第一章三角形的證明及其應(yīng)用2等腰三角形第2課時(shí)

等腰三角形的判定和反證法素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握等腰三角形的判定定理并運(yùn)用其解決問題．2.理解并掌握反證法的思想，能夠運(yùn)用反證法進(jìn)行證明．3.通過推理證明等腰三角形的判定方法的過程，發(fā)展學(xué)生的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納問題的能力．重點(diǎn)：1.等腰三角形判定方法的運(yùn)用．2.反證法的基本步驟．難點(diǎn)：等腰三角形判定方法的運(yùn)用．導(dǎo)入新課問題1:上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的兩個(gè)性質(zhì)定理,它們的內(nèi)容是什么?等邊對(duì)等角,三線合一.等腰三角形的兩個(gè)底角相等.問題2:有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎?新知探究任務(wù)一:探究等腰三角形的判定定理問題:如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么它是一個(gè)等腰三角形嗎?活動(dòng):利用量角器和直尺畫一個(gè)三角形,使得兩個(gè)角相等(如∠B=∠C=70°),然后測(cè)量它們所對(duì)的邊AB和AC的長(zhǎng)度.有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.如何證明這一結(jié)論呢?新知探究

新知探究已知:如圖,在△ABC中,∠B=∠C.求證:AB=AC.還有其他證明方法嗎?也可作∠BAC的平分線AD,利用AAS證明△ABD≌△ACD.新知探究定理:有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.簡(jiǎn)述為等角對(duì)等邊.符號(hào)語(yǔ)言:在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC.“等邊對(duì)等角”與“等角對(duì)等邊”有什么相同和不同?“等邊對(duì)等角”是等腰三角形的性質(zhì)定理,“等角對(duì)等邊”是等腰三角形的判定定理.例1已知：如圖，AB=DC，BD=CA，BD與CA相交于點(diǎn)E.求證：△AED是等腰三角形.證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴AE=DE(等角對(duì)等邊).∴△AED是等腰三角形.任務(wù)二:例題講解——判定定理的應(yīng)用

下列條件能判定△ABC是等腰三角形的是（

B

）A.

∠A＝30°，∠B＝60°B.

∠A＝50°，∠B＝80°C.

∠A＝2∠B＝70°D.

AB＝3，BC＝7，周長(zhǎng)為15B跟蹤練習(xí)解題通法“等角對(duì)等邊”是證明兩條線段相等的常用方法在證明時(shí)，往往通過計(jì)算三角形各角的度數(shù)、利用角的關(guān)系或全等三角形得到同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等，進(jìn)而得到邊相等.新知探究任務(wù)三:反證法問題:小明認(rèn)為,在一個(gè)三角形中,如果兩個(gè)角不相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.你認(rèn)為小明的這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立,你能證明它嗎?即在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.新知探究在△ABC中,如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.證明:如圖,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此時(shí)AB與AC要么相等,要么不相等.假設(shè)AB=AC,那么根據(jù)定理“等邊對(duì)等角”可得∠B=∠C,這與已知條件∠B≠∠C相矛盾,因此AB≠AC.像小明那樣，在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法.注意：用反證法證明時(shí)，如果結(jié)論的反面不止一種情況，那么必須把各種可能的情況一一加以否定，才能肯定原結(jié)論是正確的;新知探究這種證明方法和我們以前的證明方法一樣嗎?它有什么特點(diǎn)?不一樣,這里先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,然后從假設(shè)出發(fā),推導(dǎo)出與已知條件相矛盾的結(jié)果,說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明原命題的結(jié)論一定成立.新知探究反證法的概念:在證明時(shí),先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果,從而證明命題的結(jié)論一定成立,這種證明方法稱為反證法.例2用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.已知：△ABC.求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個(gè)角是直角.證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假設(shè)不成立.所以，一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.注意：用反證法證明時(shí)，否定的是命題的結(jié)論，而不是條件.解題通法

用反證法證明的一般步驟(1)先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的；(2)然后通過邏輯推理，得出與基本事實(shí)、已有定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)果；(3)從而說明假設(shè)不成立，進(jìn)而得出原結(jié)論正確.在△ABC中，已知AB＝AC.

求證：∠B＜90°.下面是運(yùn)用反證法證明這個(gè)命題的四個(gè)步驟：①所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，這與三角形的內(nèi)角和為

180°矛盾.②因此假設(shè)不成立，所以∠B＜90°.③假設(shè)在△ABC中，∠B≥90°.④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋C≥180°.這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是（

D

）A.

④③①②B.

③④②①C.

①②③④D.

③④①②D跟蹤練習(xí)

CA.3

B.4

C.7

D.無法確定

課堂練習(xí)

D

3.新趨勢(shì)·數(shù)學(xué)文化

[2024三明期末]牛頓曾說過:“反證法是數(shù)學(xué)家最精良的武器之一?！庇梅醋C法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)(

)AA.一個(gè)三角形中有兩個(gè)角是直角

B.一個(gè)三角形中有兩個(gè)角是鈍角C.一個(gè)三角形中有兩個(gè)角是銳角

D.一個(gè)三角形中有一個(gè)角是直角

C

AA.14

B.16

C.18

D.20

證明：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.

又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.

在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形.7.

（教材P21習(xí)題T7變式）如圖，在△ABC中，P是邊BC上的

一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)R.

若AQ＝AR，求證：△ABC是等腰三角形.8.

用反證法證明：一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)角不小于60°.證明：假設(shè)△ABC中的∠A，∠B，∠C都小于60°，則∠A＋∠B＋∠C＜3×60°，即∠A＋∠B＋∠C＜180°，這與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，因此∠A，∠B，∠C都小于60°不成立，所以一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角不小于60°.

課堂總結(jié)1.本節(jié)課你經(jīng)歷了怎樣的探究過程得到等腰三角形的判定定理?2.反證法的基本思路和步驟是什