北師版-數(shù)學(xué)-八年級下冊第一章三角形的證明及其應(yīng)用1三角形內(nèi)角和定理第1課時三角形內(nèi)角和與全等三角形的性質(zhì)與判定情境導(dǎo)入1．舊知回顧(1)請回顧平角的定義及平行線的性質(zhì)，并完成下面的填空：已知：如圖，點(diǎn)B，A，E在同一直線上，∠1＝∠B.求證：∠C＝∠2.證明：∵∠1＝∠B(____________)，∴AD∥BC(____________).∴∠C＝∠2(____________).(2)回顧七年級下冊學(xué)過的全等三角形的判定方法①兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SAS).②兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(ASA).③三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(SSS).2．課堂導(dǎo)入

如圖，假如你正站在金字塔下．現(xiàn)有用于測量角的量角器，但為了保護(hù)文化遺產(chǎn)，在不允許人攀爬的情況下，你能想辦法測量塔尖處一個側(cè)面角的度數(shù)嗎？說一說你的做法．可以先測出側(cè)面三角形底邊上的兩個角，再求出塔尖處的側(cè)面角．【探究1】三角形的內(nèi)角和探究新知我們知道，三角形三個內(nèi)角的和等于180°.你還記得這個結(jié)論的探索過程嗎?測量法60°+48°+72°=180°折疊法在七年級，我們曾剪下三角形的一個內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，然后借助平行線的判定與性質(zhì)證明這個結(jié)論.(1)如圖，如果只把∠A移動到∠1的位置，那么你能說明這個結(jié)論的正確性嗎?如圖，由操作可知∠A=∠1，可以利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”證明一組平行線，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)及平角的定義說明結(jié)論是正確的.嘗試·交流如果不移動∠A，那么你還有什么方法可以達(dá)到同樣的效果?如果不移動∠A，那么可以思考構(gòu)造平行線將等角進(jìn)行轉(zhuǎn)移.如圖，可以構(gòu)造CE∥AB，這樣同樣可以達(dá)到將∠A轉(zhuǎn)移到∠1的位置的效果.(2)你能說說這個結(jié)論的證明思路嗎?請試著寫出證明過程.已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.證明：如圖，延長BC至D，過點(diǎn)C作射線CE，使CE∥BA，則∠1=∠A，∠2=∠B.∵點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，∴∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.DE21這里的CD，CE稱為輔助線，輔助線通常畫成虛線.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°.(1)如圖，在證明三角形內(nèi)角和定理時，小明的想法是把三個內(nèi)角“湊”到點(diǎn)A處，過點(diǎn)A作直線PQ，使PQ∥BC，他的想法可行嗎?如果可行，你能寫出證明過程嗎?思考·交流可行.∵PQ∥BC(已知)，∴∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).又∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定義)，∴∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代換).(2)對于三角形內(nèi)角和定理，你還有其他證明方法嗎?證明：在BC上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作MD∥AC交AB于點(diǎn)M，ND∥AB交AC于點(diǎn)N，∵M(jìn)D∥AC，ND∥AB，∴∠1=∠C，∠3=∠B，∠2=∠BMD=∠A.又∠1+∠2+∠3=180°，∴∠C+∠A+∠B=180°.ABCDMN123為了證明三個角的和為180°,將其轉(zhuǎn)化為一個平角，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.【例1】一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2∶4∶6，則這個三角形是

()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形B【例2】為了證明“三角形的內(nèi)角和是180°”，老師給出了如圖所示四種作輔助線的方法．回答下列問題：ABCFE延長AC

到點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CE∥AB圖②ABCFE過AB上一點(diǎn)D作DE∥BC,DF∥AC圖③ABCEF過點(diǎn)C作EE∥AB圖①ABCD過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D圖④(1)能證明“三角形內(nèi)角和是180°”的方法是圖________(請?zhí)顚懶蛱?；ABCFE延長AC

到點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CE∥AB圖②ABCFE過AB上一點(diǎn)D作DE∥BC,DF∥AC圖③ABCEF過點(diǎn)C作EE∥AB圖①ABCD過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D圖④(1)解：①②③(2)在(1)的正確方法中，任意選擇其中一種方法進(jìn)行證明．ABCFE延長AC

