3．在數(shù)列中，，，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項和為，證明：；(3)證明：.4．設(shè)次多項式，若其滿足，則稱多項式為切比雪夫多項式．已知為切比雪夫多項式．(1)求的解析式；(2)求證：；(3)若，求證：．考向04數(shù)列與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合數(shù)列與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，一般查考的是壓軸題，主要是利用導(dǎo)數(shù)的一些不等式鏈的放縮，以及數(shù)列的放縮相結(jié)合，從而達到想要的不等式的證明目的。常見的函數(shù)不等式鏈為，以及，，對數(shù)列的放縮常見的是裂項相消放縮以及等比數(shù)列放縮。1．，都存在唯一的實數(shù)，使得，則稱函數(shù)存在“源數(shù)列”．已知．(1)證明：存在源數(shù)列；(2)①若恒成立，求的取值范圍；②記的源數(shù)列為，前項和為．證明：．2．已知是定義在上的函數(shù)，若對任意恒成立，則稱為上的非負函數(shù)．(1)判斷是否為區(qū)間上的非負函數(shù)，并說明理由；(2)已知為正整數(shù)，為區(qū)間上的非負函數(shù)，記的最大值為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)已知且，函數(shù)，若為區(qū)間上的非負函數(shù)，為（2）中的等差數(shù)列，求證：．考向05數(shù)列與解析幾何相結(jié)合數(shù)列與解析幾何的結(jié)合中，主要考察數(shù)列的基本基本性質(zhì)的基本應(yīng)用，利用圓錐曲線的基本性質(zhì)，主要利用等差等比數(shù)列的通項公式的基本結(jié)構(gòu)，以及等差，等比數(shù)列前n項和的基本結(jié)構(gòu)，或者是利用等差等比數(shù)列的等差等比中項去。1．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，已知直線，按如下方法構(gòu)造點列（其中）：過拋物線上的點作軸的平行線，交直線于點，直線關(guān)于直線的對稱直線交拋物線于點(1)求實數(shù)的值，并求直線的方程；(2)求數(shù)列的通項公式，并證明：對任意；(3)數(shù)列的前項積為，若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的最小值．2．已知雙曲線（，）的漸近線方程為，且過點.按照如下方式依次構(gòu)造點：過作斜率為（為常數(shù)且）的直線與的下支交于點，令為關(guān)于軸的對稱點，記的坐標(biāo)為.(1)若，求的坐標(biāo)；(2)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其公比（用表示）；(3)設(shè)為的面積，證明：對任意正整數(shù)，為定值.（建議用時：60分鐘）1．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為．設(shè)，曲線在點處的切線交軸于點．當(dāng)時，設(shè)曲線在點處的切線交軸于點．依此類推，稱得到的數(shù)列為函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”．(1)若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，求的值；(2)若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，記，證明：是等比數(shù)列，并求出其公比；(3)若，記函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)（），函數(shù)的圖象在處的切線與軸相交的交點橫坐標(biāo)為，求．2．已知函數(shù)，記為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的從小到大的第個零點.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的從小到大的第個極值點，將數(shù)列，中的所有項從小到大排列構(gòu)成一個新的數(shù)列若，，求k的最大值.3．記數(shù)列前k項的最大值依次構(gòu)成一個新的數(shù)列，稱數(shù)列為的“生成子列”，數(shù)列所有項組成的集合為A．(1)已知數(shù)列為7，6，5，8，求數(shù)列；(2)若，且A中恰有5個元素，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若，的“生成子列”的前n項和為，從中任取Y個數(shù)，記其中能被2整除且不能被4整除的個數(shù)為X，①若，求X的數(shù)學(xué)期望；②若，求使取得最大值時的m值．4．張明在暑假為了鍛煉身體，制定了一項堅持晨跑的計劃：30天晨跑訓(xùn)練．規(guī)則如下：張明從第1天開始晨跑，若第天晨跑，則他第天晨跑的概率為，且他不能連續(xù)兩天沒有晨跑．設(shè)他第天晨跑的概率為．(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)若都是離散型隨機變量，則，記張明前天晨跑的天數(shù)為，求．5．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：對任意的且，都有：．（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）6．已知圓，點P為圓C上的動點，過點P作x軸的垂線，垂足為Q，設(shè)D為PQ的中點，且D的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程；(2)不過原點的直線l與曲線E交于M、N兩點，已知OM，直線l，ON的斜率，k，成等比數(shù)列，記以O(shè)M，ON為直徑的圓的面積分別為，，試探究是否為定值，若是，求出此值；若不是，說明理由．7．已知漸近線為的雙曲線過點，過點且斜率為的直線交雙曲線于異于的點，記的面積為.(1)求雙曲線的方程；(2)求；(3)證明：.8．在正三棱臺中，，Q是AC的中點．(1)求證：平面.；(2)若，求直線AC與平面所成角的正弦值；(3)若一只電子貓從點出發(fā)，每次等可能地沿著棱去向相鄰的另一個頂點，設(shè)在次運動后電子貓仍停留在下底面的概率為，求．9