第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學年北京市豐臺區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.漢字是迄今為止持續(xù)使用時間最長的文字，是傳承中華文化的重要載體．漢字在發(fā)展過程中演變出多種字體，給人以美的享受．下面是“北京之美”四個字的篆書，不能看作軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（）A.1，2，1 B.1，2，3 C.1，2，2 D.1，2，43.下列運算正確的是（）A.a5-a3=a2 B.（a2）3=a5 C.（-2a）3=-6a3 D.a2?a3=a54.下列各式正確的是（）A. B. C. D.5.“破曉”是復旦大學集成芯片與系統(tǒng)全國重點實驗室科研團隊研制的皮秒閃存器件，其擦寫速度提升至400皮秒，實現(xiàn)了亞納秒級操作，已知1皮秒等于1×10-12秒，那么400皮秒用科學記數(shù)法表示為（）A.4×10-10秒 B.4×10-11秒 C.4×10-12秒 D.4×10-14秒6.在△ABC中，AB=BC，將兩個完全一樣的三角板如圖擺放，它們一組較短的直角邊分別在AB，BC上，且這組直角邊所對的頂點重合于點P，射線BP交AC于點D，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.AB=2AD

B.AD=DC

C.∠ABD=∠CBD

D.∠BDA=90°7.《四元玉鑒》是中國古代著名的數(shù)學專著，書里記載一道這樣的題：“今有綾、羅共三丈，各值錢八百九十六文.只云綾、羅各一尺共值錢一百二十文，問綾、羅尺價各幾何？”題目譯文是：現(xiàn)在有綾布和羅布，布長共3丈（1丈=10尺），已知綾布和羅布分別全部出售后均能收入896文；綾布和羅布各出售1尺共收入120文．問兩種布每尺各多少錢？若設綾布有x尺，根據(jù)題意可列方程是（）A. B.

C. D.8.在平面直角坐標系xOy中，點A，B分別是x軸，y軸正半軸上的動點，直線l平分第一象限，點A，B關于直線l的對稱點為A'，B'，連接AB，A'B'，線段AB與A'B'的交點為M，給出如下結(jié)論：

①點M必在直線l上；

②△B′AM≌△BA′M；

③點P是直線l上一動點，必有PA+PB＞MA+MB；

④線段AA'的長度一定小于線段BB'的長度.

以上結(jié)論正確的是（）

A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.若分式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是______.10.圖1是某平板電腦支架，圖2是它的側(cè)面示意圖，若EA=ED，∠AED=40°，則∠BDE=

°.

11.分解因式：a3-a=

．12.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，∠A=30°，則BD與AB的數(shù)量關系是

.

13.如圖，某小區(qū)準備在一個長為（4a+2b）m,寬為（3a+2b）m的長方形草坪上修建兩條寬為bm的小路，則草坪（陰影部分）的總面積為

m2.14.若關于x的方程的解是x=2，則m的值為

.15.如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC的面積為27，線段AB的垂直平分線分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若點D為BC的中點，點G為直線EF上的動點，則△BDG的周長的最小值為

.

16.甲、乙二人在某公園的健身步道進行健走鍛煉，他們從同一起點同時出發(fā)，最終到達同一終點.設甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙一半時間以速度a行走，另一半時間以速度b行走.若健走全程為2公里，甲、乙健走全程的時間分別為t1，t2，且a≠b.

（1）t1-t2=______（用含有a,b的式子表示）；

（2）______（填“甲”或“乙”）首先到達終點.三、解答題：本題共11小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題5分)

計算：.18.(本小題5分)

計算：（x+2y）（2x-y）-x（x-2y）.19.(本小題5分)

解分式方程：.20.(本小題5分)

如圖，從以下三個條件中選擇兩個條件作為已知，第三個條件作為結(jié)論，構(gòu)成一個真命題，并證明.

條件：①AC=BD；

條件②：BC=AD；

條件③：∠ABC=∠BAD.21.(本小題5分)

先化簡，再求值：，其中m=-1.22.(本小題5分)

如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點坐標分別是A（1，-2），B（4，-1），C（3，-5）.

（1）畫出△ABC關于x軸的對稱圖形△A1B1C1（其中點A1，B1，C1分別是點A，B，C的對應點）；

（2）若點D（-3，-2），E（-6，-1），F(xiàn)（-5，-5），并且△DEF與△ABC關于直線l對稱，畫出△DEF和直線l.23.(本小題5分)

下面是小剛同學設計“作一個角的平分線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖1，∠AOB.

求作：射線OP，使OP平分∠AOB.

作法：①在∠AOB的邊OA上任取一點E，并過點E作OA的垂線l（如圖2）；

②在OB邊上截取OF=OE；

③過點F作OB的垂線與直線l交于點P；

④作射線OP，則OP平分∠AOB.

根據(jù)上述作圖過程，回答問題：

（1）用直尺和圓規(guī)，補全圖2中的圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

證明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，

∴∠OEP=∠OFP=90°，

在Rt△OEP和Rt△OFP中，

，

∴Rt△OEP≌Rt△OFP（______）（填推理依據(jù)）.

∴∠EOP=∠FOP.

