三角形的證明及其應用第3節(jié)直角三角形第1課時直角三角形的性質與判定定理學習目標

1.通過對直角三角形兩個銳角互余的證明,以及對其逆命題的探究，掌握直角三角形角的性質與判定方法.2.通過構造全等三角形的方法證明勾股定理的逆定理,理解從邊的關系判定直角三角形的邏輯.3.通過對比原命題與逆命題的條件和結論,理解互逆命題、互逆定理的概念,能辨別命題之間的互逆關系.教學設計的基本環(huán)節(jié)協作破冰問題構建情境啟航教師示范鞏固拓展當堂檢測反思總結作業(yè)設計情境啟航

問題:美麗的七巧板可以通過改變圖形的位置拼成各種各樣的圖案，它由七塊基礎圖案組成，其中數量最多的就是直角三角形，思考直角三角形都有哪些性質？問題構建

問題1:分類研究是數學學習過程中常用的方法，你能和同學們分享三角形的分類方法嗎？三角形角銳角三角形鈍角三角形直角三角形邊等腰三角形非等腰三角形問題構建

問題2:聚焦直角三角形的內角關系，你有哪些思考？直角三角形兩銳角互余.請同學們獨立完成上述定理的證明.如圖,三角形ABC是直角三角形,∠C=90°,求證：∠A+∠B=90°證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°∵∠C=90°∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°問題構建

問題3:那如果某一個三角形中有兩個角互余，這個三角形是直角三角形嗎？如圖,在△ABC中，∠A+∠B=90°.求證：∠C=90°證明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180°∵∠A+∠B=90°∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°定理有兩個角互余的三角形是直接三角形問題構建

問題4:聚焦直角三角形的邊的關系，你有哪些思考？1.任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.2.勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.追問:你還記得勾股定理是怎樣探究的嗎？

我們曾經利用數方格和割補圖形的方法得到了勾股定理。實際上，利用基本事實和已有定理，我們能夠證明勾股定理（有關證明過程參見本節(jié)“閱讀?欣賞”,請大家課下自行閱讀，互相交流）問題構建

問題5:在一個三角形中,當兩邊的平方和等于第三邊的平方時,我們曾用測量的辦法得出“這個三角形是直角三角形”的結論.你能用基本事實和已有定理證明這一結論嗎？與同伴進行交流.

追問1:要證明△ABC是直角三角形,一般需要證明有一個角是直角.這里的已知條件是邊的關系,由此你能想到什么？

協作破冰追問2:借助邊的關系,你能構造一個直角三角形,使它與△ABC全等嗎？你能描述你的構造步驟嗎？1.構造一個直角∠D=90°2.以點D為圓心，分別以CA、CB為圓心畫弧交直角的兩邊于E、F兩點3.連接EF.協作破冰

協作破冰定理4:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形.定理3:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.定理1：直角三角形兩銳角互余.定理2:有兩個角互余的三角形是直接三角形問題6:觀察本節(jié)第一個定理和第二個定理,它們的條件和結論之間有怎樣的關系？第三個定理和第四個定理呢？與同伴進行交流.定理1的條件和定理2的結論互換,定理1的結論和定理2的條件互換,且都經過證明為真命題.定理3的條件和定理4的結論互換,定理3的結論和定理4的條件互換,且都經過證明為真命題.協作破冰問題7:觀察下面三組命題,每組中兩個命題的條件和結論也有類似的關系嗎？與同伴進行交流.

教師示范組別條件與結論的關系是否都正確第一組兩個命題的條件與結論完全互換第一個結論正確，第二個結論錯誤第二組兩個命題的條件與結論完全互換第一個結論正確，第二個結論錯誤第三組兩個命題的條件與結論完全互換兩個結論都正確在兩個命題中,如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題；如果把其中一個命題稱為原命題,那么另一個命題就稱為它的逆命題.教師示范問題8:你能寫出命題“如果兩個有理數相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎？它們都是真命題嗎？

鞏固拓展問題9:原命題是真命題,它的逆命題不一定是真命題.如果一個定理的逆命題經過證明是真命題,那么它也是一個定理,其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.例如,本節(jié)學習的第一個定理和第二個定理就是一對互逆定理，第三個定理和第四個定理也是一對互逆定理.你還能舉出一些互逆定理的例子嗎？原定理：兩直線平行，同位角相等.逆定理：同位角相等，兩直線平行.原定理：兩直線平行，內錯角相等.逆定理：內錯角相等，兩直線平行.原定理：兩直線平行，同旁內角互補.逆定理：同旁內角互補，兩直線平行.鞏固拓展練習：下列命題的逆命題是假命題的是(

)D

問題10:請判斷命題“全等三角形的對應角相等”的逆命題,并判斷逆命題的真假.思考:為什么有的定理有逆定理,有的沒有？回答問題.逆命題：對應角相等的兩個三角形是全等三角形.顯然這是一個假命題，老師用的三角板和大家用的三角板就可以作為反例.定理有沒有逆定理，關鍵看它的逆命題能否被證明是真命題當堂檢測

當堂檢測

當堂檢測2.下列命題的逆命題不是真命題的是(

)A

當堂檢測

B

反思總結1.本節(jié)課學習的兩組互逆定理（直角三角形的角性質與判定、勾股定理與逆定理）,它們的條件和結論是如何相互轉化的？這對你理解“性質”與“判定”的關系有什么啟發(fā)？2.證明勾股定理的逆定理時,我們用到了“構造全等三角形”的方法,這種“構造輔助圖形”的思路在幾何證明中還有哪些常見的應用場景？3.你能結合本節(jié)課的內