北師版-數(shù)學(xué)-八年級(jí)下冊(cè)第一章三角形的證明及其應(yīng)用4線段的垂直平分線第2課時(shí)三角形三邊的垂直平分線情境導(dǎo)入如圖，看這些漂亮的折紙，是多么精致的手工啊，大家羨慕吧！今天我們也來上一節(jié)折紙課，秀一秀我們的巧手．下列圖形具有哪些共同的特征呢？置疑導(dǎo)入問題1：線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理內(nèi)容是什么？問題2：你能作出三角形三條邊的垂直平分線嗎？這三條垂直平分線有什么特點(diǎn)？畫一畫，議一議．性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．探究新知◆活動(dòng)1

(1)尺規(guī)作圖作三角形三條邊的垂直平分線．三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．思考

(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能畫出滿足條件的三角形嗎?能，這樣的三角形能畫出無數(shù)個(gè)，因?yàn)楦叩奈恢每梢圆煌?，所以它們不都全?(2)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出滿足條件的等腰三角形嗎?能作幾個(gè)?因?yàn)榈妊切蔚走吷系母叩奈恢檬枪潭ǖ模谥本€只能垂直平分底邊，所以能用尺規(guī)作出滿足條件的等腰三角形，且這樣的三角形只有一個(gè).探究新知作法圖形已知線段a，h，用尺規(guī)作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.△ABC就是所要作的等腰三角形．a(chǎn)halABChD1．作線段BC，使BC＝a．2．作線段BC的垂直平分線l，交BC于點(diǎn)D．3．在l上作線段DA，使DA＝h．4．連接AB，AC．思考：ABMlP如果點(diǎn)P在直線l外呢?此時(shí)，還能運(yùn)用這種轉(zhuǎn)化的方法嗎??還記得用尺規(guī)過直線l上一點(diǎn)P作的垂線的方法嗎?這種方法將作直線的垂線問題轉(zhuǎn)化為作線段的垂直平分線問題.作法圖形已知直線l和l外一點(diǎn)P，用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P.ABmlPQ??1.任取一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q與點(diǎn)P在直線l兩旁.2.以點(diǎn)P為圓心，以PQ的長(zhǎng)為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)A和點(diǎn)B.3.作線段AB的垂直平分線m.直線m就是所要作的直線.為什么直線m經(jīng)過點(diǎn)P?因?yàn)辄c(diǎn)P到直線上點(diǎn)A，B的距離相等，所以點(diǎn)P一定在線段AB的垂直平分線m上.例1

已知：如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，垂足分別為D，E.求證：邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.分析：要證明點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上，需要什么條件?已知的兩條垂直平分線相交于點(diǎn)P，由此你能得到哪些相關(guān)的結(jié)論?BACPED證明：如圖，連接PA，PB，PC.BACPED∵點(diǎn)P在邊AB的垂直平分線上，∴PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等).同理，PB=PC.∴PA=PB=PC.∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上)，即邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.跟蹤訓(xùn)練1.如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，則∠B＝_____．2.如圖，O是△ABC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)，如果∠A＝65°，那么∠OBC＝____．30°25°根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到相等的線段，結(jié)合等邊對(duì)等角或全等的證明方法，解決其他相關(guān)的綜合問題．探究新知例2如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，CE＝CF，連接BF，DE.線段DE和BF在數(shù)量和位置上有什么關(guān)系？并說明理由．ECBADF解：DE＝BF，DE⊥BF.G理由如下：連接BD，延長(zhǎng)BF交DE于點(diǎn)G.∵點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，ECBADFG∴∠ABC＝67.5°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°，∴△BCD為等腰直角三角形，∴BC＝DC.又∵CE＝CF，∠BCD＝∠DCE＝90°，∴△ECD≌△FCB(SAS)，∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB.∵∠CFB＋∠CBF＝90°，∴∠CED＋∠CBF＝90°，∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF.跟蹤訓(xùn)練3.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接BD.若CD∶BD＝3∶5，則CD的長(zhǎng)為______．4.如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交BC，AC于D，E.若AE＝3，△ABC的周長(zhǎng)為15，則△ABD的周長(zhǎng)等于____．96cm已知：如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證：邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P，且PA＝PB＝PC.PABC探究1【三角形三條邊垂直平分線的性質(zhì)的證明】求證：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.◆活動(dòng)2

證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA＝PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)．同理，PB＝PC.∴PA＝PB＝PC.∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上)，即邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.PABC歸納總結(jié)符號(hào)語言：∵直線MN，EF，PQ分別垂直平分線段BC，AB，AC，∴直線MN，EF，PQ相交于點(diǎn)O，且OA=OB=OC.三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.這個(gè)點(diǎn)叫作三角形的外心.