即OP平分∠AOB.24.(本小題6分)

無人植保機通過導航系統(tǒng)實現(xiàn)厘米級定位，確保噴灑的農(nóng)藥均勻覆蓋作物，因其施藥精準，高效作業(yè)，深受當代農(nóng)民的喜愛.某農(nóng)業(yè)公司現(xiàn)有A，B兩種型號的無人植保機，根據(jù)資料顯示，一臺A型機比一臺B型機平均每小時少噴灑2公頃農(nóng)田，一臺A型機噴灑40公頃農(nóng)田所用時間與一臺B型機噴灑50公頃農(nóng)田所用時間相等.公司現(xiàn)接到一個訂單，要求無人植保機每小時至少噴灑175公頃農(nóng)田，若公司使用A，B兩種型號的無人植保機各10臺，能否滿足訂單需求，并說明理由.25.(本小題6分)

如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”.小華和小明對“智慧數(shù)”進行了深入的研究.

（1）小明的方法是從小到大逐一列舉：

3=22-12，5=32-22，7=42-32，8=32-12，9=52-42，11=62-52，…

則小明列舉的第8個“智慧數(shù)”是______.

（2）小華在小明列舉的基礎上，發(fā)現(xiàn)除1外，所有的正奇數(shù)都是“智慧數(shù)”，并進行了如下證明：

設k是正整數(shù)，

∵（k+1）2-k2=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1，

又∵k是正整數(shù)，

∴2k+1為大于或等于3的奇數(shù).

∴除1外，所有的正奇數(shù)都是“智慧數(shù)”.

她還發(fā)現(xiàn)：除4外，所有能被4整除的正整數(shù)都是“智慧數(shù)”，參考上面的方法進行證明.

（3）用含有k的式子表示除1，2，4外的其它非“智慧數(shù)”______（k是正整數(shù)）.26.(本小題6分)

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是AC延長線上一點，連接BD，過點A作AE⊥BD于點E，連接CE.

（1）求證：∠CAE=∠EBC；

（2）作點C關于直線BD的對稱點G，連接CG，EG.

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段AE，BE，CG之間的數(shù)量關系，并證明.27.(本小題7分)

在平面直角坐標系xOy中，對于點P（a,b）和圖形W，給出如下定義：若圖形W上存在點Q（c,d），使得，則稱點P是圖形W的“m階關聯(lián)點”.已知點A（0，1），B（2，-3），C（4，0）.

（1）若點P是點B的“2階關聯(lián)點”，則點P的坐標為______；

（2）若點P是線段AC的“-2階關聯(lián)點”，則點P的縱坐標b的取值范圍是______；

（3）若點P1是△ABC的“m階關聯(lián)點”，點P2是點P1關于x軸的對稱點，當△P1OP2為等腰直角三角形時，直接寫出m的取值范圍.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】x≠1

10.【答案】110

11.【答案】a(a+1)(a-1)

12.【答案】BD=AB

13.【答案】（12a2+7ab+b2）

14.【答案】8

15.【答案】12

16.【答案】；

乙

17.【答案】4．

18.【答案】x2+5xy-2y2．

19.【答案】x=0．

20.【答案】①②作為已知，③作為結(jié)論，構(gòu)成一個真命題，

證明如下：在△ABD和△BAC中，

，

∴△ABD≌△BAC（SSS），

∴∠ABC=∠BAD．

②③作為已知，①作為結(jié)論，構(gòu)成一個真命題，

證明如下：在△ABD和△BAC中，

，

∴△ABD≌△BAC（SAS），

∴AC=BD．

21.【答案】解：原式=?

=?

=，

當m=-1時，原式==-1．

22.【答案】

23.【答案】

HL

24.【答案】公司使用A，B兩種型號的無人植保機各10臺，能滿足訂單需求，理由如下：

設A種型號無人植保機平均每小時噴灑a公頃農(nóng)田，則B種型號無人植保機平均每小時噴灑（a+2）公頃農(nóng)田，

根據(jù)題意得：=，

解得：a=8，

經(jīng)檢驗，a=8是所列分式方程的解，且符合題意，

∴a+2=10，

即A種型號無人植保機平均每小時噴灑8公頃農(nóng)田，B種型號無人植保機平均每小時噴灑10公頃農(nóng)田，

∴10×（8+10）=180（公頃）＞175公頃，

∴公司使用A，B兩種型號的無人植保機各10臺，能滿足訂單需求．

25.【答案】13

設n是大于1的正整數(shù)，

則（n+1）2-（n-1）2

=n2+2n+1-（n2-2n+1）

=n2+2n+1-n2+2n-1

=4n，

∵n是大于1的正整數(shù)，

∴n+1和n-1都是正整數(shù)，

∴4n是“智慧數(shù)”，

又∵4n能被4整除，

∴除4外，所有能被4整除的正整數(shù)都是“智慧數(shù)”

4k+2

26.【答案】證明：∵∠ACB=90°，AE⊥BD，

∴∠CDE+∠EBC=∠CDE+∠CAE=90°，

∴∠CAE=∠EBC

①如圖，即為所作；

②AE=BE+CG，

證明：過點C作CF⊥CE交AE于點F，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACF=∠BCE=90°-∠BCF，

∵CA=CB，∠C