2025年大學(xué)數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）下學(xué)期期末評(píng)估卷

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______一、單項(xiàng)選擇題（總共10題，每題4分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((-\infty,2)\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)的無窮小是（）A.\(\sinx-x\)B.\(e^x-1\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(1-\cosx\)3.已知\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}\)等于（）A.\(f^\prime(a)\)B.\(2f^\prime(a)\)C.\(0\)D.\(f^\prime(2a)\)4.曲線\(y=x^3-3x^2+1\)的拐點(diǎn)是（）A.\((0,1)\)B.\((1,-1)\)C.\((2,-3)\)D.\((3,1)\)5.設(shè)\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(e^{-x}\)，則\(f^\prime(x)\)等于（）A.\(e^{-x}\)B.\(-e^{-x}\)C.\(e^{-x}(1+x)\)D.\(-e^{-x}(1+x)\)6.若\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，則\(\inte^{-x}f(e^{-x})dx\)等于（）A.\(F(e^{-x})+C\)B.\(-F(e^{-x})+C\)C.\(F(e^{x})+C\)D.\(-F(e^{x})+C\)7.設(shè)\(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)所圍成的區(qū)域，則\(\iint_Dxdxdy\)等于（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{6}\)C.\(\frac{1}{12}\)D.\(\frac{1}{24}\)8.級(jí)數(shù)\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)是（）A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.斂散性不確定9.微分方程\(y^\prime+y=e^{-x}\)的通解是（）A.\(y=Ce^{-x}+e^{-x}\)B.\(y=Ce^{-x}-e^{-x}\)C.\(y=e^{-x}(C+x)\)D.\(y=e^{-x}(C-x)\)10.已知向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec=(3,2,1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.10B.12C.14D.16二、多項(xiàng)選擇題（總共5題，每題6分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)，少選得3分，選錯(cuò)不得分）1.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處連續(xù)的有（）A.\(y=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\)B.\(y=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},&x\neq0\\1,&x=0\end{cases}\)C.\(y=\begin{cases}e^x,&x\lt0\\1,&x=0\\x+1,&x\gt0\end{cases}\)D.\(y=\begin{cases}\ln(1+x),&x\gt0\\0,&x=0\\-x,&x\lt0\end{cases}\)2.下列函數(shù)中，在給定區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的有（）A.\(y=x^3-3x+1\)，\([0,1]\)B.\(y=\frac{1}{x^2}\)，\([-1,1]\)C.\(y=x^2-1\)，\([-1,1]\)D.\(y=e^{x^2-1}\)，\([-1,1]\)3.下列積分中，計(jì)算正確的有（）A.\(\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}\big|_{-1}^{1}=-2\)B.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e^x\big|_{0}^{1}=e-1\)C.\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sinxdx=-\cosx\big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=1\)D.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=\frac{1}{4}x^4\big|_{-1}^{1}=0\)4.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)C.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}\)D.\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\)5.下列微分方程中，是一階線性微分方程的有（）A.\(y^\prime+y^2=x\)B.\(y^\prime+\frac{y}{x}=\sinx\)C.\(y^\prime-y=e^x\)D.\(y^{\prime\prime}+y=0\)三、填空題（總共5題，每題4分，請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上）1.已知\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x,&x\gt0\end{cases}\)，則\(f(f(-1))=\)______。2.設(shè)\(y=x^x\)，則\(y^\prime=\)______。3.\(\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx=\)______。4.冪級(jí)數(shù)\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\)的收斂半徑\(R=\)______。5.已知向量\(\vec{a}=(1,2,-1)\)，\(\vec=(2,-1,1)\)，則\(\vec{a}\times\vec=\)______。四、解答題（總共3題，每題10分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2-9x+5\)的單調(diào)區(qū)間和極值。2.計(jì)算\(\int_{0}^{1}x\ln(1+x)dx\)。3.求微分方程\(y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=e^x\)的通解。五、證明題（總共1題，每題10分，證明應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f(a)=f(b)=0\)，證明：在\((a,b)\)內(nèi)至少存在一點(diǎn)\(\xi\)，使得\(f^\prime(\xi)-f(\xi)=0\)。答案：一、單項(xiàng)選擇題1.B2.C3.B4.B5.B6.B7.C8.B9.C10.A二、多項(xiàng)選擇題1.AC2.AC3.BC4.AC5.BC三、填空題1.52.\(x^x(1+\lnx)\)3.\(\arctan(x+2)+C\)4.15.\((-1,-3,-5)\)四、解答題1.\(y^\prime=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=-1\)或\(x=3\)。當(dāng)\(x\lt-1\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(-1\ltx\lt3\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\gt3\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。極大值為\(y(-1)=10\)，極小值為\(y(3)=-22\)。2.利用分部積分法，\(\int_{0}^{1}x\ln(1+x)dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx^2=\frac{1}{2}[x^2\ln(1+x)\big|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{x^2}{1+x}dx]=\frac{1}{2}\ln2-\frac{1}{4}\)。3.對(duì)應(yīng)的齊次方程為\(y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=0\)，特征方程為\(r^2-2r+1=0\)，解得\(r=1\)（二重根），齊次方程通解為\(Y=(C_1+C_2x)e^x\)。設(shè)特解\(y^=Ax^2e^x\)，代入原方程得\(A=\frac{1}{2}\)，通解為\(y=(C_1+C_2x)e^x+\frac{1}{2}x^2e^x\)。五、證明題令\(F(x)=e^{-x}f(x)\)，則\(F(x)\)在\([a,b