三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)位置如下：銳角三角形

三角形內(nèi)部直角三角形

斜邊中點(diǎn)鈍角三角形

三角形外部銳角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的內(nèi)部，直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的外部．上述結(jié)論可作為判定三角形類型的依據(jù)．探究新知5.如果三角形的兩條邊的垂直平分線交點(diǎn)在第三條邊上，那么這個(gè)三角形是()A．銳角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等邊三角形6.如果一個(gè)三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的內(nèi)部，那么這個(gè)三角形是____(填“銳角”“直角”或“鈍角”)三角形．跟蹤訓(xùn)練C銳角三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．常常利用這個(gè)定理解決一些選址問題．探究新知探究2【已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，求作等腰三角形．】1．議一議：(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎？如果能，能作幾個(gè)？所作出的三角形都全等嗎？A1DCBAah()DCBAahA1DCBAahA1可以畫出無數(shù)個(gè)三角形(2)已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？如果能，能作幾個(gè)？所作出的三角形都全等嗎？11111111已知等腰三角形的底邊，用尺規(guī)作出等腰三角形，這樣的等腰三角形也有無數(shù)多個(gè)，如圖.CDAEBO注意：不是底邊的垂直平分線上的任意一點(diǎn)都滿足條件，底邊的中點(diǎn)在底邊上，此時(shí)不能構(gòu)成三角形．(3)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？如果能，能作幾個(gè)？如果底邊和底邊上的高都一定，這樣的等腰三角形只有兩個(gè)，它們是全等的，且分別位于已知底邊的兩側(cè)，如圖.CABDhh2．尺規(guī)作出等腰三角形如圖，已知線段a，h，求作△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h.ah作法：（1）作線段BC=a.（2）作線段

BC的垂直平分線l，交BC于點(diǎn)D.（3）在l

上作線段DA，使DA=h.（4）連接

AB，AC.△ABC為所求的等腰三角形.BCDAl探究3【過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線】

ABCDMNPABCDMNP證明：連接AM，AN，PM，PN，易得AM＝AN，PM＝PN，∴點(diǎn)A和點(diǎn)P在MN的垂直平分線上，∴即AP垂直平分MN，∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高．探究新知例3如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)P.(1)若∠A＝35°，則∠BPC＝________；(2)若AB＝5cm，BC＝3cm，則△PBC的周長(zhǎng)為________cm.ADPBC◆活動(dòng)3【方法指導(dǎo)】ADPBC(1)70°(2)8(1)∵DP垂直平分AB，∴AP＝BP，∴∠A＝∠ABP，∴∠ABP＝35°，∴∠BPC＝∠A＋∠ABP＝35°＋35°＝70°；(2)∵AB＝AC＝5cm，AC＝AP＋PC，∴AP＋PC＝5cm.∵AP＝BP，∴BP＋PC＝5cm，∴△PBC的周長(zhǎng)為BP＋PC＋BC＝5＋3＝8(cm).例4如圖，靠河邊有一塊三角形菜地，要分給甲、乙、丙、丁四家，為了分配合理，需要所分的面積相等，而且每家的菜地都要有靠河邊的位置，便于取水澆地．你能想辦法將菜地合理分配嗎？(保留作圖痕跡)ABC【方法指導(dǎo)】根據(jù)題意，要想將△ABC的面積四等分，需將線段BC四等分，因此在BC邊上作三條垂直平分線即可．如圖所示，△ABD，△ADE，△AEF，△AFC就是分給甲、乙、丙、丁四家等面積且都有靠河邊的菜地．ABCDEF解：①作線段BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E②作線段BE的垂直平分線交BE于點(diǎn)D③作線段CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F④連接AD、AE、AF即可得到四個(gè)等底等高的三角形隨堂練習(xí)1．P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)P是()A．三條中線的交點(diǎn)B．三條高的交點(diǎn)C．三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)2．如果一個(gè)三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在這個(gè)三角形外，那么這個(gè)三角形是()A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形CD3.尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡，不寫作法)．(1)如圖①，作出直線l的垂線PQ；(2)如圖②，作出△ABC的邊BC上的高AD.