到點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CE∥AB圖②ABCFE過AB上一點(diǎn)D作DE∥BC,DF∥AC圖③ABCEF過點(diǎn)C作EE∥AB圖①ABCD過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D圖④(2)證明：當(dāng)選擇圖①時，如圖①.321ABCEF過點(diǎn)C作EE∥AB圖①∵EF∥AB，∴∠1＝∠A，∠3＝∠B.∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A＋∠2＋∠B＝180°，∴三角形的內(nèi)角和為180°.2當(dāng)選擇圖②時，ABCFE延長AC

到點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CE∥AB圖②∵CE∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ECB＝∠B.∵∠FCE＋∠ECB＋∠ACB＝180°，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴三角形的內(nèi)角和為180°.當(dāng)選擇圖③時，ABCFE過AB上一點(diǎn)D作DE∥BC,DF∥AC圖③∴∠A＝∠FDB，∠B＝∠EDA，∠FDE＝∠AED＝∠C.∵∠FDB＋∠EDA＋∠FDE＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴三角形的內(nèi)角和為180°.∵DE∥BC，DF∥AC，【探究2】三角形全等的性質(zhì)及判定我們已經(jīng)探索過“兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等”這個結(jié)論，你能用有關(guān)的基本事實和已經(jīng)學(xué)習(xí)過的定理證明它嗎?嘗試·思考證明推論：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等(AAS).已知：如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠D＋∠E＋∠F＝180°，∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)，∠F＝180°－(∠D＋∠E).又∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠C＝∠F.又∵BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(ASA).根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到定理

兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.(AAS)

全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等.【例3】如圖，在△ABC中，∠A＝60°，將△ABC沿DE翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度數(shù)為________．65°【例4】如圖，已知∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM.求證：∠B＝∠ANM.證明：∵∠BAC＝∠DAM，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAM－∠DAC，∴∠BAD＝∠NAM.∴△BAD≌△NAM(SAS)，∴∠B＝∠ANM.

例1如圖，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).應(yīng)用舉例BCAD解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形內(nèi)角和定理).BCAD∵∠B=38°，∠C=62°，∵∠B=38°，∠C=62°，∴∠BAC=180°-38°-62°=80°.∵AD平分∠BAC，

在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形內(nèi)角和定理).∵∠B=38°，∠BAD=40°，∴∠ADB=180°-38°-40°=102°.例2如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，若∠A＝50°，求∠BOC的度數(shù)解：在△ABC中，∠A＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°.∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝115°.例3如圖，AB∥CD，E為BD上一點(diǎn)，AB＝ED，連接CE，且∠1＝∠C.(1)求證：△ABD≌△EDC；【方法指導(dǎo)】(1)根據(jù)AB∥CD，得出∠B＝∠BDC，結(jié)合已知條件，根據(jù)AAS即可證明．(1)證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BDC.又∵AB＝ED，∠1＝∠C，∴△ABD≌△EDC(AAS).(2)若∠B＝35°，∠1＝22°，求∠BEC的度數(shù)．(2)解：∵△ABD≌△EDC，(2)根據(jù)△ABD≌△EDC，得出∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．∴∠BDC＝∠B＝35°，∠C＝∠1＝22°，∴∠DEC＝180°－∠BDC－∠C＝123°，∴∠BEC＝180°－∠DEC＝57°.歸納總結(jié)三角形內(nèi)角和定理判定：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等借助平行線將三角形的三個內(nèi)角拼成一個平角性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等證明全等三角形內(nèi)容三角形三個內(nèi)角的和等于180°隨堂練習(xí)1．一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4∶5，則這個三角形是

()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形B2．如圖，點(diǎn)A，F(xiàn)，C，D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別位于直線AD的兩側(cè)，且∠1＝∠2，∠B＝∠E，AF＝DC.求證：AB＝DE.證明：∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF，

∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AB＝DE.3.

如圖，在△ABC中，已知∠A=50°，BD與CE是△ABC的高，點(diǎn)O是它們的交點(diǎn)，求∠ABD，∠COD的度數(shù).解：∵BD與CE是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°.∵∠A=50°，∴∠ABD=180°-∠A-∠ADB=180°-50°-90°=40°，∴∠BOE=180°-∠BEC-∠